張燕麗, 占玉芬, 黃淑偉

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 軟件學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

為處理不精確、不確定信息決策問(wèn)題,1986年,Atanassov[1]提出了直覺(jué)模糊集的概念。1989年,Atanassov等[2]提出了區(qū)間直覺(jué)模糊集的概念,使隸屬度和非隸屬度由一個(gè)精確數(shù)變?yōu)閰^(qū)間數(shù),這個(gè)概念在處理不確定信息時(shí)更為靈活。在實(shí)際應(yīng)用中,這更符合人們的偏好,并且直覺(jué)模糊或區(qū)間直覺(jué)模糊更容易提供信息。因此,直覺(jué)模糊集和區(qū)間直覺(jué)模糊集理論被頻繁地應(yīng)用于決策領(lǐng)域[3-4]?；趨^(qū)間直覺(jué)模糊集,Atanassov等[5-6]定義了其基本運(yùn)算法則;Xu等[7-8]定義了區(qū)間直覺(jué)模糊集幾何算子,如:加權(quán)幾何集成算子(IIFWGA)、加權(quán)算術(shù)集成算子(IIFWAA),同時(shí)提出了一種基于精確函數(shù)和得分函數(shù)的多準(zhǔn)則決策過(guò)程的直覺(jué)模糊集排序方法。此后,隨著精度函數(shù)理論與多準(zhǔn)則決策理論相結(jié)合,研究逐步深入,區(qū)間直覺(jué)模糊集的排序?qū)τ谔幚聿煌暾湍：畔l(fā)揮了越來(lái)越重要的作用。2007年,Xu[7]提出了通過(guò)比較區(qū)間直覺(jué)模糊集的得分函數(shù)和精確函數(shù)值大小,進(jìn)而對(duì)區(qū)間直覺(jué)模糊集進(jìn)行排序的方法。但Xu的方法未全面考慮區(qū)間直覺(jué)模糊集涉及的信息,所以存在較多排序失效或與實(shí)際情況不符的情形。因此,很多學(xué)者先后提出了一些不同的得分或者精確函數(shù)[9-14],但都存在排序失效的情況以及不合理之處。

本文首先介紹IFS和IVIFS基礎(chǔ)知識(shí);然后引入?yún)^(qū)間直覺(jué)模糊加權(quán)算術(shù)平均算子以及加權(quán)幾何平均算子;接著介紹現(xiàn)有的得分函數(shù)以及精確函數(shù),并且分析其中的不合理性,提出新的精確函數(shù);最后用實(shí)例說(shuō)明新提出的精確函數(shù)的有效性、可行性。

1 區(qū)間直覺(jué)模糊集的基本知識(shí)

設(shè)X是一個(gè)給定的非空論域,其上的一個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊集A被定義為以下形式:

A={x,uA(x),vA(x)|x∈X}

(1)

(2)

Ac={x,vA(x),uA(x)|x∈X}

(3)

為簡(jiǎn)化形式,記α=([a,b],[c,d])為一個(gè)區(qū)間直覺(jué)模糊集,其中0≤a≤b≤1, 0≤c≤d≤1, 0≤b+d≤1。區(qū)間直覺(jué)模糊加權(quán)算術(shù)平均算子[7]為

(4)

區(qū)間直覺(jué)模糊加權(quán)幾何平均算子為

(5)

公式(4)側(cè)重于群體影響,對(duì)個(gè)體對(duì)象的影響不敏感,相反,公式 (5)側(cè)重于個(gè)體影響。

眾多區(qū)間直覺(jué)模糊集學(xué)者先后提出了多種排序算法。2007年,Xu[7]依據(jù)得分函數(shù)以及精確函數(shù)給出了區(qū)間直覺(jué)模糊集的排序方法S(A) 和H(A),其A的得分函數(shù)S和精確函數(shù)H定義如下:

其中:S(A)∈[-1,1];H(A)∈[0,1]。通過(guò)得分函數(shù)進(jìn)行排序,在得分函數(shù)相同的情況下,比較精確函數(shù)的大小進(jìn)行最終的排序,但是這個(gè)方法未考慮到隸屬度區(qū)間和非隸屬度區(qū)間大小。

2008年,Ye[9]提出了精確函數(shù)M(A):

(8)

其中M(A)∈[-1,1]。Ye將區(qū)間直覺(jué)模糊值的猶豫度引入了精確函數(shù),然而公式(8)中在精確函數(shù)隸屬度、非隸屬度大小不變的情況下,精確函數(shù)M與非隸屬度區(qū)間的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)。

2010年,Nayagam等[10]介紹了新的精確函數(shù)L(A):

(9)

2016年,Sahin[11]定義了精確函數(shù)K(A):

(10)

2017年,Zhang等[12]定義了精確函數(shù)F(A):

2019年,Priyadharsini等[13]定義一個(gè)精確函數(shù)P(A):

(12)

2 精確函數(shù)N(A)

結(jié)合Xu提出的得分函數(shù)S(A)和精確函數(shù)H(A),同時(shí)考慮到各方面信息對(duì)決策的影響以及隸屬度和非隸屬度的對(duì)比程度,本文提出一個(gè)新的精確函數(shù)N(A):

(13)

表1 各個(gè)排序方法的值Table 1 The values of each ranking method

3 決策步驟

綜上,本文提出一種基于改進(jìn)的區(qū)間直覺(jué)模糊集排序方法的多準(zhǔn)則決策算法,具體步如下:

步驟1 對(duì)于某多準(zhǔn)則決策問(wèn)題,設(shè)C為準(zhǔn)則集,C={Cj|j=1,2,…,n},決策者給出候選方案集A,A={Aj|j=1,2,…,m},決策者對(duì)候選方案Ai∈A(i=1,2,…,m) 關(guān)于準(zhǔn)則Cj∈C(j=1,2,…,n) 進(jìn)行測(cè)度,得到屬性值為區(qū)間直覺(jué)模糊集rij=([aij,bij],[cij,dij])。其中,[aij,bij]表示決策者對(duì)于方案Ai關(guān)于準(zhǔn)則Cj的支持程度的上界和下界,[cij,dij]表示決策者對(duì)于方案Ai關(guān)于準(zhǔn)則Cj的不支持程度的上界和下界。將決策者給出的所有候選方案在各準(zhǔn)則上的區(qū)間直覺(jué)模糊集組成一個(gè)決策矩陣為

R=(rij)m×n,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n

步驟3 為突出所有準(zhǔn)則對(duì)于方案的決策作用,根據(jù)步驟1得到的決策矩陣和步驟2的權(quán)重值集合的結(jié)果,利用區(qū)間直覺(jué)模糊加權(quán)算術(shù)平均算子(4),求出決策方案Ai的綜合屬性值ri(i=1,2,…,m),此步結(jié)合準(zhǔn)則權(quán)重將決策矩陣轉(zhuǎn)成決策向量。其中

步驟4 利用本文提出的精確函數(shù)(13),依據(jù)步驟3得到的各備選方案的綜合屬性值ri求出各候選方案Ai(i=1,2,…,m)的精確函數(shù)值N(ri)。

步驟5 根據(jù)精確函數(shù)值N(ri)由大到小對(duì)備選方案排序,N(ri)值最高者所對(duì)應(yīng)的備選方案為綜合考量后的最佳方案。

4 實(shí)例分析

某投資公司根據(jù)3個(gè)評(píng)價(jià)準(zhǔn)則(風(fēng)險(xiǎn)分析C1,成長(zhǎng)分析C2,環(huán)境影響分析C3),對(duì)4家可供選擇的企業(yè)(汽車(chē)公司A1,食品公司A2,IT公司A3, 武器裝備公司A4)進(jìn)行評(píng)估。假設(shè)3個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重分別為W=(0.35,0.25,0.40)。該實(shí)例被Herrera等[16]和Sahin等[11]用來(lái)證明新提出排序方法的有效性,本文所有計(jì)算函數(shù)均采用開(kāi)源的統(tǒng)計(jì)建模語(yǔ)言R語(yǔ)言編寫(xiě)。

決策者給出每個(gè)備選方案的區(qū)間直覺(jué)模糊集,如表2所示。

表2 備選公司在各準(zhǔn)則的評(píng)價(jià)信息Table 2 Evaluation information of candidate companies in each criteria

利用公式(4)計(jì)算出4個(gè)備選公司的綜合屬性值分別為

利用新提出的精確函數(shù)公式(13),求出4個(gè)備選方案的精確函數(shù)值分別為N(r1)=0.375 0,N(r2)=0.718 0,N(r3)=0.672 0,N(r4)=0.725 0。因此,4個(gè)備選方案的排序?yàn)锳4>A2>A3>A1,最優(yōu)的方案為武器裝備公司A4。

表3是Ye等計(jì)算該實(shí)例的結(jié)果。只有Zhang等[12]的F(A) 排序結(jié)果與本文新提出的精確函數(shù)N(A)得出的排序一致。由表2可見(jiàn),在指標(biāo)C1的區(qū)間值模糊集中,A4的隸屬度比A1的隸屬度大0.1,同時(shí)A4的非隸屬度比A2的非隸屬度小0.1;反過(guò)來(lái),在指標(biāo)C3中,A2的隸屬度比A4的隸屬度大,然而C3指標(biāo)的權(quán)重值僅僅只比C1大0.05。根據(jù)上述的分析,備選方案A4(武器公司)比A2(食品公司)的得分稍高,在綜合屬性值r2和r4中,r2的非隸屬度大于r4,隸屬度基本保持一致,所以可以得出備選方案A4優(yōu)于A2。

表3 各文獻(xiàn)中的值和排序情況Table 3 The values and ranking in the literatures

5 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)現(xiàn)有的排序函數(shù),包括得分函數(shù)和精確函數(shù),分析了排序失效的情況或者不足之處后,提出了一個(gè)新的精確函數(shù),采用側(cè)重于整體影響的區(qū)間直覺(jué)模糊加權(quán)算術(shù)平均算子對(duì)區(qū)間模糊集的相關(guān)信息進(jìn)行集合,進(jìn)而根據(jù)新的精確函數(shù)對(duì)備選方案進(jìn)行排序。通過(guò)實(shí)例分析比較,本文所提出的精確函數(shù)能夠在一定程度上克服其他排序函數(shù)存在的不足,有利于做出更好的決策。