李開瑋

（廣東理工學(xué)院 廣東肇慶 526100）

一、問題來源

如圖1 所示，表面光滑的橢圓曲面固定在水平面上，長半軸為a，短半軸為b，一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)由頂端下滑，求解質(zhì)點(diǎn)離開橢圓曲面時(shí)的速度及所用時(shí)間.

圖1 問題示意圖

分析： 如圖2 所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度為v，質(zhì)點(diǎn)與橢圓中心連線與豎直方向夾角為θ，質(zhì)點(diǎn)所在位置法線與水平方向角為α，橢圓對(duì)質(zhì)點(diǎn)支持力為N， 以橢圓中心為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤 軸，豎直方向?yàn)閥 軸，建立直角坐標(biāo)系，則橢圓方程為：

設(shè)橢圓參數(shù)方程為：

設(shè)質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，質(zhì)點(diǎn)所在處斜率為：

則質(zhì)點(diǎn)所在處法線的斜率為：

由（4）可得：

質(zhì)點(diǎn)所在位置曲率半徑為：

根據(jù)功能原理有：

當(dāng)N=0 時(shí)，質(zhì)點(diǎn)將與橢圓面分離，此時(shí)根據(jù)受力分析有：

由（1）～（8）解得：

設(shè)分離時(shí)位置為φ=φ1，根據(jù)卡爾丹公式法解（9）中第二式得：

由（10）可知cosφ1與橢圓長短軸之比a/b 有關(guān)，利用MATLAB 作出了質(zhì)點(diǎn)分離時(shí)下落高度與b 之比(b-y)/b 與a/b 的關(guān)系曲線，如圖3 所示，隨著a/b 的增大，質(zhì)點(diǎn)分離時(shí)的位置越接近曲面底部。質(zhì)點(diǎn)與橢圓面分離時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：

若給出具體的a、b，由（11）作積分即可算出運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

圖2 質(zhì)點(diǎn)受力分析示意圖

圖3 (b-y)/b隨著a/b變化曲線

二、問題拓展

若橢圓曲面不固定，質(zhì)量為M，質(zhì)點(diǎn)將在什么位置與橢圓分離？

分析：當(dāng)橢圓不固定時(shí)，質(zhì)點(diǎn)向右下滑的同時(shí)，橢圓將向左運(yùn)動(dòng)，兩者在水平方向動(dòng)量守恒，設(shè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于地面水平速度為v1x，豎直方向速度v1y，相對(duì)于橢圓速度為v2，橢圓相對(duì)地面速度為v3，根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系有：

對(duì)質(zhì)點(diǎn)與橢圓系統(tǒng)根據(jù)功能原理和動(dòng)量守恒有：

令K=M/m，由（12）～（15）解得：

當(dāng)N=0 時(shí)，橢圓曲面水平方向受力平衡，為慣性參考系，以橢圓為參考系，對(duì)質(zhì)點(diǎn)根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：

由(5)、(6)、(16)、(19)解得：

設(shè)分離位置為φ=φ2，由（20）可知cosφ2與曲面跟質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量之比k，橢圓長短軸之比a/b 有關(guān)，當(dāng)k=1，a/b=2 時(shí)，式（20）變?yōu)椋?/p>

上式中cos α 由式（5）給出。對(duì)比式（11）、式（22）以及φ2＜φ1，可知t2＜t1，若給出具體的a、b、k，由式（22）作積分即可算出運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

三、結(jié)束語

本文探討了質(zhì)點(diǎn)沿橢圓曲面下滑的問題，給出了質(zhì)點(diǎn)的速度表達(dá)式、質(zhì)點(diǎn)與橢圓分離的位置，以及質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間公式。當(dāng)橢圓曲面固定時(shí)，參數(shù)φ=φ1時(shí)，質(zhì)點(diǎn)與橢圓曲面分離，當(dāng)橢圓曲面不固定時(shí)，質(zhì)點(diǎn)將與橢圓分離時(shí)下滑的高度變小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間變少，且橢圓與質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量之比越大，分離的位置越接近橢圓曲面固定時(shí)分離的位置，當(dāng)橢圓的長短軸之比a/b 越大，分離的位置越接近橢圓曲面底部。