江蘇揚州市甘泉小學(225123) 趙元翔

隨著快遞和包裝行業(yè)的迅速發(fā)展,塑料、紙張等原材料的消耗越來越大,這對生態(tài)環(huán)保形成了嚴峻的挑戰(zhàn),因此,包裝盒的設計與使用是我們當前需要關注的問題.一般單個物品的包裝相對比較容易,可以根據(jù)物體的形狀設計合適的包裝,但是對于多個相同的規(guī)格的物體的包裝設計一直是我們思考的問題.本文主要討論若干個完全相同的小正方體拼成大長方體的最優(yōu)包裝方案(表面積最小),若拼成的長方體三邊長分別為a,b,c,則記該方案的表面積為S(a,b,c),以下同.

1 對“越接近”的思考

《數(shù)學實驗手冊(六下) 》[2]中提到“體積相等的長方體, 當長、寬、高越接近, 表面積越小”,“越接近”是一個模糊的概念, 我們一般將三邊的周長或者最長邊與最短邊的差作為“越接近”的量化指標, 這對平面上面積一定的長方形是適用的, 但對長方體而言并不準確, 比如S(40,3,3)和S(30,6,2),它們?nèi)叺某朔e都是360,三邊和40+3+3＞30+6+2、最長邊與最短邊的差40?3＞30?2,然而S(40,3,3)＜S(30,6,2).這說明對“越接近”的解釋需要其他條件的加入,黃忠裕教授在文[1]引入“最短邊固定”得到了許多重要的結(jié)論.事實上可以將條件放寬到“任意一邊固定”.

定理1長方體體積一定,當任意一邊固定時,另外兩邊和越小,則表面積越小.

證明設長方體的三邊分別為a,b,c,V=abc一定, 當任意一邊不妨設a固定時,S= 2(ab+ac+bc) =2a(b+c)+2bc=2a(b+c)+顯然b+c越小,表面積越小.得證.

注這里的a是固定的,因此b+c越小也就等同于長方體的周長越小.

定理2長方體體積一定,當任意一邊固定時,另外兩邊相差越小,則表面積越小.

證明如定理1 所設,當a固定,設另外兩邊差|b ?c|=t,因為t2=(b+c)2?4bc,故(b+c)2=t2+4bc=t2+b+c=根據(jù)定理1 中S= 2a(b+c)+知S=因此t越小,則表面積越小.得證.

定理3長方體體積一定,當任意一邊固定時,另外兩邊中較長邊與較短邊的比值越小,則表面積越小.

證明設長方體的三邊分別為a,b,c,V=abc一定,若當a確定時,不妨設b≥c,記比值解得代入得

設f(x) =則f′(x) =(x ?1) ≥0, 故f(x) 在[1,+∞) 上單調(diào)遞增,因此當a確定時,t越小,則S越小,得證.

2 n 個小正方體最優(yōu)包裝方案的推廣

文[1]中證明了“pk(p為素數(shù),k為正整數(shù))個小正方體規(guī)則打包的最優(yōu)方案是”這種特殊情況,下面將其進行一定的推廣:

定理4pkq(p為素數(shù),q為1 或素數(shù),k為正整數(shù))個小正方體規(guī)則打包成大長方體,存在n ∈N 使得pn≤q ＜pn+1,表面積最小包裝方案為, 其中(規(guī)定k ?2n ＜0 時,t=0).

證明(1)q= 1 時, 文[1] 證明了最小表面積為因為當且僅當n= 0 時, 滿足pn≤q ＜ pn+1, 故t=因此ptq=下證

當k= 3m(m ∈N) 時,

當k=3m+ 1(m ∈N) 時,=

當k=3m+ 2(m ∈N) 時,pm+1.因此

當k= 3m(m ∈N) 時,

當k= 3m+ 1(m ∈N) 時,

當k= 3m+ 2(m ∈N) 時,=pm+1.因此綜上可知q= 1 時,其中

(2)q為素數(shù)時,其中pn ＜q ＜pn+1.

1.若k ?2n ＜0 時,根據(jù)規(guī)定t=0,下證最小表面積方案為

對任意方案Spaq,pb,pc),其中a+b+c=k,a,b,c ∈N, 由于b+c≤k, 因此b和c中至少有一個不超過不妨設c≤構造S(q,pb,pa+c).paq+pc ?(q+pa+c) =(pa ?1)(q ?pc) ≥(pa ?1)(pn ?pc),因為k ?2n ＜0,因此n ＞≥c, 故pn ?pc ＞0, 因此paq+pc≥q+pa+c,根據(jù)定理1 知S(paq,pb,pc)≥S(q,pb,pa+c)(當且僅當a= 0 時等號成立).又因為pb ?pa+c≥根據(jù)定理2 知, 當長度為q的邊確定時,Sq,pb,pa+c≥因此為k ?2n ＜0時的最小表面積方案.

2.若k ?2n≥0 時,將其分為三類討論.

①k ?2n=3m(m ∈N)時,=S(pmq,pm+n,pm+n), 下證最小表面積方案為Spmq,pm+n,pm+n).

1)當pmq為確定一邊時, 根據(jù)定理2 知另外兩邊都是pm+n時相差最小,此時表面積最小.

2)當pm+aq(a ∈N+)為確定一邊時,設另外兩邊分別是pm+n?b和pm+n?c,其中a=b+c,b、c ∈N(說明: 因為a ∈N+,a=b+c,所以b和c要么一正一負,要么都是非負整數(shù),根據(jù)定理2 考慮到pm+n?b和pm+n?c相差盡可能小,故不妨設這里的b、c均為自然數(shù),以下同).

構 造S(pm+cq,pm+n,pm+n?c), 因為pm+aq ?pm+n?b≥pm+cq ? pm+n?b≥pm+cq ? pm+n,由于q為素數(shù),pn ＜ q, 故pm+cq ?pm+n ＞pm+cpn ?pm+n=pm+n(pc ?1) ≥ 0, 所 以pm+aq和pm+n?b的兩邊之差大于pm+cq和pm+n的兩邊之差, 根 據(jù)定理2 知S(pm+aq,pm+n?b,pm+n?c)≥S(pm+cq,pm+n,pm+n?c)(當且僅當時等號成立).

又因為pm+cq ?pm+n?c≥pmq ?pm+n ＞0, 因此根據(jù)定理2 知S(pm+cq,pm+n,pm+n?c)≥S(pmq,pm+n,pm+n)(當且僅當時等號成立) .由于a ∈N+, 故a=c和c=0不可能同時成立, 因此S(pm+aq,pm+n?b,pm+n?c)＞S(pmq,pm+n,pm+n).

3) 當pm?aq(a ∈N+)為確定一邊時, 設另外兩邊分別是pm+n+b和pm+n+c, 其中a=b+c,b、c ∈N.構造S(pm?cq,pm+n,pm+n+c),因為

(當且僅當b= 0 時等號成立) .所以根據(jù)定理1 知S(pm?aq,pm+n+b,pm+n+c)≥S(pm?cq,pm+n,pm+n+c).又因為c=0 時,pm?cq+pm+n+c=pmq+pm+n;c≥1 時,

所以根據(jù)定理 1 知S(pm?cq,pm+n,pm+n+c)≥S(pmq,pm+n,pm+n)(當且僅當c= 0 時等號成立) .由 于a ∈N+,b、c不能同時為 0,故S(pm?aq,pm+n+b,pm+n+c)＞ S(pmq,pm+n,pm+n).綜合①中 1) 2) 3) 得,k ?2n= 3m(m ∈N) 時,S(pmq,pm+n,pm+n)為最小表面積.

②k ?2n=3m+1(m ∈N)時,=S(pmq,pm+n,pm+n+1),下證最小表面積方案為Spmq,pm+n,pm+n+1).

1) 當pmq為確定一邊時, 根據(jù)定理3 知另外兩邊為pm+n+1和pm+n時比值最小,此時表面積最小.

2) 當pm+aq(a ∈N+)為確定一邊時, 設另外兩邊分別是pm+n?b和pm+n+1?c, 其中a=b+c,b、c ∈N.構造S(pm+cq,pm+n,pm+n+1?c).因為pm+aq ?pm+n?b≥pm+cq ?pm+n?b≥pm+cq ?pm+n ＞0,所以根據(jù)定理2 知S(pm+aq,pm+n?b,pm+n+1?c)≥S(pm+cq,pm+n,pm+n+1?c)(當且僅當時等號成立) .又因為c=0 時,pm+cq ?pm+n+1?c=pmq ?pm+n+1;c≥1 時,pm+cq ?pm+n+1?c≥pmq ?pm+n+1=pm(pq ?pn)＞0,pmq ?pm+n+1=pm(pn+1?q)＞0,

故pm+cq ?pm+n+1?c≥pmq ?pm+n+1, 所以根據(jù)定理2知S(pm+cq,pm+n,pm+n+1?c)≥S(pmq,pm+n,pm+n+1)(當且僅當c= 0 時等號成立) .由于a ∈N+, 故a=c和c= 0 不可能同時成立, 因此

S(pm+aq,pm+n?b,pm+n+1?c)＞S(pmq,pm+n,pm+n+1).

3)當pm?aq(a ∈N+)為確定一邊時,設另外兩邊分別是pm+n+b和pm+n+1+c, 其中a=b+c,b、c ∈N.構造S(pm?cq,pm+n,pm+n+1+c),因為

所以根據(jù)定理1 知S(pm?aq,pm+n+b,pm+n+1+c)≥S(pm?cq,pm+n,pm+n+1+c)(當且僅當b= 0 時等號成立).又因為

所以根據(jù)定理 1 知S(pm?cq,pm+n,pm+n+1+c)≥S(pmq,pm+n,pm+n+1)(當且僅當c= 0 時等號成立) .由于a ∈N+,b、c不能同時為0, 因此S(pm?aq,pm+n+b,pm+n+1+c)＞S(pmq,pm+n,pm+n+1).綜 合②中1) 2) 3) 得,k ?2n= 3m+ 1(m ∈N) 時,S(pmq,pm+n,pm+n+1)為最小表面積.

③k ?2n=3m+2(m ∈N)時,=S(pmq,pm+n+1,pm+n+1), 下證最小表面積方案為S(pmq,pm+n+1,pm+n+1).

1)當pmq為確定一邊時, 根據(jù)定理2 知另外兩邊都是pm+n+1相差最小,此時表面積最小.

2)當pm+aq(a ∈N+)為確定一邊時,設另外兩邊分別是pm+n+1?b和pm+n+1?c,其中a=b+c,b、c ∈N.構造S(pm+cq,pm+n+1,pm+n+1?c),因為

所以根據(jù)定理1 知S(pm+aq,pm+n+1?b,pm+n+1?c)≥S(pm+cq,pm+n+1,pm+n+1?c)(當且僅當b= 0 時等號成立).又因為

c=0 時,pm+cq+pm+n+1?c=(pmq+pm+n+1);c≥1 時,

所以根據(jù)定理1 知S(pm+cq,pm+n+1,pm+n+1?c)≥S(pmq,pm+n+1,pm+n+1)(當且僅當c= 0 時等號成立) .由 于a ∈N+, 故b= 0 和c= 0 不可能同時成立, 因 此S(pm+aq,pm+n+1?b,pm+n+1?c)＞S(pmq,pm+n+1,pm+n+1).

3)當pm?aq(a ∈N+)為確定一邊時,設另外兩邊分別是pm+n+1+b和pm+n+1+c,其中a=b+c,b、c ∈N.構造S(pm?bq,pm+n+1+b,pm+n+1),因為

所以根據(jù)定理1 知S(pm?aq,pm+n+1+b,pm+n+1+c)≥S(pm?bq,pm+n+1+b,pm+n+1)(當且僅當c= 0 時等號成立).又因為

所以根據(jù)定理1 知S(pm?bq,pm+n+1+b,pm+n+1)≥S(pmq,pm+n+1,pm+n+1)(當且僅當b=0 時等號成立) .由于a ∈N+,b、c不能同時為 0, 因此S(pm?aq,pm+n+1+b,pm+n+1+c)＞S(pmq,pm+n+1,pm+n+1).

綜 合③中1) 2) 3) 得,k ?2n= 3m+ 2(m ∈N)時,S(pmq,pm+n+1,pm+n+1)為最小表面積.因此為k ?2n≥0 時的最小表面積方案.綜上所有定理4 得證.

3 今后努力的方向

定理1-3 介紹了三種比較表面積的方法,本質(zhì)上都是要求一條邊相同,另外兩邊“越接近”,則表面積越小.那么當兩種方案中的三條邊都不相等時,如何準確判斷哪種方案的三條邊“越接近”呢? 其次,定理4 給出了pkqt(t=0 或1)個小正方體規(guī)則打包的最小表面積方案,當t=2 甚至更大時,能否找到統(tǒng)一的方案? 最后,由于在實際包裝時一般以長方體居多,如何研究若干個小長方體的規(guī)則打包的最小表面積方案? 這些都將成為今后我們努力的方向.