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        一類(lèi)臨界的擬線(xiàn)性薛定諤方程組基態(tài)解的存在性

        2021-03-15 03:40:36王麗麗
        數(shù)理化解題研究 2021年6期
        關(guān)鍵詞:薛定諤范數(shù)等價(jià)

        董 楠 王麗麗

        (吉林省通化師范學(xué)院 134001)

        本文主要在R3中研究耦合的擬線(xiàn)性薛定諤方程組

        基態(tài)解的存在性,其中p,q≥2,4

        擬線(xiàn)性薛定諤方程有著深厚的物理背景,具體可參考文獻(xiàn)[1]-[3].近年來(lái)關(guān)于擬線(xiàn)性薛定諤方程組的研究有很多,本文參考文獻(xiàn)[4]-[6].定義希爾伯特空間

        假設(shè)以下條件成立,其中i=1,2:

        (V1)Vi∈C(R3)且存在常數(shù)b>0,使得m{x∈R3:Vi(x)

        (V2)0=Vi(0)≤Vi(x)≤maxVi.

        (K)0

        定理1.1 假設(shè)(V1)-(V2),(K)成立.那么對(duì)?σ>0,?τσ>0,使得當(dāng)ε≤τσ時(shí),方程組(1)至少有一個(gè)正解uε∈(uε,vε).

        一、等價(jià)變分問(wèn)題

        令λ=ε-2,則對(duì)于λ→+,方程組(1)等價(jià)于

        因此,對(duì)于?λ>0,范數(shù)||·||等價(jià)于如下范數(shù)

        方程組(2)對(duì)應(yīng)的能量泛函為

        利用變量替換u:=f-1(u1),v:=f-1(v1),其中f為如下定義

        且f(t)=-f(-t),t∈(-,0].

        函數(shù)f的性質(zhì)參看文獻(xiàn)[7].變量變化后的能量泛函為

        根據(jù)假設(shè)(V1)和(K)知Φλ為C1的且在E上有意義.

        二、(P.S.)c序列

        引理3.1 假設(shè)(V1)-(V2)和(K)成立.設(shè)(un)是泛函Φλ的(P.S.)c序列,則c≥0,且(un)在E中有界.

        證明設(shè)(un)是一個(gè)(P.S.)c序列:

        根據(jù)(K)及4

        (3)

        又由(K)和(V2)及函數(shù)f的性質(zhì)可得

        從而有

        引理3.2假設(shè)(un)是引理3.1中定義的.則

        因此,我們得到

        三、山路幾何結(jié)構(gòu)

        引理4.1存在ρ,α>0,使得當(dāng)||u||λ=ρ時(shí),有

        引理4.2 對(duì)于上述ρ,存在一個(gè)常數(shù)β>0,使得inf||u||λ=ρΦλ(u)≥β.

        顯然,對(duì)于任意的ε>0,存在Cε>0,使得

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