倪有源，崔征山，王群京

(1.合肥工業(yè)大學 電氣與自動化工程學院，合肥 230009; 2.安徽大學 電氣工程與自動化學院，合肥 230601)

0 引 言

永磁電機的拓撲結(jié)構(gòu)十分靈活多樣，在工業(yè)生產(chǎn)中越來越發(fā)揮重要的作用。對普通的永磁電機，電樞繞組一般放置在定子槽內(nèi)部，定子上開槽的特點，不可避免地帶來齒槽效應，引起電機的轉(zhuǎn)矩脈動和電磁噪音等問題。對于永磁電機轉(zhuǎn)矩脈動的成因受到多種因素的制約，主要由齒槽轉(zhuǎn)矩、紋波轉(zhuǎn)矩和磁阻轉(zhuǎn)矩[1]所組成。

文獻[2]通過改變定子齒槽偏移的程度來降低電機的齒槽轉(zhuǎn)矩，但定子槽的槽口寬度與定子齒的偏移程度受到一定的限制，且對生產(chǎn)工藝提出了更高要求。通過改變轉(zhuǎn)子磁極的形狀可減小永磁電機的齒槽轉(zhuǎn)矩，但各類研究方法主要包括極槽配合、轉(zhuǎn)子偏心、轉(zhuǎn)子磁極形狀以及注入諧波等方法[3-12]。此外，在研究不同磁化方式優(yōu)化電機的磁場分布時，主要體現(xiàn)在徑向磁化、平行磁化[13]、Halbach[14]等。文獻[3]和文獻[12]分析了表貼式永磁電機外轉(zhuǎn)子和內(nèi)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)，通過在各自的轉(zhuǎn)子上開輔助槽來間接減小齒槽轉(zhuǎn)矩，但都采用有限元法進行分析。文獻[12]中指出轉(zhuǎn)子的輔助槽數(shù)不宜過多，為減小氣隙磁密的諧波含量，開槽位置在磁極上應對稱分布，且開槽寬度與深度存在臨界值，當開槽程度大于磁臨界值時，齒槽轉(zhuǎn)矩反而會增加。

針對國內(nèi)外相關(guān)文獻對表貼式轉(zhuǎn)子開輔助槽的研究大多運用有限元法，對于槽型尺寸優(yōu)化方法的研究十分匱乏，而且有限元法需要大量的計算時間，不適合進行參數(shù)優(yōu)化分析。本文提出一種轉(zhuǎn)子開有半圓形輔助槽的解析模型，理論分析了齒槽轉(zhuǎn)矩峰值與槽型尺寸的解析關(guān)系。最后，采用有限元法對所提出的轉(zhuǎn)子開槽解析模型進行了相關(guān)驗證。

1.1 永磁電機的結(jié)構(gòu)

本文所提出的轉(zhuǎn)子表面上開有半圓形的輔助槽結(jié)構(gòu)，如圖1所示。為簡化分析，定子的槽型為平行槽，當定子內(nèi)表面開有槽口時會增加氣隙磁密的諧波含量，引起齒槽效應[15]。轉(zhuǎn)子采用表貼式永磁結(jié)構(gòu)，徑向充磁方式。

圖1 轉(zhuǎn)子有輔助槽的永磁電機結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of a PM machine with auxiliary slots in rotor

1.2 轉(zhuǎn)子有半圓形輔助槽的解析模型

為簡化解析模型分析，可假設：1)定子和轉(zhuǎn)子鐵心材料的磁導率為無窮大，電機的磁飽和效應忽略不計；2)定子的開槽深度為無限深；3)忽略電機的渦流效應；4)電機的軸向長度為無限長，繞組的端部效應忽略不計。

在氣隙區(qū)域Ⅰ和永磁區(qū)域Ⅱ中，磁場強度與磁感應強度具有下列關(guān)系：

(1)

式中：μr為永磁體的相對磁導率；μ0為真空磁導率；HrⅠ、HrⅡ分別為氣隙區(qū)域和永磁體區(qū)域中的磁場強度；BrⅠ、BrⅡ分別為氣隙區(qū)域和永磁體區(qū)中的磁感應強度；M為永磁體的磁化強度。在二維極坐標下，磁化強度的矢量可表示為

(2)

磁場強度與標量磁位φ，滿足下列關(guān)系：

(3)

在圖1中，對于氣隙區(qū)域Ⅰ和永磁區(qū)域Ⅱ而言，它們分別滿足磁場的拉普拉斯和準泊松方程，且具有下列關(guān)系[13]：

(4)

(5)

當轉(zhuǎn)子表面開半圓形輔助槽時，常規(guī)的分析方法無法求解。本文通過將不規(guī)則的永磁區(qū)域進行分割，之后在將各個小磁極區(qū)域依次累加起來，整個轉(zhuǎn)子磁極分成規(guī)則的A區(qū)域和不規(guī)則的B區(qū)域，如圖2所示。

圖2 每極永磁分區(qū)域疊加Fig.2 Superposition of PM segmentation

對于A區(qū)域，較容易獲得氣隙磁密的解析式。而對于B區(qū)域，可將永磁沿徑向分成若干段，如圖3所示。顯然，當分段數(shù)足夠多時，可以將每段小磁極視為一個獨立的微小單元，對磁化強度進行正交分解。

轉(zhuǎn)子表面半圓形輔助槽是由兩個圓形區(qū)域相減后獲得的，如圖4所示。其中:O為整個轉(zhuǎn)子磁極的圓心；O1為半圓形輔助槽的圓心；r1為半圓形輔助槽的半徑；Rmj為轉(zhuǎn)子外表面與圓心O之間的距離；d為兩個圓心O與O1之間的距離。

從圖4(a)可知，轉(zhuǎn)子外表面開槽尺寸的大小會受到轉(zhuǎn)子磁極形狀的限制，必須充分考慮半圓形槽型的槽深及開槽弧度的邊界條件。對圖2中的B區(qū)域內(nèi)的磁極，從圖4(b)中的幾何關(guān)系可知：

圖4 半圓形輔助槽Fig.4 Model of a semi-circular auxiliary slot

(6)

(7)

聯(lián)立式(6)和式(7)可得

從圖4(a)中可以看出，Rmj取值最大為Rm，即Rmj=Rm時，此時半圓弧區(qū)域可獲得最大的角度為

于是，在非規(guī)則的B區(qū)域內(nèi)，對于每塊磁極，θ的取值范圍為

同時，r1必須滿足下列關(guān)系：

(8)

對于磁極形狀不非規(guī)則B區(qū)域而言，當θ介于-θ1到θ1之間變化時，可將該區(qū)域均勻等分成n1段，每一小段所占的機械角度為2θ1/n1，則第i段所占的區(qū)間為

(9)

當n1取值很大時，對第i段小磁極的外表面可近似等效為規(guī)則的光滑邊界。

當永磁電機極對數(shù)為p時，一對磁極在沿圓周方向上所占的機械角度為2π/p。本文永磁采用徑向磁化，設整個磁極的極弧系數(shù)為αp，將規(guī)則區(qū)域A與非規(guī)則區(qū)域B的磁化強度進行分解，見表1。

表1 徑向磁化方式的磁化強度表達式Table 1 Magnetization for the radial magnetization

在一對磁極的機械周期內(nèi)，將表1中磁化強度按轉(zhuǎn)子磁極分布的位置展開成傅里葉級數(shù)形式，即

(10)

對于圖2中轉(zhuǎn)子磁極規(guī)則的A區(qū)域而言，忽略定子的開槽效應，該區(qū)域所產(chǎn)生的氣隙磁密的徑向分量和周向分量可表示為：

(11)

式中：KB(n)、fBr(r)以及fBθ(r)的具體表達式在文獻[13]中給出。

對于轉(zhuǎn)子磁極非規(guī)則的B區(qū)域而言，因該區(qū)域磁極的外表面尺寸并不為恒值，通過將該磁極區(qū)域分割成若干微小的磁極單元，分別計算每個小磁極單獨所產(chǎn)生氣隙磁密，之后再將各個磁極單元累加在一起，可獲得整個非規(guī)則的磁極B區(qū)域所產(chǎn)生的氣隙磁密，即

(12)

當定子內(nèi)表面為無槽結(jié)構(gòu)時，則整個永磁磁極所產(chǎn)生的氣隙磁密為

(13)

當定子內(nèi)表面開有齒槽時，不僅會增加氣隙磁密中的諧波含量，而且會帶來電機的齒槽效應問題。對于圖1中電機模型，由于在定子上開有平行槽結(jié)構(gòu)，為獲得定子開槽時電機磁場中磁密分布，可采用相對磁導函數(shù)的方法[15]。其中，相對磁導函數(shù)可表示為

(14)

式中：Qs為定子槽數(shù)；m為諧波次數(shù)；αsa=π/Qs。

因此，定子開槽后的空載氣隙磁密為

(15)

1.3 空載反電動勢的解析式

電機的空載反電動勢主要由氣隙磁密、轉(zhuǎn)速、每相繞組串聯(lián)匝數(shù)以及繞組因數(shù)等參數(shù)決定[16]。一個線圈中產(chǎn)生的磁通可表示為

(16)

其中：αy表示線圈節(jié)距；Rs表示定子內(nèi)半徑；lef表示電機軸向長度；α表示轉(zhuǎn)子位置角。

對于定、轉(zhuǎn)子的相對位置，具有下列關(guān)系：

(17)

其中：αma表示定轉(zhuǎn)子的相對位置角；ωr表示轉(zhuǎn)子機械角速度；θ0表示轉(zhuǎn)子初始位置角。

假設每相電樞繞組所串聯(lián)匝數(shù)為N，則每相繞組所產(chǎn)生的空載反電動勢可表示為：

(18)

Kdpn=KpnKdn。

(19)

式中：Kpn為繞組的分布因數(shù)；Kdn為繞組的節(jié)距因數(shù)；Kdpn為繞組因數(shù)。

其中

(20)

式中：q為每極每相槽數(shù)；n為磁場的諧波次數(shù)。

結(jié)合對上述的分析，相繞組的空載反電動勢可表示為

(21)

1.4 齒槽轉(zhuǎn)矩的解析式

齒槽轉(zhuǎn)矩主要由定子齒槽與永磁體相互作用而產(chǎn)生。由于定子內(nèi)表面開有齒槽，永磁體所產(chǎn)生的電磁力在每個定子齒的兩側(cè)沿周向方向并不相等，根據(jù)磁阻最小原理，由永磁體作用在定子齒上的合力會迫使轉(zhuǎn)子磁極與所對應的定子齒進行對齊，從而產(chǎn)生電機的齒槽轉(zhuǎn)矩。這在任何工況下均存在，是永磁電機的固有特性[12,17]。

采用麥克斯韋應力張力法計算電機的齒槽轉(zhuǎn)矩，即

(22)

式中：Br(r,θ)和Bθ(r,θ)分別為氣隙磁密的徑向分量和周向分量。

將式(13)，即定子無槽結(jié)構(gòu)的氣隙磁密解析式簡化為下列形式：

(23)

將式(23)和式(14)代入式(15)中，可得：

(24)

(25)

再由式(22)可得

sin[kp(θ-α)]×cos(mQsθ)dθ+

sin[kp(θ-α)·cos(mQsθ)×cos(hQsθ)dθ}。

(26)

在一個周期內(nèi)對式(26)進行積分，對不同的n、k、m以及h，利用三角函數(shù)的正交性，進一步化簡求和，可獲得電機的齒槽轉(zhuǎn)矩與轉(zhuǎn)子位置角α的解析關(guān)系。從式(26)中可以看出，電機的齒槽轉(zhuǎn)矩與定子的開槽尺寸、氣隙磁通分布狀況以及電機的軸向長度相關(guān)。當電機的定、轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)確定下來時，齒槽轉(zhuǎn)矩主要由氣隙磁通密度的徑向分量Brn和周向分量Bθk所決定。

結(jié)合式(12)和式(23)，將式(26)中的磁密分量部分提出，由于磁密波形是多個級數(shù)的疊加，很難將方程解出來，但對變量賦值可快速獲得齒槽轉(zhuǎn)矩隨槽型的變化規(guī)律。

本文中所分析的表貼式三相永磁電機為4極12槽結(jié)構(gòu)，定子線圈采用集中繞組聯(lián)結(jié)方式、星型接法，各相繞組均勻?qū)ΨQ放置，設定額定轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，電機的主要參數(shù)見表2。

表2 永磁電機的主要參數(shù)Table 2 Main parameters of a PM motor

通過所建立的轉(zhuǎn)子表面開半圓型輔助槽的解析模型，獲得徑向氣隙磁密的波形，如圖5所示。

圖5 徑向氣隙磁密波形Fig.5 Radial air-gap flux density waveforms

從圖5中可以看出，通過解析法與有限元法計算的徑向氣隙磁密波形大體上一致，驗證了上述分析轉(zhuǎn)子開槽解析模型的正確性。同時，也可看出有限元法獲得的徑向氣隙磁密在波形尖峰處略顯偏高，這主要由于定子齒邊緣的聚磁效應[17]。進一步對徑向氣隙磁密波形作FFT分析，獲得磁密的基波幅值為0.78T，THD為52.78%。

通過所建立解析模型計算電機的空載反電動勢，并與有限元法比較，如圖6所示。

圖6 空載反電動勢分布Fig.6 Distribution of back-EMF in open-circuit field

從圖6可以看出，在空載反電動勢波形的中間位置處波形出現(xiàn)下凹現(xiàn)象。由式(21)可知，主要原因是轉(zhuǎn)子表面開有輔助槽，該處的氣隙長度較大，對應的磁密徑向分量幅值較低，間接影響了空載反電動勢的波形質(zhì)量。

利用式(26)計算電機的齒槽轉(zhuǎn)矩，如圖7所示。

從圖7中可以得出，齒槽轉(zhuǎn)矩的峰值為1.17 N·m。而進一步分析發(fā)現(xiàn)，當轉(zhuǎn)子表面未開輔助槽時，齒槽轉(zhuǎn)矩的峰值為1.28 N·m。因此，通過在轉(zhuǎn)子表面開輔助槽，可在一定程度上減小電機的齒槽轉(zhuǎn)矩。

圖7 齒槽轉(zhuǎn)矩波形Fig.7 Waveforms of cogging torque

為了進一步減小齒槽轉(zhuǎn)矩，需要對輔助槽尺寸作優(yōu)化分析。從圖4中可知，輔助槽尺寸是關(guān)于兩個圓心之間距離d與輔助槽半徑r1的二元函數(shù)。 為了分析槽形尺寸變化對齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，需考慮兩個圓心距離d和輔助槽半徑r1同時變化對齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的影響，如圖8所示。

圖8 尺寸變化對齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的影響Fig.8 Influence of slot size on peak cogging torque

從圖8中可以看出，當2個圓心距離d較大且輔助槽半徑r1過小時，由圖4及式(8)可知，轉(zhuǎn)子表面尚未形成輔助槽，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值在圖中的部分區(qū)間保持不變；當維持2個圓心距離d不變時，隨著輔助槽半徑r1逐漸增大，齒槽轉(zhuǎn)矩的峰值呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢；而當維持輔助槽半徑r1不變時，隨著2個圓心距離d的逐漸增大，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的變化卻相對平穩(wěn)。

計算結(jié)果表明，轉(zhuǎn)子表面輔助槽深度與槽寬存在臨界值，當開槽程度大于臨界值時，齒槽轉(zhuǎn)矩峰值反而會增加。結(jié)合式(26)，通過不斷調(diào)整2個圓心距離變量d和輔助槽半徑r1，當2個圓心之間的距離d為39.4 mm，輔助槽半徑r1為9 mm時，可獲得的齒槽轉(zhuǎn)矩峰值最小值為188 mN·m。與轉(zhuǎn)子表面未開槽相比，齒槽轉(zhuǎn)矩可降低85.3%。此外，從圖8中也可以看出，當開槽型尺寸不合理時，齒槽轉(zhuǎn)矩的峰值不減反增，原因歸于槽型尺寸不合理，齒槽效應引起氣隙磁密的徑向分量和周向分量發(fā)生了畸變。

本文建立了一種轉(zhuǎn)子含有半圓形輔助槽的表貼式永磁電機解析模型，分析了電機的氣隙磁密、空載反電動勢以及齒槽轉(zhuǎn)矩等參數(shù)。有限元法計算結(jié)果驗證了解析模型的正確性。此外，還利用解析模型分析了輔助槽尺寸對齒槽轉(zhuǎn)矩峰值的影響，得出通過在轉(zhuǎn)子外表面開半圓形輔助槽，可以間接改善氣隙磁密的波形質(zhì)量，在一定程度上減小了齒槽轉(zhuǎn)矩。需要說明的是，目前僅利用有限元法對解析模型進行了相關(guān)驗證，受實際條件的制約，尚未制作樣機進行實驗驗證，但解析法與有限元計算結(jié)果的一致性較好。因此，可利用解析法變量快速尋優(yōu)的特點，為電機的優(yōu)化設計提供了一種方法，具有一定的實用價值。