鄒恒光， 宋繼良， 王軍政， 張磊， 史大威

(1.北京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，北京 100081；2.中國空間技術(shù)研究院，北京 100094)

近年來，隨著全球通信業(yè)務(wù)的日益增長，單個(gè)衛(wèi)星組成的系統(tǒng)越來越難以滿足龐大且多樣化的通信需求. 為了解決這一問題，人們的目光開始投向多衛(wèi)星星座的建設(shè). 相比于單個(gè)衛(wèi)星組成的系統(tǒng)，多衛(wèi)星組成的星座編隊(duì)不僅具有強(qiáng)大的覆蓋能力，更具有良好的容錯(cuò)性，因而受到國內(nèi)外研究學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-4].

通信衛(wèi)星多位于地球靜止軌道，難以避免會(huì)存在軌位有限的問題. 因此，靜止軌道往往會(huì)將多顆衛(wèi)星共位放置在同一個(gè)或鄰近的定點(diǎn)區(qū)域內(nèi)，組成通信衛(wèi)星星座編隊(duì). 為了保證衛(wèi)星編隊(duì)內(nèi)衛(wèi)星相互之間的安全以及星座工作的穩(wěn)定性，需要定期地進(jìn)行構(gòu)型保持控制，避免其因?yàn)榭臻g環(huán)境攝動(dòng)等因素導(dǎo)致星座失效. 楊曉龍等[5]針對(duì)Walker-δ星座提出了基于覆蓋性能分析的星座構(gòu)型保持方法，其主要思想是當(dāng)偵測(cè)到某一衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域異常時(shí)，即對(duì)其進(jìn)行保持控制，從而保證星座整體構(gòu)型不會(huì)被破壞. 黃勇等[6]基于衛(wèi)星相對(duì)運(yùn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)方程和一致性理論分別設(shè)計(jì)兩種自適應(yīng)控制器，實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星編隊(duì)飛行的相對(duì)位置的協(xié)同控制.

模型預(yù)測(cè)控制作為一項(xiàng)在過程控制領(lǐng)域應(yīng)用較為廣泛的技術(shù)，近年來開始逐漸在航天領(lǐng)域嶄露頭角[7-9]. 吳寶林等[10]利用相對(duì)平均軌道根數(shù)模型設(shè)計(jì)了針對(duì)衛(wèi)星編隊(duì)隊(duì)形機(jī)動(dòng)控制的模型預(yù)測(cè)控制器. Weiss等[11]基于CWH模型設(shè)計(jì)了模型預(yù)測(cè)控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)于具有連續(xù)小推力靜止軌道衛(wèi)星的位置保持控制. 然而，文獻(xiàn)中多考慮近似模型，存在著模型的不確定性，會(huì)對(duì)模型預(yù)測(cè)控制的性能產(chǎn)生影響. 為了克服模型不確定性的影響，可以采用魯棒模型預(yù)測(cè)控制的方法. 最為常見的一種魯棒模型預(yù)測(cè)控制器是基于管道的模型預(yù)測(cè)控制器(Tube-MPC)[12-14]. Tube-MPC的主要思想是將系統(tǒng)不確定性刻畫成一個(gè)管道，即所允許的誤差范圍，然后設(shè)計(jì)控制律使得系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡保持在管道內(nèi)，并向名義狀態(tài)軌跡收斂.

本文針對(duì)靜止軌道衛(wèi)星編隊(duì)的構(gòu)型保持問題，提出了基于管道模型預(yù)測(cè)控制的構(gòu)型保持策略. 第1部分構(gòu)建衛(wèi)星與參考軌道之間的軌道相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)衛(wèi)星編隊(duì)控制問題進(jìn)行介紹；第2部分介紹了管道模型預(yù)測(cè)控制器的基本設(shè)計(jì)方法；第3部分針對(duì)4星編隊(duì)控制進(jìn)行了仿真驗(yàn)證. 仿真結(jié)果表明所提出的控制方法能夠很好地實(shí)現(xiàn)編隊(duì)控制要求.

1 衛(wèi)星編隊(duì)控制問題描述

1.1 基本軌道動(dòng)力學(xué)模型

圖1描述了衛(wèi)星軌道動(dòng)力學(xué)中常用的2個(gè)坐標(biāo)系，地心慣性(earth-centered inertial, ECI)坐標(biāo)系和Hill坐標(biāo)系. ECI坐標(biāo)系以地球中心為原點(diǎn)，X軸沿某一特定歷元的春分點(diǎn)方向，Z軸指向北極點(diǎn)，Y軸組成右手正交坐標(biāo)系，常見的地心慣性坐標(biāo)系為J2000坐標(biāo)系. Hill坐標(biāo)系以衛(wèi)星質(zhì)心為原點(diǎn)，r軸為徑向，方向?yàn)榈匦?衛(wèi)星連線方向向外，t軸為切向，方向沿衛(wèi)星線速度方向，n軸為法向，組成右手正交坐標(biāo)系.

圖1 航天器軌道常用坐標(biāo)系示意圖Fig. 1 Commonly used coordinates of the satellite orbit

通常情況下，衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型在地心慣性坐標(biāo)系下可以描述為

(1)

式中：r為衛(wèi)星的位置矢量，r=|r| 為衛(wèi)星位置矢量的模，即衛(wèi)星質(zhì)心到地心的距離；μE為地球的引力系數(shù)；F為控制力矢量；m為衛(wèi)星質(zhì)量；ap為空間攝動(dòng)加速度矢量. 對(duì)于靜止軌道衛(wèi)星，其所受到空間攝動(dòng)[15]通常包含地球非球形引力攝動(dòng)，日月引力攝動(dòng)和太陽光壓攝動(dòng)，仿真所考慮而這些攝動(dòng)力會(huì)使得衛(wèi)星產(chǎn)生漂移，偏離定點(diǎn)位置. 本文在設(shè)計(jì)控制器實(shí)現(xiàn)靜止軌道衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型保持的同時(shí)，也考慮了各種空間攝動(dòng)的影響，并相應(yīng)的進(jìn)行補(bǔ)償.

1.2 軌道相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型

CWH方程常被用于描述2顆衛(wèi)星之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，而且對(duì)于相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離遠(yuǎn)小于軌道半徑的情況，可以利用線性化后的模型來近似，從而便于控制器的分析與設(shè)計(jì). 對(duì)于參考軌道為圓軌道的衛(wèi)星，其與參考衛(wèi)星在Hill坐標(biāo)下的相對(duì)位置可以用CWH方程來描述[16]

(2)

(3)

式中：

ap(t) 為總的攝動(dòng)加速度，可由空間攝動(dòng)力的解析模型計(jì)算得到.

通過零階保持的方法對(duì)式(3)進(jìn)行離散化，可以得到

x(k+1)=Adx(k)+Bdu(k)+Ddap(k)

(4)

1.3 衛(wèi)星編隊(duì)控制問題

設(shè)某衛(wèi)星編隊(duì)有Na顆衛(wèi)星，考慮主從式編隊(duì)方式，其中有1顆主星，Na-1 顆從星. 主星參考軌道為一標(biāo)準(zhǔn)圓軌道，除主星外，每顆跟隨衛(wèi)星參考軌道均由其相鄰的衛(wèi)星軌道確定.

由式(4)可知，每顆衛(wèi)星相對(duì)于其參考軌道的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

xi(k+1)=Adxi(k)+Bdui(k)+

Ddai,p(k) ?i∈{1,2,…,Na}

(5)

模型預(yù)測(cè)控制算法是基于模型的控制方法，也就是說，模型的精度直接影響最終的控制效果. 然而，由于采用了離散化后的線性模型，而且對(duì)攝動(dòng)力的計(jì)算也采用了相應(yīng)的近似方法，勢(shì)必會(huì)產(chǎn)生模型的誤差. 將模型的誤差連同各類外部不確定性視為系統(tǒng)的加性不確定性wi∈Wi，那么，衛(wèi)星實(shí)際的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型可以表示為

xi(k+1)=Adxi(k)+Bdui(k)+

Ddai,p(k)+wi?i∈{1,2,…,Na}

(6)

同時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)與系統(tǒng)輸入也應(yīng)該滿足一定的約束. 就靜止軌道衛(wèi)星而言，一般希望衛(wèi)星不要偏離定點(diǎn)位置超過一定范圍，即對(duì)衛(wèi)星相對(duì)參考軌道的位置矢量有著一定的約束. 而且，由于衛(wèi)星推進(jìn)器推力有限，故對(duì)控制輸入也有一定限制. 那么這些約束可以描述為

xi∈Xi=xi∈6:Fxxi≤hx

(7)

ui∈Ui=ui∈3:Fuui≤hu

(8)

那么，考慮到模型不確定wi，衛(wèi)星編隊(duì)的控制目標(biāo)可以簡單描述為：

① 所有衛(wèi)星能夠跟蹤給定的期望軌道；

② 衛(wèi)星編隊(duì)保持一定的構(gòu)型，且不發(fā)生碰撞.

2 管道模型預(yù)測(cè)控制控制器設(shè)計(jì)

Ddai,p(k) ?i∈{1,2,…,Na}

(9)

接下來，定義真實(shí)衛(wèi)星相對(duì)位置狀態(tài)與名義狀態(tài)之間的誤差為

(10)

為了使得管道內(nèi)的真實(shí)狀態(tài)向名義狀態(tài)靠近，設(shè)計(jì)以下次級(jí)控制器

(11)

那么，由式(6)、式(9)～(11)可以得到對(duì)應(yīng)的誤差系統(tǒng)

(12)

式中K為反饋矩陣，且Ad-BdK是Hurwitz的.

對(duì)于式(12)所示的誤差系統(tǒng)，定義其魯棒正向不變集為φi,k，即

(13)

那么，在任意時(shí)刻k，系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)滿足

(14)

式中 ⊕ 為兩個(gè)集合間的閔可夫斯基和.

同時(shí)，衛(wèi)星相對(duì)位置的名義狀態(tài)與名義控制輸入滿足

(15)

(16)

如此以來，只要名義系統(tǒng)的狀態(tài)和控制量滿足式(15)和式(16)，真實(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)即滿足式(7)和式(8).

接下來，設(shè)預(yù)測(cè)步長為Np，定義代價(jià)函數(shù)Ji

(17)

對(duì)于所有i∈{1,2,…,Na} ，求解下述優(yōu)化問題

(18)

(19)

3 仿真結(jié)果

如圖2所示，本文考慮一種4星編隊(duì)構(gòu)型，4顆相同的衛(wèi)星均為靜止軌道衛(wèi)星. 主星參考信號(hào)為標(biāo)準(zhǔn)圓軌道；從星1與主星在同一軌道平面，且從星1的參考軌道由主星生成，二者星下點(diǎn)軌跡相差地理經(jīng)度0.2°；從星3與從星4與從星2不在同一軌道面，二者參考軌道由從星2生成. 從星3與從星2星下點(diǎn)軌跡地理經(jīng)度相差0.2° ，地理緯度相差0.05° ，從星4與從星2地理經(jīng)度相差0.2° ，地理緯度相差 -0.05° . 表1給出了4顆衛(wèi)星的初始軌道，其中a,e,i,Ω,ω,υ分別表示軌道的半長軸、偏心率、軌道傾角、升交點(diǎn)赤經(jīng)、近地點(diǎn)幅角和真近點(diǎn)角.

圖2 4星編隊(duì)構(gòu)型與星間通信拓?fù)涫疽鈭DFig. 2 Structure of the formation of four satellites and its network topology

表1 衛(wèi)星編隊(duì)初始軌道Tab1 Initial orbits of the satellites formation

基于上節(jié)所設(shè)計(jì)的管道模型預(yù)測(cè)控制算法，對(duì)4星編隊(duì)的構(gòu)型保持進(jìn)行了180 d運(yùn)行仿真，仿真歷元為2019年1月1日00∶00∶00，仿真步長為100 s，控制器離散化步長為3 600 s. 4顆相同的衛(wèi)星質(zhì)量均為2 000 kg，衛(wèi)星面質(zhì)比為0.005 6，光反射系數(shù)為1.2，推進(jìn)器最大推力為500 mN. 仿真考慮的空間攝動(dòng)影響因素如表2所示，且由于所仿真的衛(wèi)星為GEO衛(wèi)星，大氣攝動(dòng)影響可以忽略. 對(duì)于單顆衛(wèi)星，令各方向相對(duì)位置誤差最大容許值為±0.01°，即±7 500 m. 模型不確定性設(shè)為

wi(k)=[2 000 m2 000 m2 000 m0.5 m/s0.5 m/s0.5 m/s]i∈{1,2,3,4}

表2 空間環(huán)境攝動(dòng)Tab.2 Environmental perturbations in the simulation

如圖3所示，180 d的仿真內(nèi)，主星與各從星星下點(diǎn)軌跡均滿足 ±0.01°的約束(虛線部分). 對(duì)于從星3與從星4的軌跡在最開始會(huì)短暫的超出約束的問題，原因是控制器在最初階段的響應(yīng)滯后，且與初始軌道的設(shè)計(jì)有關(guān). 在仿真的最開始可以將約束放松，以免出現(xiàn)優(yōu)化問題無解的情況，導(dǎo)致控制器故障. 圖4中，各跟隨衛(wèi)星(從星1、2、3)與領(lǐng)導(dǎo)衛(wèi)星(主星、從星1)之間的相對(duì)距離基本保持穩(wěn)定，最大波動(dòng)誤差不超過4 km. 且相對(duì)于編隊(duì)衛(wèi)星之間的間距(147 km, 152 km)，4 km的波動(dòng)誤差可以接受. 仿真結(jié)果顯示，當(dāng)控制精度限制在±0.01°時(shí)，180 d內(nèi)主星在徑向、切向和法向的速度增量分別為104.86, 93.82和27.3 m/s，而從星1在3個(gè)方向的速度增量分別為107.58, 93.68和94.86 m/s. 需要注意的是，通過調(diào)節(jié)控制器參數(shù)可以進(jìn)一步提高相對(duì)精度，但代價(jià)是要提供更加頻繁的機(jī)動(dòng)和更高的燃料消耗，故需要根據(jù)實(shí)際應(yīng)用場景來確定是采取燃料最優(yōu)的策略還是性能最優(yōu)的策略.

圖3 衛(wèi)星編隊(duì)星下點(diǎn)軌跡圖Fig. 3 Illustration of the ground tracks of satellites

圖4 編隊(duì)衛(wèi)星間相對(duì)距離Fig.4 Relative distances between leader and follower satellites

4 結(jié) 論

本文主要研究針對(duì)靜止軌道衛(wèi)星編隊(duì)構(gòu)型保持的模型預(yù)測(cè)控制方法. 對(duì)于采用線性化軌道相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型所產(chǎn)生的模型不確定性問題，通過設(shè)計(jì)誤差管道，實(shí)現(xiàn)了衛(wèi)星編隊(duì)的魯棒控制. 仿真結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的魯棒控制器能夠很好地克服空間環(huán)境攝動(dòng)以及模型不確定性，實(shí)現(xiàn)靜止軌道衛(wèi)星編隊(duì)的構(gòu)型保持. 本文控制器設(shè)計(jì)采用的是連續(xù)變推力的推力模型，下一步可以開展脈沖推力模型以及繼電型推力模型的研究，同時(shí)針對(duì)性地進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)高精度、低消耗的構(gòu)型保持方法.