周 建，蔡 鍵，楊 帆，楊新安

(1.道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(同濟(jì)大學(xué))，上海 201804； 2.浙江溫州沈海高速公路有限公司，浙江 溫州 325000)

隨著中國(guó)公路、鐵路隧道的交通建設(shè)蓬勃發(fā)展，山嶺隧洞穿越富水環(huán)境的工況急劇增加[1-3]，此環(huán)境中的深埋山嶺隧洞主要采取“堵水限排”支護(hù)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則[4-5]，一般通過(guò)“注漿圈+襯砌”的堵水方式實(shí)現(xiàn). 現(xiàn)階段，地下水在圍巖中的滲流特征尚不明朗，設(shè)計(jì)人員不能準(zhǔn)確把握水壓隧洞支護(hù)設(shè)計(jì)[6]. 文獻(xiàn)[7]指出：要在堵水限排情況下進(jìn)行襯砌結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)研究，必須從理論上研究水作用下圍巖和襯砌結(jié)構(gòu)的力學(xué)特征，弄清二者相互作用的機(jī)制，才能合理提供隧洞支護(hù)設(shè)計(jì)參數(shù). 關(guān)于隧洞在滲流條件下圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)的作用理論解析國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)[8]基于廣義有效應(yīng)力原理，提出了水壓隧洞不同類型襯砌與圍巖作用的解析解；文獻(xiàn)[9]將數(shù)值試驗(yàn)與解析解相結(jié)合，為深埋隧道在地下水包圍下初期支護(hù)與二次襯砌的初步設(shè)計(jì)提供了合理的途徑；文獻(xiàn)[10]研究了考慮襯砌和滲流場(chǎng)作用下海底隧道的彈塑性位移和應(yīng)力解析解；文獻(xiàn)[11]推導(dǎo)了圍巖、注漿圈、襯砌和地下水共同作用下隧洞的彈塑性解，并提出了最優(yōu)注漿圈厚度的確定方法；文獻(xiàn)[12]基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論，給出隧洞滲流壓力、襯砌、注漿與巖體的相互作用的彈塑性解；以上支護(hù)設(shè)計(jì)研究均是基于達(dá)西定律基礎(chǔ)上進(jìn)行的，部分試驗(yàn)[13-14]表明：致密砂巖、破碎巖石等介質(zhì)中的滲流呈現(xiàn)明顯的非達(dá)西流特征. 為了得到合理的支護(hù)設(shè)計(jì)，必須分析巖土材料的滲流屬于線性還是非線性，部分學(xué)者對(duì)非線性滲流進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)[15]建立二次型高速非達(dá)西本構(gòu)模型，預(yù)測(cè)了深埋隧洞的涌水量；文獻(xiàn)[16]開(kāi)展了不同顆粒粒徑多孔介質(zhì)在高水力梯度條件下的高速非線性滲流規(guī)律試驗(yàn)研究，并確定了非線性滲流模型參數(shù)與顆粒粒徑之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[17]建立巖體破壞突水非達(dá)西滲流模型，模擬了突水瞬態(tài)流動(dòng)全過(guò)程，并認(rèn)為巖體破壞突水問(wèn)題采用非達(dá)西流模型計(jì)算十分必要；文獻(xiàn)[18]進(jìn)行了切向位移作用下粗糙單裂隙的高速非達(dá)西滲流數(shù)值模擬分析，并給出了非線性滲流模型的經(jīng)驗(yàn)公式；文獻(xiàn)[19]建立了粗糙巖石裂隙低速非線性滲流模型并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證；文獻(xiàn)[20]建立了低滲透巖石非線性滲流的運(yùn)動(dòng)方程，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)值驗(yàn)證了所建立運(yùn)動(dòng)方程的正確性.

綜上所述，巖石滲流可能是低速非線性的、線性的，或是高速非線性的，這取決于地下水在圍巖中的分布和隧洞開(kāi)挖巖體破壞程度. 目前，關(guān)于隧洞圍巖非線性滲流理論分析鮮少被關(guān)注，因此，亟待給出隧洞處于低速非線性滲流或是高速非線性滲流狀態(tài)下的彈塑性解析解，以便精確地指導(dǎo)隧洞支護(hù)設(shè)計(jì). 本文將Izbash非線性滲流模型引入隧洞滲流理論，基于統(tǒng)一強(qiáng)度理論，推導(dǎo)深埋隧洞在注漿、襯砌作用下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)解析公式，并討論了非線性滲流對(duì)隧洞圍巖應(yīng)力、位移和塑性區(qū)半徑的影響.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 力學(xué)模型及基本假定

建立如圖1所示的圓形隧洞力學(xué)模型，并作出如下假定：1)深埋隧洞處于地下水包圍中；2)圍巖為均質(zhì)﹑各向同性的連續(xù)介質(zhì)；3)水流經(jīng)圍巖和支護(hù)材料時(shí)流向以徑向?yàn)橹鳎?)初始地應(yīng)力為p0，rp、r3、r2和r1分別為塑性區(qū)半徑、襯砌內(nèi)半徑、襯砌外半徑和注漿圈外半徑，rw為遠(yuǎn)場(chǎng)水頭半徑，文獻(xiàn)[21]認(rèn)為隧洞遠(yuǎn)場(chǎng)水頭半徑rw一般大于30倍r1時(shí)，可保證工程精度，因此，可將隧洞在rw處的徑向應(yīng)力視為p0，圍巖遠(yuǎn)場(chǎng)、彈塑性區(qū)邊界、注漿圈外邊界、襯砌外邊界、襯砌內(nèi)邊界的水頭分別為hw、hp、h1、h2和h3，圍巖、注漿圈和襯砌的滲透系數(shù)分別為k1、k2和k3，圍巖與注漿圈、注漿圈與襯砌、襯砌內(nèi)邊界和塑性區(qū)邊界處的壓力分別為p1、p2、p3和pp.

圖1 力學(xué)模型

1.2 滲流場(chǎng)水頭分析

本文考慮的非線性滲流即圍巖(或注漿圈、襯砌)的水力梯度呈非線性變化，因圍巖遠(yuǎn)場(chǎng)水壓與襯砌內(nèi)水壓可確定，則在邊界處水頭[22]有

(1)

式中：hs為不同位置處的水頭，hs=ps/γ，其中ps為不同位置處的水壓力，γ為地下水重度. 水頭一般通過(guò)監(jiān)測(cè)水壓并根據(jù)水頭、水壓的關(guān)系式獲得.

冪函數(shù)型Izbash方程因其公式簡(jiǎn)單明了被廣泛應(yīng)用于研究巖土材料的非線性滲流特征，Izbash方程的水力梯度公式[23]為

Js=Asvsms.

(2)

式中：s=1、2、3，分別代表圍巖、注漿圈和襯砌材料；J1、J2、J3分別為圍巖、注漿圈和襯砌內(nèi)某點(diǎn)水力梯度；A1、m1為圍巖的水力梯度待定系數(shù)，A2、m2為注漿圈的水力梯度待定系數(shù)，A3、m3為襯砌的水力梯度待定系數(shù)，其中1﹤m1﹤2時(shí)，式(2)反映了顯著的慣性效應(yīng)而導(dǎo)致的非線性滲流特征，當(dāng)0﹤m1(或m2、m3)﹤1時(shí)，式(2)反映了低滲透巖石介質(zhì)中固液界面效應(yīng)導(dǎo)致的非線性滲流特征，而當(dāng)m1(或m2、m3)=1時(shí)，式(2)服從達(dá)西定律；v1、v2、v3分別為圍巖、注漿圈、襯砌內(nèi)某點(diǎn)滲流速度.

根據(jù)文獻(xiàn)[24]，平面徑向滲流速度方程有

(3)

式中r為任意一點(diǎn)距離洞心的距離.

求解式(3)，代入式(2)后等式兩邊積分，并根據(jù)Js=?hs/?r，可得

(4)

式中c1、c2均為待定系數(shù).

當(dāng)r1

(5)

式(5)為二元一次方程，可解出Asc1ms和c2，代入式(4)繼而求出hs. 同理，r2

(6)

1.3 統(tǒng)一強(qiáng)度理論

統(tǒng)一強(qiáng)度理論自俞茂宏創(chuàng)立以來(lái)，廣泛應(yīng)用于巖石、混凝土等拉壓特性不同的材料，彌補(bǔ)了Mohr-Coulomb準(zhǔn)則未能考慮中間主應(yīng)力致使計(jì)算結(jié)果偏于保守的遺憾. 統(tǒng)一強(qiáng)度理論在平面應(yīng)變狀態(tài)下的表達(dá)式為

(7)

式中：σ1、σ3為第一主應(yīng)力、第三主應(yīng)力；c、φ為材料粘聚力、內(nèi)摩擦角，ct、φt為材料統(tǒng)一粘聚力、內(nèi)摩擦角，將圍巖、注漿圈和襯砌的粘聚力分別設(shè)為c1、c2和c3及內(nèi)摩擦角分別設(shè)為φ1、φ2和φ3，則材料統(tǒng)一粘聚力可對(duì)應(yīng)為ct1、ct2和ct3，材料統(tǒng)一內(nèi)摩擦角對(duì)應(yīng)為φt1、φt2和φt3；b為參數(shù)，反映中間主應(yīng)力對(duì)材料強(qiáng)度的影響程度，取值為0≤b≤1,b的具體值可根據(jù)材料的力學(xué)試驗(yàn)確定.

假設(shè)σθ(徑向有效應(yīng)力)>σr(切向有效應(yīng)力)，令σ1=σθ、σ3=σr，則式(7)中第1式可改寫為

(8)

2 非線性滲流作用下的隧洞圍巖應(yīng)力、位移分析

根據(jù)彈性力學(xué)理論，材料考慮滲透力時(shí)的平衡微分方程為

(9)

幾何方程為

(10)

式中u為材料的徑向位移.

彈性區(qū)服從虎克定律的平面應(yīng)力應(yīng)變方程為

(11)

式中：Ej、μj分別為彈性模量和泊松比，且圍巖、注漿圈和襯砌的彈性模量分別為E1、E2、E3，圍巖、注漿圈和襯砌的泊松比分別為μ1、μ2、μ3.

2.1 彈塑性交界處位于襯砌內(nèi)

將式(9)與式(11)聯(lián)立，并根據(jù)邊界條件σr|r=rw=-p0，σr|r=r1=-p1，σr|r=r2=-p2，σr|r=rp=-pp,圍巖、注漿圈和襯砌有彈性位移分別為

(12)

(13)

(14)

其中hp在所處材料中按照差值法計(jì)算.

將式(12)～(14)代入式(11)，則圍巖、注漿圈和襯砌徑向、切向應(yīng)力分別為

(15)

(16)

(17)

將式(8)與式(9)聯(lián)立，并根據(jù)邊界條件σr|r=r3=-p3，則襯砌內(nèi)塑性徑向、切向應(yīng)力分別為

(18)

式中

假定材料塑性階段體積應(yīng)變?yōu)?，根據(jù)幾何方程式(10)，則襯砌塑性區(qū)位移為

(19)

聯(lián)立式(12)～(14)，并根據(jù)位移在邊界處連續(xù)：

u11|r=r1=u12|r=r2.

(20)

可求得p1和p2. 將襯砌內(nèi)壓p3視為0，由徑向應(yīng)力連續(xù)：

σr3|r=rp=σrp4|r=rp.

(21)

可求得rp，從而獲得圍巖應(yīng)力，下文參照此法求p1、p2和rp.

2.2 彈塑性交界處位于注漿圈內(nèi)

圍巖仍處于彈性狀態(tài)，則圍巖位移u21=u11，圍巖徑向、切向應(yīng)力σr21=σr11、σθ21=σθ11. 將式(9)代入式(11)，根據(jù)邊界條件σr|r=r1=-p1，σr|r=rp=-pp,注漿圈彈性部分位移為

(22)

材料塑性階段位移參照式(19),則注漿圈、襯砌塑性部分位移分別為

(23)

(24)

將式(22)代入式(11)，將式(8)代入式(9)，并根據(jù)邊界條件σr|r=r2=-p2、σr|r=r3=-p3，注漿圈彈性部分、注漿圈塑性部分和襯砌的徑向、切向應(yīng)力分別為

(25)

(26)

(27)

式中：

2.3 彈塑性交界處位于圍巖內(nèi)

將式(9)與式(11)聯(lián)立，并根據(jù)邊界條件σr|r=rw=-p0，σr|r=rp=-pp，圍巖彈性位移有

(28)

式中：

材料塑性階段位移參照式(19),則圍巖、注漿圈和襯砌塑性部分位移分別為

(29)

(30)

(31)

將式(28)代入式(11)，圍巖彈性部分徑向、切向應(yīng)力分別為

(32)

將式(8)代入式(9)，并根據(jù)邊界條件σr|r=r2=-p2、σr|r=r3=-p3，圍巖塑性部分和注漿圈的徑向、切向應(yīng)力分別為

(33)

(34)

式中：

襯砌的徑向、切向應(yīng)力與式(27)相同，即σrp34=σrp24、σθp34=σθp24.

3 實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文的理論解答，借助文獻(xiàn)[15]實(shí)例參數(shù),隧洞襯砌內(nèi)半徑r1=4 m、外半徑r2=5 m，注漿圈外半徑r3=5.2 m,初始地應(yīng)力p0=10 MPa,遠(yuǎn)場(chǎng)水頭半徑rw=200 m，α=1，遠(yuǎn)場(chǎng)水壓力pw=1 MPa,地下水重度γ=10 kN/m3，h1=50 m，h2=h3=0 m，圍巖、注漿圈和襯砌參數(shù)見(jiàn)表1.

理論計(jì)算時(shí)，將隧道已知參數(shù)代入上述公式，當(dāng)求得塑性區(qū)半徑rp與某一種彈塑性邊界情況一致時(shí)，則位移場(chǎng)與應(yīng)力場(chǎng)按照該情況計(jì)算.

利用ABAQUS有限元軟件模擬文獻(xiàn)[15]工況，為了減少模型邊界效應(yīng)，建立模型如圖3所示，模型為210 m×210 m監(jiān)測(cè)斷面為隧洞縱向中心斷面. 為模擬隧洞的非線性滲流，根據(jù)地下水流速公式：

ksJs=vs，

(35)

式中ks為材料的滲透系數(shù)， 并結(jié)合式(2)可得

表1 圍巖、注漿圈和襯砌參數(shù)

圖2 隧道模型圖

(36)

假設(shè)在隧洞遠(yuǎn)端的滲流速度vs和水力梯度參數(shù)As一定，且取vs為1×10-4m/s，根據(jù)式(36)，可得m1=0.5、m1=1.5的圍巖等效滲透系數(shù)分別為5×10-6m/s、0.05 m/s，則隧洞監(jiān)測(cè)斷面洞壁的位移、切向應(yīng)力的數(shù)值解與本文理論解對(duì)比見(jiàn)表2、3.

表2 隧洞洞壁位移對(duì)比

表3 隧洞切向應(yīng)力對(duì)比

從表2可以看出，本文理論解較數(shù)值解略大，隨著m1增大，洞壁位移誤差在8.8%以內(nèi)，隧洞切向應(yīng)力誤差最大為14.1%，理論解與數(shù)值解吻合性較好，驗(yàn)證了理論解的可靠性.

4 非線性滲流對(duì)隧洞塑性區(qū)半徑、圍巖應(yīng)力和位移的影響

一般來(lái)說(shuō)，材料的滲透系數(shù)越小，水流穿過(guò)材料裂隙的難度越大，水力梯度待定系數(shù)越小，由于表1中注漿圈和襯砌的滲透系數(shù)遠(yuǎn)小于圍巖，不難判斷，m1值大于m2和m3，假設(shè)m2=m3，分析非線性滲流對(duì)隧洞塑性區(qū)半徑、圍巖應(yīng)力和位移的影響，如圖3、4、5所示.

圖3 本文方法得到的塑性區(qū)半徑與Li解對(duì)比圖

圖4 考慮非線性滲流的隧洞應(yīng)力分布

從圖3可以看出，隨著b值增大，塑性區(qū)半徑rp逐漸減小且最大減小幅度為13.2%，而工程實(shí)踐中rp的精確性直接影響支護(hù)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，說(shuō)明考慮中間主應(yīng)力是必要的，否則誤差較大；m1對(duì)rp值的影響遠(yuǎn)大于m2和m3，且m1越大rp越大. 根據(jù)上述分析，圖4僅探討m1對(duì)圍巖應(yīng)力的影響，因此假定m2=m3=0.4. 當(dāng)b=0.4時(shí)，隨著m1越大，圍巖徑向、切向應(yīng)力越小. 結(jié)合圖3和圖4，當(dāng)m1=1.0、m2=m3=0.4時(shí)，圍巖滲流服從達(dá)西定律，塑性區(qū)半徑、圍巖應(yīng)力與文獻(xiàn)[15]較為接近，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了本文理論方法的可行性. 綜上所述，當(dāng)圍巖滲流為高滲透性非線性滲流時(shí)，若采用達(dá)西定律則低估塑性區(qū)半徑、高估實(shí)際圍巖應(yīng)力，不利于支護(hù)設(shè)計(jì)；圍巖滲流為低滲透性非線性滲流時(shí)，達(dá)西定律計(jì)算得到塑性區(qū)半徑偏大、圍巖應(yīng)力偏保守.

圖5顯示了b=0.4時(shí)隧洞位移與支護(hù)厚度的關(guān)系，D1、D2分別為注漿圈、襯砌厚度，當(dāng)支護(hù)厚度一定時(shí)，圍巖滲流從低滲透性非線性滲流向高滲透性非線性滲流轉(zhuǎn)變時(shí)，隧洞位移逐漸增大，因此，當(dāng)隧洞圍巖處于高水壓、突水嚴(yán)重地層時(shí)，傳統(tǒng)的達(dá)西定律計(jì)算的洞壁位移偏于保守，不利于隧洞施工安全. 另外，隨著注漿圈和襯砌厚度的增大，洞壁位移能夠得到有效控制，但襯砌厚度超過(guò)1 m時(shí)，洞壁位移的控制并不顯著，則支護(hù)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)合理設(shè)定支護(hù)材料厚度，以免造成較大浪費(fèi).

圖5 隧洞位移與支護(hù)厚度曲線

5 結(jié) 論

1)在注漿、襯砌支護(hù)條件下，基于Izbash非線性滲流模型，求得圍巖及支護(hù)材料的水頭分布，并運(yùn)用統(tǒng)一強(qiáng)度理論，推導(dǎo)了塑性區(qū)在不同材料位置時(shí)的應(yīng)力和位移彈塑性解.

2)考慮非線性滲流的理論位移解較等效后的ABAQUS解略大，切向應(yīng)力誤差在允許范圍之內(nèi)，吻合性較好；中間主應(yīng)力和圍巖的水力梯度系數(shù)m1對(duì)隧洞塑性區(qū)半徑的影響顯著，而對(duì)圍巖應(yīng)力的影響較塑性區(qū)半徑略小.

3)圍巖水力梯度系數(shù)m1對(duì)隧洞位移的影響不容忽視，當(dāng)隧洞圍巖處于高速非線性滲流時(shí)，達(dá)西定律計(jì)算的隧洞位移偏保守，體現(xiàn)了研究非線性滲流作用下隧洞彈塑性分析的重要意義；另外，不能盲目追求安全性而增加支護(hù)材料厚度，否則導(dǎo)致支護(hù)不經(jīng)濟(jì).