蔡成欣，寧 博，周路人，梁俊燕，秦 瑤，楚楊陽，王兆宏

(1.河南工業(yè)大學信息科學與工程學院，河南 鄭州 450001)(2.河南工業(yè)大學 糧食信息處理與控制教育部重點實驗室，河南 鄭州 450001)(3.工業(yè)和信息化部電子第五研究所，廣東 廣州 510610)(4.鄭州輕工業(yè)大學軟件學院，河南 鄭州 450001)(5.西安交通大學電子科學與工程學院 物理電子與器件教育部重點實驗室，陜西 西安 710049)

1 五模超構材料的基本概念及國內外研究現狀

超構材料(metamaterial)是一類新型的人工合成材料，通常由周期性或者非周期性的人工微結構排列而成，具備天然材料所不具備的奇特物理性質。五模超構材料(pentamode metamaterial, PM)的概念由Milton和Cherkaev于1995年首次提出，對于固體的人工周期結構，通過結構單元設計，能夠使其整體的等效彈性特性表現為在六維的應力空間中，只有體積壓縮模式的特征值不為零(對應的特征向量稱為硬模式)，而對應剪切的其他5個特征值為零(對應的特征向量稱為軟模式)[1]。這樣的固體結構將在整體上表現為傳統(tǒng)流體的力學特性，是一種具有固體特征的復雜“流體”。從理論上來說，由這樣的結構單元周期排列構成的聲學超構材料可以實現與水的完全匹配。因此，可調的模量各向異性、固體特征和寬頻等特點賦予五模超構材料優(yōu)越的聲波調控能力，在聲波控制、地震防護與減振降噪等領域有著重要潛在應用價值[2-4]。

2008年，羅格斯大學Norris教授從理論上分析了五模超構材料用于聲學隱身衣的可行性[2, 5, 6]。隨后，Scandrett等通過分層理論將連續(xù)變化的材料參數進行離散化處理，提出了將五模式聲學隱身斗篷與傳統(tǒng)的慣性聲學隱身斗篷相結合構建五模超構材料-慣性組合聲學隱身斗篷[7, 8]。五模超構材料也引起了研究人員的關注。國內外許多著名高校以及科研機構都對此進行了深入研究，國外比較有代表性的高校有猶他大學、羅格斯大學、卡爾斯魯厄理工學院等；國內比較有代表性的高校及研究機構有南京大學、北京理工大學、西安交通大學、國防科技大學、武漢大學、中國科學院聲學研究所、武漢第二船舶設計研究院等。

五模超構材料按照研究的維度不同，可以分為二維五模超構材料和三維五模超構材料。二維五模超構材料也被稱為二模式超構材料“bimode metamaterials”。2012年，Norris教授課題組提出利用反向變換的思路設計五模超構材料聲學隱身衣，通過定義所需材料的等效性質，得到保證聲學隱身效果的適當變換[6]。2014年，武漢第二船舶設計研究院陳虹教授課題組通過調整微結構參數[9]，對二維圓柱形五模超構材料進行分層設計，并對其聲學隱身理論進行了分析和數值計算[10]，并通過優(yōu)化微結構參數得到了等效密度與水近似的二維五模超構材料，同時利用微細銑削技術進行了樣件加工，并進行水下聲學測試，實驗測試結果表明，這種等效密度與水近似的二維五模超構材料能夠有效地降低被隱身物體的聲目標強度[11]。2015年，北京理工大學胡更開教授課題組突破了對原有圓環(huán)和圓柱形二維五模超構材料的研究，通過準對稱映射梯度算法對任意形狀的二維五模聲學隱身衣進行了設計[12, 13]。2016年，國防科技大學溫激鴻教授課題組基于坐標變換方程，設計出圓柱形聲隱身衣，利用有限元方法對不同坐標變換下聲隱身衣的平均可視度進行數值仿真，分析了影響五模超構材料隱身衣隱身性能的因素及規(guī)律，研究結果表明，選擇合適的坐標變換方程能夠有效改善隱身性能[14]。2018年，南京大學劉曉宙教授課題組通過調整二維五模超構材料的微結構幾何參數，設計出適用于水下寬帶的地毯式五模超構材料聲隱身衣，為五模超構材料在聲隱身器件方面提供了新的選擇[15]。2020年，密蘇里大學黃國良教授課題組利用類似五模超構材料的極值特性設計出二維彈性波隱身衣，將為探索五模超構材料的水下聲波調控提供有益參考[16, 17]。

三維五模超構材料的實物設計起初由德國卡爾斯魯厄理工學院的Wegener教授課題組所報道[18-22]。Milton等提出三維五模超構材料是一個理想的點接觸[1]，造成結構的穩(wěn)定性很弱，在微小的外力作用下，整個結構就會崩塌。為了克服點接觸帶來的這些問題，Kadic等選取一個有限的連接區(qū)域來代替原先的點接觸，從而在一定程度上加強了結構的穩(wěn)定性，并使得體積彈性模量B和剪切模量G的比值仍然保持在一個較大的范圍(B/G>1000)[18]。在此基礎之上，三維五模超構材料的聲學帶隙結構[19]及其各向異性對三維五模超構材料性質的影響[20]也被研究報道。通過引入復合雙錐結構單元，Kadic等實現了對三維五模超構材料B和G的獨立調節(jié)[21]。在實物制備方面，2012年，Kadic等首次以高分子聚合物為主體材料成功制備了微米量級周期單元的五模超構材料，其體積填充率為1.5%，重量僅有2.7 ng。在此基礎上他們又利用3D打印技術制備了周期單元尺寸為厘米量級的宏觀尺度高分子聚合物基五模超構材料[22]，通過對其彈性性質的測試，證實了三維五模超構材料宏觀結構的B/G可以大于1000。

此外，五模超構材料還被用于聲學超構表面、聲學波導及隔聲設備的設計中。南京大學劉曉峻教授與程營教授課題組利用8組不同結構參數的五模超構材料晶格構建出投射型聲學超構表面，實現了對聲波的異常折射[23]；Norris教授課題組利用具有不同折射率的五模超構材料結構單元，設計出能夠實現水下聲波聚焦的聲學超構表面[24]；胡更開教授課題組通過對五模超構材料晶格幾何參數的設計，構建出折射率漸變的聲學超構表面，使得柱面波可以轉換為平面波，實現了水下聲波的波形轉換[25]；中國科學院聲學研究所楊軍教授課題組通過二維情況下的聲學坐標變換，設計了五模超構材料水下聲隱身斗篷及具有導波功能的彎曲波導結構，實現了對水下聲波的引導傳輸[26];西安交通大學徐卓教授與王兆宏教授課題組基于不同的晶格類型設計出多種晶格類型的三維五模超構材料，并通過引入結構幾何微擾在低頻處獲得聲子帶隙及其調控方法[3, 27-33]。

由于頻率越低的聲波，傳播得越遠，穿透力越強，越不容易衰減，很難控制和阻隔，因此在較寬禁帶頻率范圍內實現對低頻聲波的阻隔和減振降噪等就顯得尤其重要[34-37]。這就要求所設計的五模超構材料不僅具有帶隙，還需考慮如何使帶隙位置向低頻移動，同時最好具有較輕的重量和較好的結構穩(wěn)定性。在先前的研究中，五模超構材料的聲子帶隙頻率位置較高，帶隙中心頻率所對應的彈性波波長與對應的五模超構材料的晶格尺寸在同一數量級上，帶隙的頻率隨晶格尺寸的增加而單調降低，結構參數的變化也會對帶隙結構產生較為顯著的影響，具有典型的Bragg散射型聲子帶隙的特點。

為了解決Bragg散射型五模超構材料聲子帶隙在低頻范圍內的不足之處，基于局域共振原理[38]，提出局域共振型五模超構材料，本文對其設計及數值計算過程、能帶結構及帶隙調控方法、樣件加工及測試手段等方面進行詳細介紹，并對局域共振型五模超構材料研究中亟待解決的科學及工程問題進行分析探討。

2 對稱雙錐局域共振型五模超構材料

2.1 原胞的結構參數設計

局域共振型聲子晶體結構單元在發(fā)生局部共振時，其各階共振模態(tài)可以構成“彈簧-質量”系統(tǒng)。因此，設計具有局域共振特性的五模超構材料原胞時，每個雙錐結構可采用復合材料構成，這樣每個雙錐單元即可看作兩部分，一部分提供共振單元的質量，另一部分提供共振單元的彈性。對稱雙錐局域共振型五模超構材料結構如圖1所示，由16個對稱雙錐構成，窄直徑相互相交并構成面心立方結構。原胞的晶格常數為a，對稱雙錐的高度為h，寬直徑為D，窄直徑為d。每個雙錐都由兩種不同的材料A和B構成。材料A為硬質材料，材料B為軟質材料。在受力相同的情況下，不易形變的硬質材料就為整個“彈簧-質量”系統(tǒng)提供質量部分，易形變的軟質材料A為整個“彈簧-質量”系統(tǒng)提供彈性部分[30]。

圖1 對稱雙錐局域共振型五模超構材料原胞結構[30]Fig.1 Primary cell structure of the locally resonant pentamode metamaterial (PMs) with composite symmetric double-cone elements (SDCEs)[30]

2.2 能帶結構的低頻特性

對于可以等效為“彈簧-質量”系統(tǒng)的復合材料對稱雙錐基元，雙錐形變的部分提供彈性，沒有形變的部分提供質量。因此，對稱雙錐局域共振型五模超構材料第一帶隙的下界頻率對應的等效剛度k1和上界頻率所對應的等效剛度k2是由軟質材料B的形變量決定的；而對應的等效質量m1和m2分別由硬質材料A的質量(mA)和軟質材料B的質量(mB)決定的。此時，對稱雙錐局域共振型五模超構材料第一帶隙的下界頻率和上界頻率與等效剛度和等效質量的關系可以用式(1)表示[30]：

(1)

其中，等效質量m1和m2可以分別表示為:

(2)

式(2)中，α1為軟質材料B在局域共振第一帶隙下界頻率處的未形變系數；α2為軟質材料B在局域共振第一帶隙上界頻率處的形變系數。

圖2 對稱雙錐局域共振型五模超構材料能帶結構圖[30]Fig.2 Phononic band structure of the locally resonant PMs with composite SDCEs[30]

2.3 結構參數對聲子帶隙的影響

由式(1)與(2)可知，對稱雙錐局域共振型五模超構材料第一條帶隙的上、下界頻率可用 “彈簧-質量”系統(tǒng)原理模型來描述，通過分析給出的“彈簧-質量”系統(tǒng)原理模型中的等效參數，可以分析其上、下界頻率的變化趨勢。因此，能夠導致局域振子等效質量或等效剛度變化的任何材料和結構參數，均會對局域共振帶隙的起始頻率和截止頻率產生影響[38]。

為了系統(tǒng)地研究對稱雙錐局域共振型五模超構材料的共振特性，構建4種不同材料組合的樣品(表1所示)。其中軟質材料B均為硅橡膠，硬質材料A分別為高分子聚合物(S1)、鉛體(S2)、金屬鋁(S3)和光敏樹脂(S4)，對應的材料參數如表2所示。

表1 4種樣品的材料組合Table 1 Materials combinations of the four samples

表2 材料性能參數Table 2 Mass density ρ, Young’s modulus E and Poisson ratio υ of the materials

圖3中給出了窄直徑d的變化對第一帶隙上、下界頻率和相對帶寬的影響規(guī)律[30]。從圖3a中可以很明顯地看出，第一帶隙的下界頻率和上界頻率隨著窄直徑d的增加而增加。這是因為隨著窄直徑d的增加，等效剛度(k1和k2)也增加，而此時等效質量(m1和m2)基本沒有太大的變化，可以忽略，因此由式(1)可知，下界和上界頻率增加。此外，對于樣品4，當窄直徑d從0.2變化到0.5 mm時，其帶隙的上界頻率有一個明顯的上升，這與其他3種樣品的變化趨勢有所不同。這是因為，對于樣品4來說，其第一帶隙的上界頻率是由第7條能帶的最小值決定的，而當窄直徑d在0.2～0.5 mm取值時，第7條能帶到第14條能帶之間的帶隙被打開，從而造成其第7條能帶被壓縮，進而引起第一帶隙的上界頻率降低。

圖3 窄直徑d對第一帶隙的上、下界頻率(a)和相對帶寬(b)的影響[30]Fig.3 Influence of the d on the first phononic band gaps(PBGs) (a) and the relative bandwidth of the first PBGs (b)[30]

圖4為4種樣品在窄直徑d=0.2 mm時對應的能帶結構圖，其結果可以類推到窄直徑d取0.3和0.4 mm[30]?？梢钥闯?，4種樣品的第一帶隙上界都由其對應的第7條能帶的最小值決定，因此它們對應的第一帶隙上界頻率分別為159.4, 148.5, 152.9和89.4 Hz。很明顯，對于樣品1、樣品2和樣品3，它們的第7條能帶到第14條能帶(方框區(qū)域)基本上都集中在150到220 Hz之間；并且這個區(qū)間內樣品2沒有帶隙，樣品1和樣品3也只是有一個很窄的帶隙。但是對于樣品4來說，卻有兩個較寬的帶隙在這個區(qū)域被打開，從而造成對第一帶隙的擠壓。這樣與其他3個樣品相比，樣品4的第一帶隙上界頻率被明顯降低了。隨著窄直徑d的增加，區(qū)域內的帶隙被逐漸壓縮，從而引起樣品4的第一帶隙上界頻率快速地上升，這樣也使得其對應的相對帶寬呈現出與其他3種樣品不同的變化趨勢。如圖3b所示，樣品1、樣品2和樣品3的第一帶隙的相對帶寬隨著窄直徑d的增加而單調減小，樣品4的第一帶隙的相對帶寬隨著窄直徑d的增加先增加到一個最大值，然后開始減小。4種樣品第一帶隙對應的相對帶寬的最大值分別為1.22(S1)、1.60(S2)、1.35(S3)和0.97(S4)。

圖4 4種樣品在窄直徑d=0.2 mm對應的能帶結構圖[30]Fig.4 The corresponding phononic band structures of four samples with d=0.2 mm[30]

圖5給出了寬直徑D的變化對第一帶隙上、下界頻率和相對帶寬的影響規(guī)律[30]。從圖5a中可以很明顯地看出，對于4種樣品，第一帶隙的下界頻率隨著寬直徑D的增加而緩慢下降，下降幅度較小。這是由于寬直徑D的增加會引起等效質量m1緩慢增加，而等效剛度k1的變化卻很微小。不同的是，第一帶隙上界頻率處對應的結構單元是處于共振狀態(tài)的，局域共振狀態(tài)引起的雙錐軟質材料的形變程度會隨著寬直徑D的增加而增加，在這種情況下，k2不能被忽略，并隨著寬直徑的增加而快速增加。此時，等效剛度k2快速增加帶來的影響遠遠大于等效質量(m1和m2)增加帶來的影響。因此，第一帶隙的上界頻率隨著寬直徑D的增加而快速增加，對應的相對帶寬也隨著寬直徑D的增加而單調增加(圖5b)。

圖5 寬直徑D對第一帶隙上、下界頻率(a)和相對帶寬(b)的影響[30]Fig.5 Influence of the D on the first PBGs (a) and the relative bandwidth of the first PBGs (b)[30]

2.4 材料參數對聲子帶隙的影響

從上述分析可以看出，不同的材料組合會引起第一帶隙的下界頻率和上界頻率的不同，因此需要進一步對材料參數與第一帶隙的關系進行系統(tǒng)的分析。在進行相關數值計算時，結構參數固定為a=37.3 mm、D=3 mm和d=0.55 mm，硬質材料的材料參數以高分子聚合物(質量密度ρ=1190 kg·m-3和楊氏模量E=3 GPa)為參考基準進行分析。僅單一有規(guī)律地改變硬質材料(高分子聚合物)的材料參數ρ和E的其中一個，即在改變其中某一個材料參數的時候，另一個材料參數保持為參考基準不變。對應的數值計算結果如圖6所示[30]。

選取500 kg·m-3為間隔對ρ進行變化，同時固定E=3 GPa，在這種情況下，局域共振單元的等效質量m1和等效剛度k2都會隨著ρ的增大而增大。此時，由于m1的增加對第一帶隙上、下界頻率所帶來的影響遠遠大于k2的影響，因此第一帶隙的下界頻率和上界頻率將隨著ρ的增加而減小。在圖6a中，當ρ從1000變化到 10 000 kg·m-3時，第一帶隙的下界頻率從64降低到29 Hz，第一帶隙的上界頻率從194降低到61 Hz。由于第一帶隙上界頻率的下降趨勢明顯比下界頻率的下降趨勢快，其對應的相對帶寬也隨著ρ的增加表現出先減小后趨于平緩的趨勢(圖6c)。

由于硬質材料的E一般都在GPa量級，因此取E的變化范圍為3～60 GPa。從圖6b中可以看出，當E從3變化到60 GPa時，第一帶隙的上、下界頻率基本不隨E的改變而改變，其對應的第一帶隙下界頻率和上界頻率分別保持在60和170 Hz基本不變。當硬質材料的E在GPa量級變化時，其質量密度ρ=1190 kg/m3是固定不變的，這意味著對應的等效質量(m1和m2)也是固定不變的。此時的等效剛度(k1和k2)主要是由軟質材料的楊氏模量所決定的，硬質材料的楊氏模量的改變并不能決定等效剛度的大小。所以，當硬質材料的楊氏模量在GPa數量級改變時，第一帶隙的上界頻率基本穩(wěn)定在60 Hz，第一帶隙的下界頻率基本穩(wěn)定在 170 Hz，對應的第一帶隙的相對帶寬基本穩(wěn)定在0.95(圖6d)。

圖6 質量密度和楊氏模量對第一帶隙上下界頻率(a, b)和帶隙相對帶寬(c, d)的影響[30]Fig.6 Influence of mass density ρ and Young’s modulus E of the materials on the first PBGs (a, b) and the relative bandwidth of the first PBGs (c, d)[30]

從上述分析中可以看出，第一帶隙的頻率上、下界和相對帶寬主要受硬質材料A的質量密度的影響，楊氏模量的改變對第一帶隙的影響很有限。

3 非對稱雙錐局域共振型五模超構材料

利用復合材料對稱雙錐基元構建的局域共振型五模超構材料，其對應的第一帶隙頻率被降低到100 Hz以下的低頻，且?guī)兜南鄬捙cBragg散射型五模超構材料相比也得到了很大的拓寬，這為利用五模超構材料對低頻聲波進行調控提供了一種方法。但是從圖2中可以明顯地看出，對稱雙錐局域共振型五模超構材料對應的單模區(qū)域變得很窄，這就限制了壓縮波和剪切波的解耦頻率范圍。因此，為了改善對稱雙錐局域共振型五模超構材料的不足，在保持其第一帶隙具有低頻特性的情況下，利用窄直徑不同的非對稱雙錐單元構成非對稱雙錐局域共振型五模超構材料，對其單模區(qū)域進行拓寬，并對其局域共振特性進行了分析[31]。

3.1 原胞的結構參數設計

非對稱雙錐局域共振型五模超構材料的結構如圖7所示，原胞由16個窄直徑不同的復合材料雙錐基元按照面心立方結構組合而成，每個基元均由軟質材料Ⅰ和硬質材料Ⅱ兩種材料組成。原胞結構的晶格常數為a，雙錐的高度為H，材料Ⅰ分布在雙錐窄直徑的兩端，對應的高度分別為h，材料Ⅱ分布在中間，對應的高度為H-2h，兩端的窄直徑分別為d1和d2，寬直徑為D[31]。

圖7 非對稱雙錐局域共振型五模超構材料結構示意圖[31]Fig.7 Structure of the locally resonant PMs with composite asymmetric double-cone elements (ADCEs)[31]

3.2 單模區(qū)域及低頻帶隙特性

為了分析其能帶結構，選取兩種不同的材料組合進行研究，組合1為高分子聚合物和硅橡膠，組合2為鉛體和硅橡膠，材料參數如表2所示[31]。在布洛赫邊界條件下，利用有限元方法進行數值仿真，數值計算中所采用的結構參數為a=37.3 mm、h=0.1H=1.615 mm、d1=0.55 mm、d2=0.4d1=0.22 mm和D=3 mm。對應的聲子能帶結構如圖8所示，其中橫軸代表了面心立方晶格最簡布里淵區(qū)的高對稱點，縱坐標代表了頻率。為了將非對稱雙錐局域共振型五模超構材料與非對稱雙錐Bragg散射型五模超構材料的聲子能帶圖進行對比，將高分子聚合物單一材料構建的非對稱雙錐Bragg散射型五模超構材料的聲子能帶圖在圖8c中給出[31]。

在圖8a與8b中，均有3條完整的聲子帶隙。圖8a中，第一條帶隙的下界頻率和上界頻率分別為88.8和187.8 Hz，相對帶寬為0.716；第二條帶隙的下界頻率和上界頻率分別為194.4和203.2 Hz，相對帶寬為0.044；第三條帶隙的下界頻率和上界頻率分別為218.6和234.7 Hz，相對帶寬為0.071。圖8b中，第一條帶隙的下界頻率和上界頻率分別為28.7和61.1 Hz，相對帶寬為0.721；第二條帶隙的下界頻率和上界頻率分別為63.2和65.3 Hz，相對帶寬為0.033；第三條帶隙的下界頻率和上界頻率分別為70.3和76.1 Hz，相對帶寬為0.079。

對比圖8中3種材料的第一帶隙下界頻率所在的第15條能帶(藍色點線)可以發(fā)現，圖8a和8b中的明顯比圖8c中的平坦。這表明對于非對稱雙錐局域共振型五模超構材料來說，其第15條能帶在基元發(fā)生局域共振情況下被明顯地抑制了，而這些變得平坦的能帶曲線也是局域共振型聲子晶體能帶結構中的顯著特點。

圖8中單模區(qū)域被兩條能帶曲線分為3部分，這里只對最下方的第一條單模區(qū)域進行討論。圖8a中，硅橡膠和高分子聚合物復合材料(組合1)的第一條單模區(qū)域的下界頻率和上界頻率分別為3.89和24.52 Hz，單模區(qū)域相對帶寬為1.452。圖8b中，鉛體和硅橡膠復合材料(組合2)的第一條單模區(qū)域的下界頻率和上界頻率分別為1.27和7.87 Hz，單模區(qū)域相對帶寬為1.448。雖然組合1和組合2的單模區(qū)域位置有所不同，但是對應的相對帶寬基本相同，因此在與對稱雙錐局域共振型五模超構材料的單模區(qū)域進行對比時，只選取組合1和2中的一組進行對比即可。

圖8 非對稱雙錐五模超構材料能帶結構圖[31]：(a) 高分子聚合物和硅橡膠，(b) 鉛體和硅橡膠，(c) 高分子聚合物Fig.8 The phononic band structures of ADCEs samples[31]: (a) polymer and silicone rubber, (b) lead and silicone rubber, (c) polymer

在對比非對稱雙錐與對稱雙錐局域共振型五模超構材料的單模區(qū)域時，選取的復合材料組合為硅橡膠和高分子聚合物，即文中的組合1和樣品1，數值計算中所采用的結構參數為：a=37.3 mm、h=0.1H=1.615 mm、d=d1=0.55 mm和D=3 mm，結果如圖9所示[31]。圖9a為兩者單模區(qū)域上界頻率和下界頻率的對比圖，非對稱雙錐局域共振型五模超構材料的單模區(qū)域上界頻率和下界頻率都明顯低于對稱雙錐局域共振型五模超構材料的，并且兩者的單模區(qū)域上界頻率和下界頻率都隨著d2/d1的增大而上升。對應的單模區(qū)域相對帶寬如圖9b所示，對稱雙錐局域共振型五模超構材料單模區(qū)域的相對帶寬隨著d2/d1的增大從0.32減小到0.1,而非對稱雙錐局域共振型五模超構材料的基本保持在1.44附近不變，單模區(qū)域至少拓寬了4倍，增加了局域共振型五模超構材料的解耦區(qū)間。

圖9 對稱雙錐與非對稱雙錐局域共振型五模超構材料單模區(qū)域[31]：(a)上、下界頻率，(b)相對帶寬Fig.9 The PBGs (a) and relative bandwidth (b) of single phononic mode region of PMs with SDCEs and ADCEs[31]

圖10中為組合1和組合2非對稱雙錐局域共振型五模超構材料所對應的第一帶隙的上界頻率、下界頻率和帶隙相對帶寬與d2/d1的關系圖[31]。從圖10a和10b中可以看出，當d2/d1在0.2～0.9變化時，第一帶隙下界頻率隨著d2/d1增加而增加，而第一帶隙上界頻率卻基本保持在一個常數不變。這是因為，d2/d1在0.2～0.9變化時，窄直徑d2處比d1處更容易產生形變，因此對應了單元振子的起振狀態(tài)，即第一帶隙的下界頻率處。隨著d2/d1的增加，由d2處形變產生的等效剛度k2也增加，這樣第一帶隙的下界頻率也增加。而在單元振子的共振狀態(tài)，即第一帶隙的上界頻率處，窄直徑d1處也產生了形變，此時的共振頻率由窄直徑d1處形變產生的等效剛度k1決定，由于窄直徑d1是一個固定參數，所以其等效剛度k1是一個常數，即第一帶隙的上界頻率是一個常數。相反地，當d2/d1的比值在1.1～2.0變化時，窄直徑d1處比d2處更容易產生形變，此時第一帶隙下界頻率主要由窄直徑d1處形變產生的等效剛度k1決定，基本保持在一個常數不變。而第一帶隙的上界頻率由d2處形變產生的等效剛度k2決定，隨著d2/d1比值的增加，等效剛度k2增加，對應的第一帶隙上界頻率也增加。而當d2/d1的比值在1附近時，由于窄直徑d2處的形變難易程度與窄直徑d1處相近，所以沒有明顯對應的起振和共振狀態(tài)，即第一帶隙消失。兩種組合第一帶隙的相對帶寬如圖10c所示，與非對稱雙錐Bragg散射型五模超構材料相比，其對應的相對帶寬至少擴大了3倍。

圖10 組合1(a)和組合2(b)非對稱雙錐局域共振型五模超構材料第一帶隙上下界頻率和組合1與2的相對帶寬(c)隨d2/d1 變化[31]Fig.10 Variation of the lower and upper edge of the first PBGs for ADCEs with combination 1(a) and 2(b) and the relative bandwidth variation (c) with d2/d1[31]

3.3 低頻聲子帶隙的形成機理及調控方法

為了研究非對稱雙錐局域共振型五模超構材料帶隙的形成機理及調控方法，利用靜態(tài)介質連續(xù)力學對其第一帶隙上下界頻率處的振動模態(tài)進行了數值計算分析，所用結構參數為a=37.3 mm、h=0.1H=1.615 mm、d1=0.55 mm、d2=0.4d1=0.22 mm和D=3 mm。其初始模態(tài)、局域共振單元起振模態(tài)和共振模態(tài)分別如圖11a～11c所示，圖中標尺顏色代表了形變量的大小。

在初始模態(tài)(圖11a)中，窄直徑d1和d2處均沒有產生形變，整個局域共振單元只有一些整體移動。在局域共振單元第一帶隙下界頻率處的振動模態(tài)(圖11b)中，有效的形變僅出現在較小的窄直徑d2處，而在窄直徑d1處幾乎沒有形變發(fā)生。這是由于窄直徑d2小于d1，在相同受力情況下，形變往往都是從最容易形變的小直徑處開始。局域共振單元第一帶隙上界頻率處的振動模態(tài)如圖11c所示，可以明顯看出，在窄直徑d2形變產生的回復力驅動下，窄直徑d1處也開始形變，最終在兩個窄直徑d1和d2處均產生了形變[31]。

圖11 非對稱雙錐局域共振型五模超構材料的原胞的振動模態(tài)：(a)初始模態(tài)，(b)第一帶隙下界頻率處振動模態(tài)，(c)第一帶隙上界頻率處振動模態(tài)[31]Fig.11 Vibration modes of the primitive cell of ADCEs: (a) initial mode, (b) vibration mode at the lower edge frequency of the first PBG, (c) vibration mode at the upper edge frequency of the first PBG[31]

對于圖12所示的“彈簧-質量”系統(tǒng)模型，當振動以彈性波的形式傳播到該單元結構時，會對基體產生力F的作用，而質量塊M的運動同樣對基體產生一個反作用力F′，因此基體在外部激勵力F和內部反作用力F′的作用下運動。當外部激勵的頻率與內部局域共振單元的固有頻率相近時，內部局域共振單元發(fā)生共振，內部局域共振單元對基體的反作用力F′始終與外部激勵力F反向疊加，基體的振動減弱。當兩者頻率完全相等時，即發(fā)生反共振現象，作用在基體上的合力趨于零，振動完全被抵消。因此，振動無法在基體中傳播，而能量被共振單元吸收并局限在每個結構單元中，從而形成帶隙[31]。

圖12 復合材料非對稱雙錐基元結構簡化模型[31]Fig.12 Simplified model for composite ADCEs[31]

考察圖11中的各階共振模態(tài)，可以發(fā)現：在發(fā)生各階共振時，不同窄直徑復合材料雙錐單元結構的鉛體部分提供質量，形變的硅橡膠部分提供彈性，這樣不同窄直徑復合材料雙錐單元就可以看作一個“彈簧-質量”系統(tǒng)模型。當振動以彈性波的形式傳播到五模超構材料的局域共振單元時，會對質量塊M產生力的作用，在此外部激勵力F的作用下，雙錐容易形變的一端開始發(fā)生形變，產生與彈性剛度k1相關的彈性回復力F1，在彈性回復力F1的作用下，雙錐的另一端也開始產生形變，產生與彈性剛度k2相關的彈性回復力F2。質量塊M在這兩個彈性回復力的作用下進行振動，對外部激勵力F產生一個反作用力F′，當外部激勵的頻率與不同窄直徑復合材料雙錐單元的固有頻率相等時，振動被完全抵消，無法在基體空氣中傳播，對應頻率的彈性波能量被共振單元吸收并局限在每個單元結構中，形成五模超構材料的低頻局域共振帶隙。

對于非對稱雙錐局域共振型五模超構材料，等效剛度k1和k2可以由硅橡膠的形變量計算[31]：

(3)

式中：C11=λ硅橡膠+2μ硅橡膠，λ硅橡膠=6×10-4GPa，μ硅橡膠=4×10-5GPa；q是修正系數。由于只有部分硅橡膠發(fā)生了形變提供彈性，因此q在0到1之間取值。這樣第一帶隙的下界頻率可以表示為：

(4)

第一帶隙下界頻率的理論計算結果和數值仿真結果如圖13所示，可以看出，無論是組合1還是組合2，它們的理論計算結果和數值仿真結果具有相同的變化趨勢和較好的吻合度，在高頻處的偏差是因為：由于硅橡膠的形變量是隨時變化的，而選取的修正系數q=0.25是一個固定的估算值，這使得理論計算結果和數值仿真結果在d2/d1的大比值處存在一些偏差。當d2/d1<1時，第一帶隙的下界頻率主要由窄直徑d2決定，因此隨著d2/d1的增大，窄直徑d2也增大，帶隙的下界頻率隨著比值的增大而增大；當d2/d1>1時，第一帶隙的下界頻率主要由窄直徑d1決定，而窄直徑d1是一個固定的結構參數，所以帶隙的下界頻率隨著比值的增大基本不變[31]。

圖13 組合1(a)和組合2(b)非對稱雙錐局域共振型五模超構材料的第一帶隙下界頻率隨d2/d1比值的變化曲線[31]Fig.13 Variation of the lower edge of the first PBGs for combination 1(a) and 2(b) ADCEs with d2/d1[31]

3.4 品質因數

在對三維五模超構材料進行帶隙降頻和單模區(qū)域擴展的同時，也希望提高其對應的品質因數，因為其品質因數越大，越容易解除壓縮波和剪切波的耦合，其“流體”特性也就越好。三維五模超構材料的品質因數與壓縮波和剪切波的相速度比值CB/CG有如式(5)的關系[18]：

FOM=B/G=(CB/CG)2

(5)

因此，可以通過對比三維五模超構材料的相速度比值來對比其品質因數的大小。組合1和組合2所對應的相速度比值隨d2/d1的變化關系如圖14所示，可以看出，非對稱雙錐局域共振型五模超構材料的相速度比值的最大值大約在24.2，而窄直徑不同的Bragg散射型五模超構材料的相速度比值的最大值大約在16.2。相對于Bragg散射型五模超構材料，局域共振型五模超構材料的相速度比值提高了49.4%，即品質因數可以提高123%[31]。

圖14 五模超構材料壓縮波和剪切波相速度比值與d2/d1比值的關系[31]Fig.14 Relationship between the phase velocity ratio of compression and shear waves and d2/d1 for pentamode metataterials[31]

4 五模超構材料的制備工藝及測試方法

4.1 五模超構材料的制備工藝

五模超構材料的制備工藝按照制備結構的維度，可以分為三維五模超構材料制備工藝和二維五模超構材料制備工藝兩大類。目前已報道的五模超構材料的制備技術有激光直寫技術[18]、3D打印技術[4, 22, 39]、高壓水射流切割技術[40]、慢走絲線切割技術[4]和微細銑削加工技術[9]等。

2012年，德國卡爾斯魯厄理工學院的研究人員利用激光直寫技術加工高分子聚合物，首次制備出單元結構尺寸為微米級別的三維五模超構材料微結構(圖15)[18]。制備的微結構樣件整體尺寸為261 μm×261 μm×224 μm，由7×7×6個面心立方晶胞構成，晶胞內部雙錐最窄接觸處直徑為1 μm，最寬處直徑為3 μm。這種微觀五模超構材料的成功制備，將1995年Milton等提出的三維五模超構材料從概念變?yōu)榱爽F實，打開了五模超構材料應用的大門。然而，聚合物承載能力較弱，五模超構材料的雙錐窄直徑不能做到太小，否則結構在重力作用下很容易在窄接觸處斷裂。激光直寫技術的優(yōu)點是可以達到微米量級制造精度，缺點在于結構穩(wěn)定性和樣件的表面平滑度不高。

圖15 激光直寫技術制備的高分子聚合物五模超構材料[18]Fig.15 Polymeric PMs fabricated by laser direct writing technique[18]

利用3D打印技術制備的五模超構材料樣件如圖16所示。胡更開教授課題組利用金屬3D打印技術制備了鈦基二維五模超構材料樣件(圖16a)，樣件是截面直徑為118 mm、高度為104 mm的圓柱體，六邊形晶胞單邊長為20 mm，薄壁厚度為1 mm[4]。意大利的Amendola等[39]利用金屬3D打印技術打印出了鈦基三維五模超構材料樣件，并對其水平和垂直方向的等效剛度、剪切模量和壓縮模量等力學性能進行了測試，測試結果表明，微觀結構的幾何形狀和約束的晶格的宏觀長寬比強烈影響結構的橫向和垂直剛度性質。雖然金屬3D打印技術可以制備穩(wěn)定性較好的三維五模超構材料，但是其樣件表面不夠光滑，會對聲波的傳播造成不可預估的影響。德國卡爾斯魯厄理工學院的研究人員利用噴涂3D打印技術制備了單元結構尺寸為毫米量級的宏觀高分子聚合物五模超構材料微結構(圖16b)，微結構樣件由3×3×6個晶胞單元組成，晶格常數分別為10 mm和15 mm，并通過力學性能測試驗證了其高品質因數(大于1000)[22]。

圖16 3D打印五模超構材料樣件：(a)鈦基二維五模超構材料[4]，(b)聚合物基三維五模超構材料[22]Fig.16 3D printed PMs: (a) titanium-based two-dimensional PMs[4], (b) polymer-based three-dimensional PMs[22]

2013年，法國Hladky-Hennion等通過高壓水射流切割技術制備了二維鋁基平板型五模超構材料(圖17)，并實現了聲波聚焦功能[40]。樣件由高壓水射流切割的15層5 mm厚的鋁板拼接而成，樣件的長度為265 mm，寬度大約在58.1～60 mm之間，高度為75 mm。樣件晶胞為二維五模超構材料對應的蜂窩結構，晶胞單邊長度為6.445 mm，蜂窩結構壁面厚度為0.5 mm。

圖17 高壓水射流切割技術制備的鋁基二維五模超透鏡[40]Fig.17 Aluminum-based two-dimensional PM super lens fabricated by water-gun cutting technique[40]

圖18a和18b分別為胡更開教授課題組利用慢走絲線切割技術制備的鋁基二維五模超構材料和二維梯度漸變環(huán)形五模超構材料隱身衣樣件[4]。圖18a中的兩個鋁基二維五模超構材料樣件均采用板材整體切割而成，五模超構材料微結構所占區(qū)域長寬均為120和34.64 mm，厚度分別為10和50 mm。五模超構材料胞元邊長為10 mm，最薄壁厚為0.4 mm，其楊氏模量測試結果為85 MPa。圖18b為二維梯度漸變環(huán)形五模超構材料隱身衣樣件，具有較高的加工精度。

圖18 慢走絲線切割技術制備的鋁基二維五模超構材料[4]：(a)周期結構；(b)聲斗篷Fig.18 Aluminum-based two-dimensional PMs fabricated by WEDM-LS[4]: (a) periodic PMs; (b) acoustic cloak

圖19為武漢第二船舶研究院采用微細銑削加工技術制備的環(huán)形鋁基五模超構材料聲斗篷[9]，該環(huán)形材料周向包含50個周期，徑向包含13層相同等效性質的微結構。環(huán)形層內徑、外徑分別為75和150 mm，最小連接點尺寸達到了0.1 mm。

圖19 采用微細銑削技術制備的環(huán)形鋁基二維五模超構材料聲斗篷[9]Fig.19 Aluminum-based two-dimensional PMs acoustic cloak fabricated by micro milling[9]

4.2 五模超構材料力學和聲學性能測試方法

目前，對五模超構材料力學性能的研究一般集中在對其楊氏模量E、剪切模量G和體積彈性模量B的研究和測試上，它們都是與變形有關的一種指標。測量五模超構材料力學性能的系統(tǒng)如圖20所示，測試系統(tǒng)上端為一個可以移動的傳動軸，固定五模超構材料樣件的上端可以使其進行壓縮/拉伸和水平移動；下端是一個固定的平臺，用來固定五模超構材料樣件的下端[9, 22]。由于B與E和G存在如式(6)關系：

圖20 五模超構材料力學性能測試系統(tǒng)[9]Fig.20 Testing system for mechanical properties of PMs[9]

E=2G(1-υ)=3B(1-2υ)

(6)

因此有式(7)：

(7)

這樣，只需測量五模超構材料的E和G就可以得到對應的體積彈性模量B。

五模超構材料的聲學性能測試包括對其聲波透射系數和反射系數進行測試。常用的聲學測量儀器有各種聲級計、駐波管、消聲室、隔聲室和消聲水池等。圖21為駐波管照片，利用駐波管可以對五模超構材料在不同波型和不同入射角度條件下的聲波傳播特性進行測量，包括吸聲系數與透射率等[41]。然而聲駐波管多數為圓柱結構，這就需將五模超構材料設計加工成聲駐波管所需的結構或者對其周圍進行填補吸聲材料進行測試，否則在測試的過程中很容易出現聲波泄漏，對測試結果產生影響。

圖21 五模超構材料的空氣聲傳輸測試系統(tǒng)[41]Fig.21 Air acoustic transmission test system for PMs[41]

對五模超構材料的水下聲波傳輸特性進行測試可采用如圖22所示的測試方法與系統(tǒng)[25]，此系統(tǒng)可以測量五模超構材料水下聲波的反射率和透射率。目前對于五模超構材料聲學性能的測試主要還是集中在高頻波段，對于低頻波段的測試還很少，主要是因為低頻聲波的波長較長，在實際測試中，很難避免繞射聲波對測試結果的影響。

圖22 五模超構材料的水下聲傳輸性能測試系統(tǒng)[25]Fig.22 Underwater acoustic transmission performance test system for PMs[25]

5 結 語

局域共振型五模超構材料不僅可以得到完整的聲子帶隙，而且可以將聲子帶隙降低到100 Hz以下的低頻區(qū)域，其第一帶隙的相對帶寬、單模區(qū)域也得到了很大的提高。通過分析局域共振型五模超構材料的上界和下界頻率處的振動模態(tài)，闡述了第一帶隙下界頻率的調控方法。局域共振型五模超構材料的晶格常數a比其第一帶隙對應的工作波長小兩個數量級。這意味著，局域共振型五模超構材料為利用小尺寸五模超構材料控制長波長聲波提供了可能，并且可以有效地減小五模超構材料聲學器件的尺寸和重量。此外，局域共振型五模超構材料的品質因數也得到了提升。雖然對局域共振型五模超構材料已經進行了初步的研究，但仍有很多關鍵問題需要進一步的研究。

(1)構建和設計新型局域共振型五模超構材料原胞結構。現有的局域共振型五模超構材料是基于面心立方點陣構建的三維微結構，基元具有較好的空間結構對稱性，降低或改變其結構對稱性，以設計具有更大各向異性調節(jié)能力、更寬完全聲子帶隙、更易于加工制備的新型原胞結構是一個值得研究的問題。

(2)高效模擬算法及優(yōu)化。鑒于局域共振型五模超構材料的低體積填充率和其復雜的微結構形狀，對于多周期局域共振型三維五模超構材料，采用直接有限元離散需要大量資源而且耗時較長,尤其是對聲波傳輸數進行特性值計算工作量巨大，進一步建立快速高效的數值模擬算法至關重要。

(3)復合材料局域共振型五模超構材料的制備及低頻聲學實驗驗證。復合材料局域共振型五模超構材料的材料和加工方法還受到一定的條件限制，其工程驗證也需要解決如何實現高精度大尺寸快速加工、結構脆裂不耐壓等問題。此外，對五模超構材料器件的聲學傳輸特性測試一般都在高頻波段，其聲學低頻波段的聲學傳輸特性測試方法還需進一步的設計。