查林 陳大慶 楊廣玉

（1. 中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所，合肥 230031；2. 太原衛(wèi)星發(fā)射中心技術(shù)部，太原 030045）

引 言

傳統(tǒng)的相控陣可以在特定方向上最大化波束增益，但不能產(chǎn)生關(guān)于距離的波束. 相較而言，近些年提出的頻控陣（frequency diverse array, FDA）[1]，在每個(gè)天線元上添加不同的頻偏，可產(chǎn)生依賴于角度、距離和時(shí)間的波束[2-3]. 這意味著FDA的波束形狀可同時(shí)在角度、距離上進(jìn)行聯(lián)合設(shè)計(jì)，從而進(jìn)行角度和距離域的干擾抑制.

在角度-距離維，傳統(tǒng)相控陣的波束是沿著距離軸的一條射線，而標(biāo)準(zhǔn)的FDA是一條S型周期曲線，與角度和距離耦合在一起，各個(gè)天線上的頻偏是線性遞增的. 近年來(lái)，非線性頻偏FDA得到進(jìn)一步推廣，F(xiàn)DA波束可以被設(shè)計(jì)成孤立的點(diǎn)[4-14].然而，現(xiàn)有FDA頻偏的設(shè)計(jì)方法大多與所研究的目標(biāo)函數(shù)沒有聯(lián)系，只是一些非常通用的設(shè)計(jì)方法，無(wú)法保證對(duì)所研究的問題是最優(yōu)的，例如：對(duì)數(shù)法、互質(zhì)法以及隨機(jī)生成法等.

本文提出一種基于問題驅(qū)動(dòng)的FDA最優(yōu)頻偏設(shè)計(jì)方法. 此方法為一種基于梯度下降法變種的頻偏優(yōu)化算法，并采用回溯線性搜索法確定每一步的優(yōu)化步長(zhǎng)，使得優(yōu)化算法可以在較少的迭代次數(shù)內(nèi)得到收斂. 以最大化雷達(dá)接收信號(hào)的信噪比（signal-to-noise ratio, SNR）為目標(biāo)，在發(fā)射功率受限的情況下，優(yōu)化發(fā)射信號(hào)的預(yù)編碼和FDA頻偏.相比于現(xiàn)有的文獻(xiàn)，引入FDA頻偏優(yōu)化，可引入更多的自由度，進(jìn)一步擴(kuò)充優(yōu)化空間，系統(tǒng)性能也會(huì)有相應(yīng)的提高.

1 系統(tǒng)模型

假設(shè)FDA發(fā)射天線是N個(gè)單元的線性陣列.第l個(gè)快拍信號(hào)s0(l)( 滿足首先進(jìn)入射頻鏈路，然后經(jīng)過(guò)功分器被分成N路. 每一路信號(hào)分別通過(guò)混頻器加入特定的頻偏，最后經(jīng)過(guò)放大器和移相器被天線輻射出去.

考慮一個(gè)位于(θ,r) 的探測(cè)目標(biāo)，其中θ和r分別是目標(biāo)與天線的夾角和距離，在t=0時(shí)刻，F(xiàn)DA的導(dǎo)向矢量可以寫為

為簡(jiǎn)化問題，考慮接收天線是單天線的情況，則接收信號(hào)可以表示為

式中：w是FDA的預(yù)編碼向量；α0表示收發(fā)天線間的路徑損耗；n～CN(0,δ2)是 高斯白噪聲，δ2是噪聲功率.

2 預(yù)編碼與頻偏設(shè)計(jì)

為獲取最大目標(biāo)探測(cè)性能，需要設(shè)計(jì)預(yù)編碼和頻偏來(lái)得到最佳SNR：

A(θ,r)的第(n,m)元素為

我們先固定隨機(jī)初始化的頻偏來(lái)設(shè)計(jì)預(yù)編碼：

定理1：如果A是正定的共軛對(duì)稱矩陣，則優(yōu)化問題(7)等效于尋找A的最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，即

式中，λmax和wopt分別代表最大特征值和其所對(duì)應(yīng)的特征向量.

根據(jù)定理1，可得到FDA的預(yù)編碼. 固定已經(jīng)獲取的預(yù)編碼來(lái)設(shè)計(jì)各路頻偏. 為方便表示起見，定義

式中：

將上述變量帶入式(1)，F(xiàn)DA的導(dǎo)向向量可以表示為

頻偏的優(yōu)化問題可表示為

式中，W=wwH.

由于很難將變量x從式(14)中分離出來(lái)，當(dāng)目標(biāo)區(qū)域很小的時(shí)候，我們可以將目標(biāo)函數(shù)近似為

定理2：對(duì)于函數(shù)

式中，Rex和Imx分別是x的實(shí)部和虛部.

根據(jù)定理2得到的f(x)梯度來(lái)更新x：

式中，δ表示迭代步長(zhǎng).

考慮到約束 |xn|=1，?n，我們?cè)诟旅恳淮蔚膞后抽取其中的相位部分：

式中： |xk+1|表 示xk+1中 每個(gè)元素的幅度向量；?表示哈德曼積.

各路的頻偏為

雖然從式(19)可以看出?f不是唯一的，但當(dāng)其過(guò)小時(shí)，波束和相控陣差別不大，而過(guò)大其波形又過(guò)于分散，因此需要根據(jù)實(shí)際載頻和波形效果綜合確定m的取值.

為降低迭代次數(shù)，我們采用回溯法線性搜索步長(zhǎng)[15]. 整個(gè)算法可以總結(jié)為表1. 至此，F(xiàn)DA的預(yù)編碼和頻偏的設(shè)計(jì)都已完成.

表1 回溯法線性搜索步長(zhǎng)算法Tab. 1 Algorithm of linear backtracking search

3 數(shù)值仿真

假設(shè)發(fā)射天線個(gè)數(shù)為32，主載波頻率為f0=10 GHz，天線陣元間距d=c0/(2f0)，目標(biāo)位置( θ,r)=(0?,500m)，其他參數(shù)設(shè)置如表2所示.

表2 FDA參數(shù)列表Tab. 2 FDA parameter list

3.1 FDA波束仿真

為了研究頻偏的影響，我們對(duì)比了傳統(tǒng)的均勻相控陣天線和FDA天線的波形. 圖1為傳統(tǒng)均勻相控陣和FDA的波束圖. 可以看出，相控陣可以看成特殊的FDA陣列，只是頻偏都為零，但它的波束只與角度有關(guān)，與距離無(wú)關(guān). 而FDA波束不僅與角度有關(guān)，還與距離相關(guān)，利用這些特點(diǎn)可以設(shè)計(jì)出能躲避敵方探測(cè)的波形.

圖1 傳統(tǒng)均勻相控陣和FDA的波束圖對(duì)比Fig. 1 Comparison of conventional uniform phased array and FDA beam patterns

3.2 性能分析

首先分析天線陣元個(gè)數(shù)對(duì)波束性能的影響. 將天線個(gè)數(shù)從8個(gè)增加到64個(gè)，分別對(duì)角度域和距離域3 dB波束寬度進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖2所示.

圖2 波束寬度隨天線個(gè)數(shù)變化趨勢(shì)Fig. 2 Beam width vs. antenna number

從圖2仿真結(jié)果來(lái)看：隨著天線個(gè)數(shù)的增加，角度域的波束寬度快速下降并逐漸趨向于0；而距離域的波束寬度在最初的急劇下降后，成近似穩(wěn)定狀態(tài)，不再隨天線個(gè)數(shù)有明顯變化. 天線個(gè)數(shù)較少時(shí)，F(xiàn)DA波束成模糊狀態(tài)，不能有效地將能量匯聚在一個(gè)區(qū)域內(nèi)，造成距離域的急劇下降. 當(dāng)天線數(shù)達(dá)到一定數(shù)目后，能量迅速聚在一起，但邊界模糊，角度帶寬較大. 隨著天線數(shù)的增加，能量匯聚更加集中，表現(xiàn)在角度域則更為明顯. 而距離域則沒有發(fā)生明顯改變，說(shuō)明不能通過(guò)調(diào)節(jié)天線個(gè)數(shù)來(lái)改變距離域的波束寬度. 事實(shí)上，距離域與頻偏的大小有關(guān)，但由于其分析較為復(fù)雜，我們將在后面的工作中單獨(dú)對(duì)其進(jìn)行分析.

圖3為 FDA算法的收斂速度. 在求解FDA頻偏的過(guò)程中使用梯度下降法，給出每一次迭代的函數(shù)性能. 從圖3可以看到，該算法可以在10步以內(nèi)收斂到一個(gè)極值，具有較快的收斂速度. 采用回溯法線性搜索迭代步長(zhǎng)，既能保證搜索方向的正確性，又能最大化迭代步長(zhǎng).

圖3 FDA收斂曲線Fig. 3 FDA convergence curve

4 結(jié) 論

利用FDA波束與角度及距離耦合的原理，提出一種在給定目標(biāo)處設(shè)計(jì)點(diǎn)狀波束的預(yù)編碼方法.同時(shí)，以最大化雷達(dá)接收信號(hào)的SNR為目標(biāo)，基于變種的梯度下降法優(yōu)化出最佳FDA各路頻偏，使得系統(tǒng)性能進(jìn)一步提升. 在優(yōu)化過(guò)程中，回溯線性搜索步長(zhǎng)的應(yīng)用，使優(yōu)化的迭代次數(shù)可以在十步以內(nèi)完成收斂. 數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出的方案能夠用很少的迭代次數(shù)在目標(biāo)處產(chǎn)生點(diǎn)狀波束. 事實(shí)上，距離域與頻偏的大小有關(guān)，但因?yàn)槠浞治鲚^為復(fù)雜，我們?cè)诤竺娴墓ぷ髦袉为?dú)對(duì)其進(jìn)行分析.