上海南匯中學(201399) 宋 磊

1 高考對向量的考查內容和要求

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》對向量進行了刻畫: 向量理論具有深刻的數(shù)學內涵、豐富的物理背景.向量既是代數(shù)研究對象,也是幾何研究對象,是溝通幾何與代數(shù)的橋梁,是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學問題的基本工具,是進一步學習和研究其他數(shù)學領域問題的基礎,在解決實際問題中發(fā)揮重要作用.基于向量的重要性,平面向量是高考的重要考點之一.

高考對平面向量的考查主要有三個層面: 知識層面,直接考查向量的線性運算、數(shù)量積、垂直或平行關系、基底、模與夾角、向量基本定理等;方法層面,重點考查數(shù)形結合、轉化與化歸、分類討論、函數(shù)與方程等思想方法;素養(yǎng)層面,主要考查數(shù)學運算、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學建模等核心素養(yǎng).2020年全國高考向量試題遵循了“考查基礎知識的同時,注重了思想方法和核心素養(yǎng)考查”的原則,很好地考查了知識點、思想方法和數(shù)學素養(yǎng).

2 2020年高考向量試題剖析

平面向量融數(shù)、形于一體, 具有幾何和代數(shù)的“雙重身份”,由于其知識的特點,在試題的基礎性、綜合性、靈活性、創(chuàng)新性、難度設計和區(qū)分度設計等方面提供了廣泛的試題命制空間,因而決定了其必然會成為歷年高考試題中的熱點內容.筆者以2020年高考數(shù)學全國文理和各省市真題卷為例,擷取若干典型問題剖析,以期找尋試題中所含知識要點、思想方法,探求數(shù)學本質,感悟核心素養(yǎng),進而指導和反思向量教學,為2021年高考復習抓準著力點.

2.1 注重向量基本運算

低中難度的向量問題考查基本上是基于線性運算和數(shù)量積運算, 以符號形式和坐標形式兩種方式, 展開平行、垂直、夾角、模等問題的考查.

例1(2020年高考新課標Ⅰ卷文科第14 題) 設向量a=(1,?1),b=(m+1,2m ?4),若a⊥b,則m=____.

例2(2020年高考新課標Ⅲ卷文科第6 題)在平面內,A,B是兩個定點,C是動點,若?A→C ·?B?→C= 1,則點C的軌跡為( )

A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線

例3(2020年高考新課標Ⅱ卷理科第13 題)已知單位向量a,b的夾角為45?,ka ?b與a垂直,則k=____.

例4(2020年高考新課標Ⅲ卷理科第6 題) 已知 向 量a,b滿 足|a|= 5,|b|= 6,a · b=?6,則cos〈a,a+b〉=( ).

例5(2020年高考新課標Ⅰ卷理科第14 題)設a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a ?b|=____.

例6(2020年高考北京卷第13 題)已知正方形ABCD的邊長為2,點P滿足則=____;=____.

例7(2020年高考天津卷第15 題) 如圖, 在四邊形ABCD中,∠B= 60?,AB=3,BC= 6, 且則實數(shù)λ的值為____,若M,N是線段BC上的動點,且的最小值為____.

2.2 注重代數(shù)運算與幾何推理相結合

由于向量是溝通代數(shù)與幾何的有力工具,向量問題的解決途徑一般有兩個: 一是代數(shù)法, 從向量的線性運算、數(shù)量積、平面向量基本定理以及坐標表示等方面思考,將問題轉化為代數(shù)中的有關問題解決;二是幾何法,通過向量的幾何意義以及向量的基本運算將其轉化為平面幾何問題.很多向量的綜合問題需要代數(shù)運算與幾何推理相結合.

例8(2020年高考上海卷第12 題)已知平面向量a1,a2,b1,b2,··· ,bk(k ∈N?) 是平面內兩兩互不相等的向量,|a1?a2|= 1, 且對任意的i= 1,2 及j= 1,2,··· ,k,|ai ?bj|∈{1,2},則k最大值為____.

解析不妨設a1== (0,0),a2=(1,0), 則bj=(x,y),由|ai ?bj| ∈{1,2},可得:= 1或√= 2, 且故點Bj位于以原點為圓心,1 或2 為半徑的圓上,并且位于以(1,0)為圓心,1 或2 為半徑的圓上,故k的最大值即為圖中所示的交點個數(shù).

2.3 突出向量與其它知識的交匯

向量是溝通代數(shù)與幾何的重要工具,是聯(lián)系不等式、函數(shù)、三角、數(shù)列、幾何等多項內容的橋梁.因此,向量與其它知識的交匯自然深受高考命題專家的青睞.

例9(2020年高考江蘇卷第13 題)在?ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90?,D在邊BC上, 延長AD到P, 使得AP= 9, 若為常數(shù)), 則CD的長度是____.

方法1由A,D,P三點共線, 可設若m ?=0 且m ?=,則B,D,C三點共線, 故λm+?m) = 1, 解得λ=, 由AP= 9得AD= 3.由AB= 4,AC= 3, ∠BAC= 90?, 得BC= 5, 故cos ∠ACD=在?ACD中, 由余弦定理,cos ∠ACD=解得CD=若m= 0,則C,D重合,此時CD的長度為0.若m=則重合,此時PA=12,不合題意,舍去.

綜上,CD的長度為0 或

方法2設化簡整理, 得=?2ma+ (2m ?3)b, 兩邊平方, 得=4m2a2+(2m ?3)2b2,即81=64m2+9(2m ?3)2,解得m=0 或m=若m=0,則重合,此時CD的長度為0.若m=設

綜上,CD的長度為0 或

方法3以A為原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸, 建立平面直角坐標系, 則A(0,0),B(4,0),C(0,3),設P(x,y),由得(?x,?y)=m(4?x,?y)+?m)(?x,3?y),故化簡整理, 得故P(8m,9?6m),由AP=9,得(8m)2+(9?6m)2= 81, 解得m= 0 或m=若m= 0, 則重合,此時CD的長度為0.若m=則直線PA的方程lP A:y=直線BC的方程為lBC:y=聯(lián)立方程解得故

綜上,CD的長度為0 或

方法4以A為原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸, 建立平面直角坐標系, 設∠PAB=θ, 則A(0,0),B(4,0),C(0,3),P(9 cosθ,9 sinθ),由得(?9 cosθ,?9 sinθ) =m(4?9 cosθ,?9 sinθ)+?m)(?9 cosθ,3?9 sinθ),故化簡整理,得解得m=0 或m=下同方法3.

評析方法1 利用了平面向量共線定理及余弦定理,通過解三角形的方法求出答案;方法2 利用平面向量基本定理,采用基底法;方法3 利用坐標法,結合解析幾何相關知識解決;方法4 結合三角,采用參數(shù)法,利用坐標解決.

例10(2020年高考浙江卷第17 題)設e1,e2為單位向量,滿足a=e1+e2,b=3e1+e2,設a,b的夾角為θ,則cos2θ的最小值為____.

方法1由|2e1?e2|≤√得4?4e1·e2+1 ≤2,即e1·e2≥由e1,e2為單位向量,從而e1·e2∈令t=e1·e2,則

而y=上 單調遞 增, 故cos2θ ∈從而cos2θ的最小值為

方法2設單位向量e1、e2所成的夾角為α, 則由|2e1?e2|≤即4?4 cosα+1 ≤2, 故cosα≥故cosα ∈a · b= (e1+e2)·(3e1+e2) = 4+4 cosα,|a|2=|e1+e2|2= 2+2 cosα,|b|2=|3e1+e2|2=10+6 cosα,從而cos2θ==,令t=3 cosα+5,則,故cos2θ=時,(cos2θ)min=

方法3設e1= (1,0),e2= (cosα,sinα), 則a=e1+e2=(1+cosα,sinα),b=3e1+e2=(3+cosα,sinα).由故由

得cos2θ=下同方法2.

方法4如圖, 在單位圓中, 取e1=e2=2e2=連結AB, 取AB的中點 為C,AC的中點為D.由|2e1?e2|≤得|AE|≤故cos ∠AOB≥可得|AB|≤即故a與b的夾角θ即的夾角∠COD, 故cos2θ= cos2∠COD==令|AB|=t, 則cos2θ=可得故(cos2θ)min=

評析方法1、2 均采用代數(shù)法符號運算,結合不等式、函數(shù)相關知識解決;方法3 采用坐標法;方法4 是轉化為幾何法解決.

3 抓準向量“三核心”,強化向量“四意識”

通過對2020 高考向量試題的剖析,可以幫助我們抓準復習的著力點,建構2021 高考復習的框架.筆者認為,應當抓準向量“三核心”,強化向量“四意識”.

3.1 向量“三核心”

向量復習的第一個核心是加強基本概念與基本運算的復習,主要包括平面向量基本定理、向量的模的運算和幾何意義、向量的線性運算、共線向量、向量數(shù)量積及相關的向量夾角與向量垂直等內容,基本運算包括符號形式與坐標形式.

向量復習的第二個核心是明確向量代數(shù)與幾何雙角色,凸顯雙性.在復習過程中,例題的示范要凸顯雙性,如上文例9、例10 一樣,讓學生感受到手中有兩招,可選擇可優(yōu)化,形成代數(shù)與幾何這兩個解題流程.

向量復習的第三個核心是注重平面向量運算工具的靈活使用,縱橫交匯.由于平面向量作為溝通代數(shù)與幾何的橋梁,其研究幾何圖形性質的工具性的作用非常明顯,因此,以平面向量為背景或利用平面向量作為解題工具來命制高考試題,是數(shù)學高考試題命制的常見方法.在全面復習的基礎上,重視對主干知識和重要思想方法的掌握,掌握向量在知識交匯處的主要考查途徑和解決方式,讓學生體會關于高考數(shù)學命題的新理念.

3.2 向量“四意識”

第一,向量復習要有“坐標意識”.“坐標法”是解決向量問題的重要途徑,其優(yōu)點是思維方式比較“固定”,學生容易掌握.坐標法的關鍵是合理建立直角坐標系,準確算出關鍵點的坐標.如上文例2、例6、例7 均可以用坐標法解決.

第二,向量復習要有“幾何意識”.我們要引導學生主動挖掘向量問題的幾何背景用以解題.很多時候,我們如果能將向量問題置于適當?shù)膸缀伪尘爸?就能夠使抽象問題直觀化,將復雜的代數(shù)問題轉化為幾何問題,從而快速求解.

第三,向量復習要有“投影意識”.向量的數(shù)量積是向量非常重要的核心知識,而投影是對向量數(shù)量積本質的理解和把握, 在向量復習中要強化向量投影的意義和價值的認識.在解決向量數(shù)量積問題時,利用投影可能會事半功倍.

例11(2020年高考山東卷第7 題)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點,則的取值范圍是( )

A.(?2,6) B.(?6,2) C.(?2,4) D.(?4,6)

解析如圖,根據(jù)正六邊形的特征, 可以得到方向上的投影的取值范圍是(?1,3),結合向量數(shù)量積的幾何意義,可知的模與方向上的投影的乘積,所以的取值范圍是(?2,6).

第四,向量復習要有“基底意識”.平面向量基本定理是向量知識體系中占有核心地位的定理,而“基底意識”的本質就是平面向量基本定理的靈活運用,難點是如何選擇“基底”用于簡化運算.上文中,例6、例7、例9、例10 都可以用“基底思想”來解決.