溫建紅 鄧宏偉 (西北師范大學教育學院 730070)

1 問題提出

數(shù)學教學除了要關(guān)注學生的基本知識和基本技能，還要重視滲透數(shù)學基本思想、積累基本活動經(jīng)驗．模型思想作為數(shù)學基本思想之一，是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑，其背景往往是來自于現(xiàn)實生活或者跨學科中的情境，具有跨學科、綜合性強的特點．如何結(jié)合具體內(nèi)容向?qū)W生滲透模型思想，是數(shù)學教師面對的重要課題．在數(shù)學教學中，教師除了要在日常課堂教學中滲透模型思想，還要創(chuàng)造機會，讓學生經(jīng)歷通過建立模型解決問題的數(shù)學活動，促使學生在數(shù)學建模過程中感悟模型思想，掌握數(shù)學建模的方法．

在義務教育數(shù)學課程四大學習領域中，“綜合與實踐”是較為獨特的一塊內(nèi)容，它是以問題為載體、以學生自主參與為主，綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等知識和方法解決問題的學習活動，注重學生自主參與、全過程參與，重視學生積極動腦、動手、動口；注重數(shù)學與生活實際、數(shù)學與其他學科、數(shù)學內(nèi)部知識的聯(lián)系和綜合應用．[1]“綜合與實踐”綜合性強，問題解決特點明顯，在數(shù)學教材中有多個專題內(nèi)容供教師選擇，如果教師在教學中能給予重視，是滲透模型思想很好的素材．下面結(jié)合具體的例子，探討在“綜合與實踐”教學中滲透模型思想的策略．

2 在“綜合與實踐”教學中滲透模型思想的策略

數(shù)學教學中滲透模型思想，要展現(xiàn)建模的過程和主要環(huán)節(jié)．建立和求解模型的過程主要包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義．[1]簡單而言，滲透模型思想要凸顯三個方面：發(fā)現(xiàn)和提出問題、建立模型、求出結(jié)果并討論．“設計遮陽篷”是北師大版數(shù)學九年級下冊“綜合與實踐”中的內(nèi)容[2]，下面就以它為例，來說明如何在“綜合與實踐”教學中滲透模型思想．

2.1 在已有問題基礎上，引導學生發(fā)現(xiàn)和提出更為本質(zhì)的問題

問題是滲透模型思想的起點，在一般的“綜合與實踐”中，已經(jīng)有了較為明確的問題，但對數(shù)學建模而言，則需要讓學生經(jīng)歷從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題．這就需要教師結(jié)合實際情境，在已有問題的基礎上引導學生發(fā)現(xiàn)和提出更為本質(zhì)的問題．

在設計遮陽篷中，原來的問題是：假設某居民樓地處北半球某地，窗戶朝南，窗戶的高度為h(即圖1的AB)．此地一年中的正午時刻，太陽光與地平面的最小夾角為α(圖1的∠BDC)，最大夾角為β(∠ADC)．請你為該窗戶設計一個遮陽篷，要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)．

圖1

結(jié)合情境，通過分析發(fā)現(xiàn)，解決問題的關(guān)鍵是找到遮陽篷長度CD與h，α，β的關(guān)系，那么如何確定α，β就成為關(guān)鍵．

從問題解決來看，當知道居民所在地，能知道的就是所在地的緯度θ．從教材所給的表發(fā)現(xiàn)，只要知道所在地的緯度θ，就能得到α，β的值，如果能找到θ與α，β的關(guān)系，就能得到CD與θ的關(guān)系．這樣，只要給出任意一個北半球的地點，就能根據(jù)所在地的緯度，得到遮陽篷長度CD．為此，可以在原來問題的基礎上提出更為一般的問題：如果要為北半球任意地區(qū)的窗戶設計遮陽篷，要求它既能最大限度地遮擋夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi)，該如何設計？

2.2 分析問題，建立模型

為了建立北半球任意地區(qū)遮陽篷的模型，教師要引導學生思考：為什么夏至這一天的正午時刻，太陽光線DA與遮陽篷CD的夾角β能達到最大；冬至這一天的正午時刻，太陽光線DB與遮陽篷CD的夾角α能達到最??？β與α的本質(zhì)是什么？對于β與α的值，有沒有一般的計算公式？從七年級地理教科書可知[3]，β與α分別是夏至日正午太陽高度角和冬至日正午太陽高度角，為了得到正午太陽高度角，需要知道當?shù)鼐暥龋c前面問題中角α和β相比，當?shù)鼐暥认鄬^為容易查得或測量[4]．因此，為了建立北半球地區(qū)的遮陽篷模型，需要建立北半球地區(qū)夏至日和冬至日的正午太陽高度角的計算公式．正午太陽高度角公式來源于義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)中關(guān)于地球運動的“活動建議”[1]，同時又高于義務教育地理課程標準．考慮到學生現(xiàn)階段的知識儲備(學習了圓的知識、三角形、平行線及淺顯的地球運動等相關(guān)知識)與接受能力，只探討特定兩日的正午太陽高度角的計算，以降低學生建模難度．

如圖2和圖3分別是太陽直射北回歸線和南回歸線時的情況，記B地的緯度為θ(23°26′<θ<90°)，點B的正午太陽高度角為H，當太陽垂直照射的點A在23°26′N時(圖2)，點B的正午太陽高度角為H=90°-(θ-23°26′)；當太陽垂直照射的點A在23°26′S時(圖3)，B點的正午太陽高度角為H=90°-(θ+23°26′)．

圖2 圖3

2.3 結(jié)果與討論

在得到遮陽篷長度模型后，需要對遮陽篷長度進行誤差分析以改善模型．在建模過程中，始終將地球視為正球體，而實際上地球是一個赤道略鼓、兩極稍扁的橢球體．因此，在地理學中緯度的類型不止一個，所謂地理緯度(也稱測地緯度)，是指測站的鉛垂線與赤道平面的夾角；而地心緯度，指的是“測站-地心”連線與赤道平面的夾角．由于地表面是扁的旋轉(zhuǎn)橢球面(極半徑a=6 356.755 km，赤道半徑b=6 378.140 km)，所以除了兩極、赤道 ，同一地點的地理緯度與地心緯度都不相等．[5]大地緯度(地理緯度，或測地緯度)與地心緯度的差值隨地心緯度的變化都是先增大后減小，極值點在45°附近，其中大地緯度與地心緯度的差值最大約為11′32.7″．[6]因為本研究假設地球形狀是正球體，所以夏至日和冬至日的正午太陽高度角模型采用的緯度類型是“球心緯度”．而現(xiàn)今關(guān)于幾種緯度關(guān)系的差異分析大多是基于高等數(shù)學的方法，隨著對地球形狀認識的加深，將逐步逼近地球的真實形狀． 對于誤差的解決，可以采用將遮陽篷設計成可收縮的，就能較好地解決這個問題．給出遮陽篷模型的適用范圍后，把北回歸線與北極圈的緯度分別代入模型，得到北回歸線以北到北極圈的遮陽篷長度在0 m到1.88 m之間．

在數(shù)學建模結(jié)束后，教師要帶領學生對整個模型建立的過程進行回顧和反思：建模過程用到了什么概念，這些概念起到了什么關(guān)鍵作用？(如遮陽篷模型得以建立的關(guān)鍵概念就是正午太陽高度角)．建模經(jīng)歷了哪些步驟？遇到了哪些困難？(建立夏至日與冬至日的正午太陽高度角公式)建模過程中還用到了其他哪些學科知識？用到了什么技術(shù)？使用了什么技能？為什么建立的模型需要檢驗和完善？教師還可以在此問題的基礎上，拓展太陽高度角在其他方面的應用：確定地方；確定房屋的朝向；確定當?shù)氐牡乩砭暥?；確定日期、日影長短及方向；確定樓距、樓高；調(diào)整太陽能熱水器的傾角；判斷山地自然帶在南坡和北坡的分布高度等．

3 在“綜合與實踐”教學中滲透模型思想的建議

3.1 選擇適當?shù)摹熬C合與實踐”內(nèi)容開展數(shù)學建模

義務教育數(shù)學教科書中“綜合與實踐”內(nèi)容豐富多彩，形式多樣，但并不是所有內(nèi)容都適合通過數(shù)學建模來組織．這就要求教師在教學時除了要有培養(yǎng)學生數(shù)學建模素養(yǎng)的意識，還要對“綜合與實踐”的內(nèi)容進行深入研究，將比較適合數(shù)學建模的內(nèi)容挑選出來．首先，教師要通過對“綜合與實踐”內(nèi)容的研究，判斷其中是否包含某種數(shù)學模型，這種模型是否具有典型性和廣泛的應用性，然后結(jié)合學生現(xiàn)有認知水平，考慮能否通過數(shù)學建模的方式來開展教學．例如，在北師大版初中數(shù)學教材“綜合與實踐”中，除了“設計遮陽篷”，還有“哪個城市夏天更熱”“池塘里有多少魚”“哪種方式更合算”“制作視力表”“哪一款手機資費套餐更合適”等，它們都比較適合通過數(shù)學建模來學習．其次，數(shù)學建模除了應用數(shù)學知識解決實際問題，還能應用它來解決其他數(shù)學問題．教師在組織數(shù)學建模學習中，既要看到問題的特殊性，又要看到模型應用的普遍性．如“設計遮陽篷”問題，表面看只是關(guān)于遮陽篷的問題，問題情境較為特殊，但當構(gòu)建起數(shù)學模型，會發(fā)現(xiàn)其中包含的幾何圖形結(jié)構(gòu)與函數(shù)模型卻在三角函數(shù)有關(guān)計算、測量物體的高度等很多問題中有廣泛的應用．

3.2 開展數(shù)學建模活動要有STEAM教育理念

隨著國際上STEAM教育的興起，加強科學、技術(shù)、工程、藝術(shù)與數(shù)學的聯(lián)系，通過不同學科相互關(guān)聯(lián)的知識解決問題，實現(xiàn)跨越學科界限、從多學科知識綜合應用的角度，提高學生解決實際問題的能力已成為國際教育界的共識．[7]“綜合與實踐”內(nèi)容的最大特點是綜合性強，很多問題的解決不僅僅涉及數(shù)學學科知識，還可能包含物理、地理、工程、技術(shù)、藝術(shù)等很多其他學科知識．這就要求數(shù)學教師在組織數(shù)學建模活動時，必須有STEAM教育理念，引導學生打破學科壁壘，運用跨學科知識解決問題的意識．同時，還要有與其他學科教師合作，一起探索解決問題的意識．回顧遮陽篷模型的建立過程，其中不僅用到了數(shù)學知識，還有很多地理學科的知識；而遮陽篷的外形到底設計成直線形、圓弧形還是拋物線形？這既要考慮設計的藝術(shù)性，還要兼顧遮陽篷能否伸縮等實用性問題；在此過程中，更離不開測量、動手操作等各種工程與技術(shù)方面的知識，整個數(shù)學建模過程幾乎包含了STEAM教育的所有元素．

3.3 要重視數(shù)學建模的過程

在“綜合與實踐”中開展數(shù)學建模，教師可以將課內(nèi)與課外學習結(jié)合起來，給學生較為充分的時間和空間，采取小組合作學習等靈活多樣的教學方式，讓學生在不斷探索中經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程．發(fā)現(xiàn)和提出問題是數(shù)學建模的起點，教師要以此為契機，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題的能力；分析問題、建立模型是數(shù)學建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，教師要引導學生通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學活動，完成模式抽象，得到數(shù)學模型；[8]當模型構(gòu)建起來后，教師還要讓學生對其做檢驗，進一步修正和完善所建立的數(shù)學模型．學生只有經(jīng)歷數(shù)學建模的全過程，才能切身感受到數(shù)學建模的好處，體會到數(shù)學建模的特點，學會運用數(shù)學建模解決問題的方法，使數(shù)學建模素養(yǎng)得到提高．

3.4 建模過程中教師要適當引導

數(shù)學建模過程涉及到現(xiàn)實生活的問題或者跨學科的問題，對于學生具有挑戰(zhàn)性，正因為如此，對培養(yǎng)學生的資料收集能力、自學能力、問題提出能力、創(chuàng)新能力具有重要作用．但考慮到學生的認知能力和實際能力，教師需要在適當時機進行引導．如夏至日和冬至日全球正午太陽高度角的計算，既是一個跨學科問題，又是一個數(shù)學內(nèi)部知識之間的綜合問題(圓、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識的綜合)；在最后得出遮陽篷長度模型，求解最大值最小值時，需要教師來幫助完成，最簡便的方式是通過幾何畫板作出圖象，學生大概估計出一個范圍；同時在誤差分析上教師需要從感性分析過渡到理性分析，簡要介紹人類認識地球形狀的不同階段．總之，整個建模過程要在教師不失時機的引導下完成．