甘肅省蘭州市第六中學(xué)(730060) 焦永垚

數(shù)列不等式的證明是高中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),是歷年高中各類考試中的熱門考點(diǎn),這類問(wèn)題通常難度較大,具有很高的綜合性與靈活性.本文以2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州省預(yù)賽試題(B)卷第16 題為例,從不同角度探尋放縮法證明數(shù)列不等式的策略與方法,重點(diǎn)闡述如何選擇合理地放縮思路,如何準(zhǔn)確把握放縮的“尺度”,以期能幫助同學(xué)們從根本上認(rèn)識(shí)放縮法的規(guī)律,從而優(yōu)化解題方法,提升解題能力,提高解題效率.

一、試題分析

題目設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=k·qn?k,其中k,q為非零常數(shù),且a1=3,a4=81.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)bn=an ?證明:

分析第(1)問(wèn)考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí),易求得an= 3n.第(2)問(wèn)是數(shù)列不等式的證明,數(shù)學(xué)歸納法是解決這類問(wèn)題的優(yōu)選方案.

當(dāng)n=1 時(shí),不等式成立.

假設(shè)當(dāng)n=k(k ∈N?) 時(shí)結(jié)論成立, 即那么當(dāng)n=k+1 時(shí), 因?yàn)閎n ?3bn?1=＞0, 所以bn ＞3bn?1, 即(n≥2), 則即當(dāng)n=k+1 時(shí)不等式也成立.

綜上,對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式都成立.

可以看到,上述方法中我們需要克服以下三個(gè)難點(diǎn):

(1)如何利用歸納假設(shè)?

要證明當(dāng)n=k+1 時(shí)結(jié)論也成立,如何利用歸納假設(shè),是解決問(wèn)題的的關(guān)鍵, 為了利用假設(shè), 我們需要找出與的關(guān)系, 要找出的等量關(guān)系難度太大,所以考慮它們的不等關(guān)系,也就是放縮.

(2)怎樣放縮?

因?yàn)閎n= 3n ?容易發(fā)現(xiàn){bn}為遞增數(shù)列,所以(n≥2), 因此我們會(huì)首先做這樣的嘗試: 當(dāng)n=k+ 1 時(shí),放縮過(guò)度了.

(3)如何調(diào)整放縮度?

經(jīng)歷(2)的嘗試,發(fā)現(xiàn)放縮過(guò)度了,需要調(diào)整放縮的度:如果忽略bn= 3n ?中的則有bn= 3bn?1(n≥2),于是我們猜想bn ＞3bn?1,是否成立呢? 因?yàn)閎n ?3bn?1=＞0,所以bn ＞3bn?1,可得(n≥2),再進(jìn)行計(jì)算發(fā)現(xiàn)剛剛好.

從以上過(guò)程可以看到,放縮法是證明數(shù)列不等式的重點(diǎn)和難點(diǎn),因此我們有必要進(jìn)一步探究放縮法證明數(shù)列不等式的思路與策略.

二、思路探究

思路1放縮成一個(gè)等比數(shù)列

策略1利用不等式放縮,其中a ＞b ＞0.因?yàn)橛谑?當(dāng)n=1 時(shí),不等式成立;當(dāng)n≥2 時(shí),

綜上,對(duì)于一切n ∈N?,都有

點(diǎn)評(píng)在證明數(shù)列不等式的問(wèn)題中, 對(duì)于形如(a ＞b ＞0) 的數(shù)列,通常可以利用不等式將其放縮為一個(gè)等比數(shù)列.

策略2利用不等式3n≥2·3n?1+ 1 放縮.因?yàn)?n ?2·3n?1= 3n?1≥1, 所以, 對(duì)任意n ∈N?, 都有3n≥2·3n?1+1 成立.所以,于是, 當(dāng)n= 1 時(shí),當(dāng)n= 3 時(shí),當(dāng)n≥4 時(shí),

綜上,對(duì)于一切n ∈N?,都有

點(diǎn)評(píng)此證法中如果只保留第一項(xiàng),從第二項(xiàng)開(kāi)始放大,則放縮過(guò)度了;如果保留前兩項(xiàng),從第三項(xiàng)放大,則＜依然太大了,只有保留前三項(xiàng),從第四項(xiàng)開(kāi)始放大,才能得到符合的結(jié)果.因此,當(dāng)出現(xiàn)放縮過(guò)度的情況時(shí),就要適時(shí)進(jìn)行“局部調(diào)整”,保持前若干項(xiàng)不變,從后面的項(xiàng)開(kāi)始放縮,反復(fù)嘗試,直至成功.

思路2向裂項(xiàng)相消放縮

宮頸成熟能夠提高順利分娩的幾率,近來(lái)常用的促進(jìn)宮頸成熟的方法有乳房按摩方法[6]。本篇文章設(shè)置對(duì)比實(shí)驗(yàn),對(duì)照組使用常規(guī)孕產(chǎn)婦檢查方法,實(shí)驗(yàn)組在常規(guī)方法基礎(chǔ)上使用乳房按摩方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果說(shuō)明實(shí)驗(yàn)組孕產(chǎn)婦的宮頸評(píng)分以及總有效率,遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于對(duì)照組,說(shuō)明乳房按摩能夠促進(jìn)宮頸成熟。

策略1放縮成的形式,λ為常數(shù).當(dāng)n≥2 時(shí),

所以,當(dāng)n= 1 時(shí),; 當(dāng)n= 2 時(shí),當(dāng)n≥3 時(shí),

綜上,對(duì)于一切正整數(shù)n,都有

策略2放縮成

的形式,λ為常數(shù).因?yàn)闉榱吮阌谟昧秧?xiàng)相消法求和, 所以我們聯(lián)想能否把中的全部或者部分項(xiàng)放大成的形式.我們先逆向進(jìn)行探索, 因?yàn)樗砸? 只需只需只需3n+3＜2·3n ?2, 即3n ＞5, 顯然當(dāng)n≥2 時(shí)成立, 所以, 當(dāng)n≥2 時(shí), 有于是當(dāng)n= 1 時(shí),當(dāng)n= 2 時(shí),當(dāng)n= 3 時(shí),當(dāng)n≥4 時(shí),

綜上,對(duì)于一切正整數(shù)n,都有

思路3利用“糖水不等式”放縮

綜上,對(duì)于一切正整數(shù)n,都有

思路4利用分項(xiàng)比較法放縮

策略1執(zhí)果索因, 逆推探源.不等式的左邊是數(shù)列的前n項(xiàng)和, 右邊為一個(gè)常數(shù), 結(jié)合的結(jié)構(gòu), 我們聯(lián)想, 把右邊常數(shù)縮小成某個(gè)等比數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和, 然后只需證明≤ck就可以了, 其中k= 1,2,···n.那么{cn}究竟等于什么呢? 我們可以逆推回去: 要證成立, 只需證成立, 設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn=則當(dāng)n≥ 2 時(shí),cn=Tn ?Tn?1=,當(dāng)n=1 時(shí),c1=T1=符合上式,故cn=.于是,由≤0 可得≤ck, 其中k= 1,2,···n, 所以即

策略2逆用累加法.同思路4, 先把常數(shù)縮小為即要證,只需證

而

三、小結(jié)反思

數(shù)學(xué)歸納法和放縮法都是證明數(shù)列不等式的常用方法,而放縮法通常學(xué)生感覺(jué)無(wú)從下手,不知所措,主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面:

(1)用什么方法放縮? 首先要搞清楚到底是放大還是縮小,再考慮采用哪種放縮方法.常見(jiàn)的方法有利用均值不等式、“糖水”不等式、放大(或縮小)分子(或分母)、一些常用的不等式等等.

(2)向什么方向放縮? 對(duì)于像母題中與數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的不等式,放縮的原則是經(jīng)過(guò)放縮后能夠求和,比如放縮成一個(gè)等比數(shù)列、向裂項(xiàng)相消放縮等等.

(3)如何把握放縮的度? 我們經(jīng)常會(huì)遇到放得“太大”或“太小”的問(wèn)題,這就要求調(diào)整放縮的尺度,例如在本文中,當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)放縮得“太大”時(shí),就要采取補(bǔ)救措施,即保留前若干項(xiàng)不變,對(duì)后面的項(xiàng)進(jìn)行放縮,逐一嘗試,直至成功.

另外,本文中的這道競(jìng)賽題是一道典型而設(shè)置巧妙的考題,它之所以能引起我們強(qiáng)烈的共鳴與反響,不僅僅是因?yàn)槠洫?dú)特的解題思路與技巧,更是因?yàn)閱?wèn)題中所蘊(yùn)含的豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)思維和思想方法.這樣的題目有利于學(xué)生模式化解題的總結(jié),不僅僅教會(huì)了學(xué)生怎樣解題,而且還有效地培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性和靈活性,提高了解題效率.