桑健

摘? ?要：文章通過單擺在無阻力作用下的運(yùn)動滿足機(jī)械能守恒以及圓周運(yùn)動的知識，推導(dǎo)得出在擺角不超過5°的情況下，單擺在水平方向上的運(yùn)動近似是簡諧運(yùn)動;通過證明一個做勻速圓周運(yùn)動的物體在直徑上的投影運(yùn)動是一個簡諧運(yùn)動，該簡諧運(yùn)動的周期等于勻速圓周運(yùn)動的周期，得到計算簡諧運(yùn)動周期的通式和可操作的方法;最后將這一方法用于圓錐擺周期公式的推導(dǎo)，并且討論了圓錐擺與單擺等效的條件。

關(guān)鍵詞：單擺的運(yùn)動;單擺的周期;簡諧運(yùn)動;圓錐擺

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）2-0061-4

在執(zhí)教高中物理“單擺”與“用單擺測定重力加速度”相關(guān)內(nèi)容的過程中，學(xué)生陸續(xù)提出三個問題，經(jīng)過查閱資料、個人研究與備課組研討，針對這三個問題進(jìn)行了系統(tǒng)分析，現(xiàn)整理成本文，與大家交流。

問題一：單擺的運(yùn)動本質(zhì)是什么？

現(xiàn)行上海市高級中學(xué)課本《物理·拓展型課程（試用本）》[1]第51至53頁有如下表述：“把質(zhì)量為m的擺球從平衡位置O拉開一小段距離到B點，這時懸線和豎直方向的夾角為α。放開后，擺球始終受到重力mg和細(xì)線拉力T的作用。重力的一個分力F=mgsinα沿圓弧切線方向，指向平衡位置O，而拉力T在圓弧切線方向沒有分力。正是重力的分力F使擺球回到平衡位置，這個力就是使單擺振動的回復(fù)力?！薄霸趫D1中，當(dāng)單擺的擺角很小（不超過5°）時，擺球的位移x和圓弧長OB很接近，設(shè)擺長為l，則sinα≈α≈■。于是，回復(fù)力F=mgsinα≈mgα≈mg■=■x。因為式中m、g、l均為常數(shù)，可令k=■。又因為回復(fù)力F的方向指向平衡位置，始終與位移x的方向相反，于是有F=-kx。因此，在單擺擺角α小于5°，擺球所受回復(fù)力的大小與位移成正比，方向與位移相反，可知單擺的振動是簡諧運(yùn)動。”

在此，學(xué)生提出第一個問題：單擺的平衡位置在O點，如圖1所示擺球在B點，擺球的位移是O指向B的一個矢量，當(dāng)擺角不超過5°的情況下，sinα≈α，弧長OB約等于弦長OB，α=■≈■=■，F(xiàn)=■x，但是回復(fù)力的方向是過B點的切線方向，它和位移OB矢量是嚴(yán)格方向相反的嗎？擺角不超過5°下的數(shù)學(xué)運(yùn)算近似能適用于方向嗎？

筆者利用單擺在無阻力作用下的運(yùn)動滿足機(jī)械能守恒以及圓周運(yùn)動的知識做了如下推導(dǎo)：

如圖2所示，設(shè)單擺在B與C之間運(yùn)動，擺長為l，在B點時擺線與豎直方向夾角為α1，在P點時擺線與豎直方向夾角為α2、擺球的速度為v。

從B到P的運(yùn)動過程中，拉力T與擺球運(yùn)動速度方向始終垂直，拉力對擺球不做功，只有重力對擺球做功，擺球的機(jī)械能守恒，擺球增加的動能等于它減少的重力勢能，即：

■mv2=mgl（cosα1-cosα2）? ? （1）

在P點，拉力T與重力沿擺線方向的分力mgcosα2提供擺球在該點的向心力，即：

T-mgcosα2=■（2）

聯(lián)立（1）（2）兩式可得：

T=mgcosα2+2mg（cosα1-cosα2）=2mgcosα1-

mgcosα2? （3）

在P點，將拉力T分解為豎直向上的分力Ty與水平向右的分力Tx，即：

Tx=2mgcosα1sinα2-mgcosα2sinα2? ? （4）

利用數(shù)學(xué)三角公式：

cosα=1-2sin2■≈1-2（■）2

當(dāng)擺角α1、α2均小于5°時，（4）式可以近似為：

Tx=2mg [1-2（■）2] sinα2-mg[1-2（■）2] sinα2? ? （5）

略去（5）式中的高階小量■、■，即可得到Tx=mgsinα2

設(shè)過P的水平線與豎直擺線RO的交點為O′，將O′ 暫且稱為擺球在P點時的瞬時平衡位置，則擺球的位移x就是O′ 指向P的一個矢量，即：

Tx=-mgsinα2=-mg ■=-mg■? ? ?（6）

上式說明，在擺角不超過5°的情況下，單擺在水平方向上的運(yùn)動近似是簡諧運(yùn)動，并且該簡諧運(yùn)動每一時刻的平衡位置不是固定的一個點，但這些點都在最大擺角所在水平線BC中點S與最低點O的連線上，從而解答了學(xué)生提出的第一個問題。

通過上述推導(dǎo)，我們還有這樣一個感悟：單擺在無阻力作用下的小幅度往復(fù)運(yùn)動本質(zhì)還是變速圓周運(yùn)動的一部分，可以通過機(jī)械能守恒定律分析;對于運(yùn)動中的某一個時刻，可以建立自然坐標(biāo)系去研究法向加速度和切向加速度;對于單擺往復(fù)運(yùn)動時間，則可以通過它水平方向的簡諧運(yùn)動規(guī)律來分析和計算。

問題二：單擺周期公式如何推導(dǎo)？

現(xiàn)行上海市高級中學(xué)課本《物理·拓展型課程（試用本）》[1]第49至51頁有如下表述：“圖3中一個質(zhì)點M0沿半徑為R的圓周做勻速圓周運(yùn)動，角速度為ω，它在過圓心的x軸上的投影是M點。可以證明當(dāng)M0點做勻速圓周運(yùn)動時，M點就沿著x軸做振幅為R的簡諧運(yùn)動。”

在此，學(xué)生提出第二個問題：根據(jù)課本的描述，當(dāng)證明得到一個勻速圓周運(yùn)動在直徑上的投影運(yùn)動是一個簡諧運(yùn)動后，那么勻速圓周運(yùn)動的周期也就是該簡諧運(yùn)動的周期，按照這樣的一個思路，能否避開大學(xué)物理的微分方程知識，利用上述結(jié)論推導(dǎo)得到單擺在無阻力作用下的小幅度往復(fù)運(yùn)動的周期公式T=2π■呢？

建立如圖4所示的坐標(biāo)，質(zhì)點繞O點做勻速圓周運(yùn)動，角速度為ω，運(yùn)動半徑為r，某時刻質(zhì)點位于點M0處，M0O與x軸正方向的夾角為α，M0在x軸上的投影為M，令OM=x。質(zhì)點的加速度大小a=ω2r，方向沿半徑方向指向圓心，加速度矢量在x軸方向上的投影就是M的加速度

aM=ω2rcosα，M的合力為：F=maM=-mω2rcosα=

-mω2x，負(fù)號代表合力方向為沿x軸負(fù)方向。

上式表明，一個做勻速圓周運(yùn)動的物體在直徑上的投影運(yùn)動是一個簡諧運(yùn)動。該簡諧運(yùn)動的周期等于勻速圓周運(yùn)動的周期。T■=T■=■，令比例系數(shù)k=mω2，得到計算簡諧運(yùn)動周期的通式：T=2π■? ? （7）

這個式子給出了計算簡諧運(yùn)動周期可操作的方法：先證明一個運(yùn)動是簡諧運(yùn)動，得到比例系數(shù)k，代入（7）式求出周期。

對比（6）式Tx=-mg■，可得單擺在水平方向上簡諧運(yùn)動的比例系數(shù)k=■，代入（7）式，得到單擺在無阻力作用下的小幅度往復(fù)運(yùn)動的周期公式T=2π■? ，從而解答了學(xué)生提出的第二個問題。

問題三：單擺和圓錐擺能否相互等效？

在“用單擺測定重力加速度”的學(xué)生實驗中，教師往往會提醒學(xué)生，在實驗操作中，要保證擺球在同一豎直平面內(nèi)擺動，不要形成圓錐擺（如圖5）。同時給出圓錐擺運(yùn)動的周期公式

T■=2π■，其中α是圓錐擺擺線與豎直方向的夾角，對比單擺周期公式，得到如下結(jié)論：形成圓錐擺的話，此時測得的周期比相同擺長下測得的周期偏小，從而重力加速度值比標(biāo)準(zhǔn)偏大。

學(xué)生在課余查閱了百度百科中關(guān)于“圓錐擺”條目的相關(guān)知識后提出第三個問題：“單擺和圓錐擺的周期公式十分相似，是否可以把圓錐擺等效成擺長為lcosα的單擺運(yùn)動？圓錐擺是單擺和勻速圓周運(yùn)動的合成嗎？”

以下摘自百度百科中“圓錐擺”條目：

“溜冰運(yùn)動中在雙人花樣滑冰運(yùn)動中，有時會看到被男運(yùn)動員拉著的女運(yùn)動員離開地面在空中做圓錐擺運(yùn)動，這里面就涉及到了圓錐擺;其實在做單擺實驗時，如果沒有做好，往往就做成了圓錐擺了。圓錐擺其實可以看成是單擺與勻速圓周運(yùn)動的合成?！?/p>

中學(xué)物理涉及圓錐擺模型是在勻速圓周運(yùn)動的《向心力》一節(jié)中，我們是這樣分析的：如圖6所示，圓錐擺的擺球所受拉力在豎直方向上的分力與重力相互平衡，即Tcosα=mg;拉力在水平方向的分力提供擺球做勻速圓周運(yùn)動的向心力，即Tsinα=mω2 l sinα，聯(lián)立可得ω=■，T■=■=2π■。顯然，圓錐擺并不是單擺和勻速圓周運(yùn)動的合成，圓錐擺擺球做的運(yùn)動就是一個勻速圓周運(yùn)動。那圓錐擺的周期公式與單擺如此相似，是數(shù)學(xué)表達(dá)式上的偶然嗎？

我們利用問題二中計算簡諧運(yùn)動周期的方法，從簡諧運(yùn)動角度來推導(dǎo)圓錐擺的周期公式。若圓錐擺的擺球某時刻運(yùn)動到P點，作出俯視圖（圖7），擺球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力即Tsinα，擺球勻速圓周運(yùn)動在x軸上的投影是一個簡諧運(yùn)動，P點的回復(fù)力大?。?/p>

F=Tsinαcosβ=■·sinαcosβ=mg·tanαcosβ=mg· ■cosβ=mg·■

回復(fù)力的方向沿x軸指向O，與位移方向相反。令比例系數(shù)k=■，代入簡諧運(yùn)動周期的通式[（7）式]，可得T■=2π■=2π■。

通過上述的推導(dǎo)與分析論證，我們可以作出如下判斷：在研究單擺在無阻力作用下的小幅度往復(fù)運(yùn)動時間的問題時，可以從單擺水平方向是簡諧運(yùn)動這一角度來分析計算，此時單擺的擺長就是懸掛點到擺球重心的距離，盡管擺球的高度在變化，只要抓住水平方向的運(yùn)動即可;而圓錐擺做勻速圓周運(yùn)動時，由于圓周運(yùn)動所在的水平面是固定不動的，可以將懸掛點到圓周運(yùn)動水平面的距離看成是圓錐擺的“等效擺長”，即可以把圓錐擺等效成擺長為lcosα的單擺運(yùn)動。需要注意的是：這個等效成立的條件只是圓錐擺擺線與豎直方向的夾角不超過5°，因為一旦超過5°，圓錐擺的周期公式依然成立，但是單擺的周期公式不再適用。至此，解答了學(xué)生提出的第三個問題。

愛因斯坦說過：“發(fā)現(xiàn)問題和系統(tǒng)闡述問題可能要比得到解答更為重要……提出新問題、新的可能性，從新的角度去考慮問題，則要求創(chuàng)造性的想象，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步?！蔽锢韺W(xué)科核心素養(yǎng)中的“科學(xué)思維”是基于事實證據(jù)和科學(xué)推理對不同觀點和結(jié)論提出質(zhì)疑和批判，進(jìn)行檢驗和修正，進(jìn)而提出創(chuàng)造性見解的能力與品格，這也就要求學(xué)生能對已有觀點提出質(zhì)疑，從不同角度思考物理問題。通過上述“單擺”教學(xué)中三個問題的提出與解答，從教師和學(xué)生角度都提出了很高的要求，在新的課程改革與考試評價制度下，廣大教育同仁要充分肯定、鼓勵學(xué)生提問，保護(hù)學(xué)生的問題意識，同時教師自身也要加強(qiáng)學(xué)習(xí)，才能使每節(jié)課都讓學(xué)生有實實在在的認(rèn)知收獲、思維提升和科學(xué)感悟，為學(xué)生的素養(yǎng)提升、自主發(fā)展做好準(zhǔn)備。

參考文獻(xiàn)：

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[3]陳敏.論單擺的運(yùn)動與簡諧運(yùn)動的關(guān)系[J].物理通報，2011（9）：128.

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（欄目編輯? ? 羅琬華）