涂立云

(江蘇省灌南縣第二中學(xué) 222500)

在某天的輔導(dǎo)課上，忽然間有一位學(xué)生拿著一張?jiān)嚲硐蛭易邅?lái)并問(wèn)到：“老師，我向您請(qǐng)教一個(gè)題目”.我一看標(biāo)注才知道是江蘇省海安高級(jí)中學(xué)高三某次模擬考試的填空題第14題.題目如下：

這是一道填空題的壓軸題，難度可想而知.初看此題，是兩個(gè)高次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，又是出自海安中學(xué)的高三考試壓軸試題，頓感心中一片茫然，無(wú)從下手.此時(shí)一時(shí)想不到解決此題的好方法，但是又不能直接跟學(xué)生說(shuō)自己不會(huì)做，該怎么辦呢？心里焦慮萬(wàn)分，不知如何是好.當(dāng)看到教室里坐著40多個(gè)學(xué)生，于是想到：如果集中大家的智慧，一起來(lái)討論研究這個(gè)題目，也許能有意想不到的收獲.于是我將題目用投影投到了黑板上，然后對(duì)講臺(tái)下的學(xué)生們說(shuō)道：“同學(xué)們，這是某同學(xué)問(wèn)老師的一道海安中學(xué)的試題，難度較大，老師一時(shí)還沒(méi)有想到解題方法，現(xiàn)在我們大家一起來(lái)尋找解決此題的方法.首先請(qǐng)大家分析下題目的條件，你們能想到一些什么呢？”

經(jīng)過(guò)5分鐘的小組討論交流，有同學(xué)站起來(lái)發(fā)言了.

生1：要求b-a的最小值，只要求出F(x)的所有零點(diǎn)中最小的零點(diǎn)和最大的零點(diǎn)就行了.

生2：F(x)的所有零點(diǎn)，即F(x)=f(x+3)g(x-3)=0的根，只需求出f(x+3)=0和g(x-3)=0的根即可.

生3：要求f(x+3)=0和g(x-3)=0的根，只需求出f(x)=0和g(x)=0的根，再分別向左和向右平移3個(gè)單位即可.

師：大家同意生1、生2和生3的分析嗎？那么如何求f(x)=0和g(x)=0的根呢？本題難就難在求高次方程的根的問(wèn)題.

師：生4的想法符合歸納推理的思想.請(qǐng)同學(xué)按照他的思路試試看.

師：同學(xué)們，我們?cè)趯W(xué)習(xí)用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程時(shí)，是如何求三次方程的根的呢？比如：x3+3x2-2=0.

師：大家觀察圖形，你能得出什么結(jié)論呢？

生9：我猜測(cè)：當(dāng)x的最高次數(shù)為偶數(shù)時(shí)，圖形先遞增，后遞減，與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，分別在區(qū)間(-1,0)內(nèi)和(1,2)內(nèi)；當(dāng)x的最高次數(shù)為奇數(shù)時(shí)，圖形單調(diào)遞增，與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，在區(qū)間(-1,0)內(nèi).

生10：可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明f(x)為單調(diào)增函數(shù)，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理來(lái)證明f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(-1,0)內(nèi).

師：好，現(xiàn)在我們的處理方法有了，請(qǐng)大家先動(dòng)手試試看，再上黑板板演.

生11：f′(x)=1-x+x2-x3+x4-…+x2010(*)，再證明這個(gè)式子恒大于0，就可以了.

師：如何證明這個(gè)式子恒大于0呢？

師：生12的想法很好，但是當(dāng)x=0時(shí)，它不是等比數(shù)列；當(dāng)x=-1時(shí)，不能用上述求和公式.

生13：當(dāng)x=0時(shí)，f′(x)=1>0；當(dāng)x=-1時(shí)，f′(x)=2011>0；當(dāng)x<-1時(shí)，(**)式的分子、分母同時(shí)小于0，則f′(x)>0；當(dāng)x>-1且x≠0時(shí)，(**)式的分子、分母同時(shí)大于0，則f′(x)>0.綜上，f′(x)>0恒成立，因此f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).

師：生13的討論過(guò)程很全面.下面來(lái)證明f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間(-1,0)內(nèi).

師：太棒了，現(xiàn)在我們已經(jīng)把f(x)的零點(diǎn)范圍確定了，那么是否可以用同樣的方法來(lái)確定g(x)的零點(diǎn)范圍呢？

生15：g′(x)=-1+x-x2+x3-…-x2010=-f′(x)<0，所以g(x)為R上的單調(diào)減函數(shù).

生17：所以f(x+3)=0的根在(-4,-3)內(nèi)、g(x-3)=0的根在(4,5)內(nèi)，則當(dāng)a=-4,b=5時(shí)，b-a的最小值為9，即為所求.

數(shù)學(xué)教學(xué)是以解題為中心展開的，解題教學(xué)也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié).其功能是：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，在此過(guò)程中提高學(xué)生思維水平，培養(yǎng)獨(dú)立分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.學(xué)生在自主探究思路的過(guò)程中，不僅僅是完成一道題目，更是寶貴的生命歷程，心智的參與過(guò)程可使學(xué)生深切感知思想方法的來(lái)龍去脈.探究過(guò)程中思維的調(diào)控、優(yōu)化，不僅是能力的提高，更是對(duì)學(xué)習(xí)信心的激勵(lì).教師在學(xué)生處于欲進(jìn)不得欲罷不能之時(shí)，引導(dǎo)其改變途徑，走出困境，容易使學(xué)生得到成功的快樂(lè)體驗(yàn).此時(shí)學(xué)生收獲的不僅是解題能力的提高，更是思維水平的提升和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就會(huì)由苦變樂(lè).