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        一類求解大規(guī)模非線性單調(diào)方程組的無導(dǎo)數(shù)共軛梯度方法

        2021-03-12 01:06:32李艷冉曹名圓姜曉威
        關(guān)鍵詞:函數(shù)調(diào)用共軛收斂性

        李艷冉,高 靜,曹名圓,姜曉威,白 雪

        (北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 吉林 132013)

        本文考慮非線性單調(diào)方程組

        F(x)=0,

        (1)

        其中F(x):n→n單調(diào)且連續(xù),即F(x)滿足對?x,y∈n,有(F(x)-F(y))T(x-y)≥0.非線性單調(diào)方程組廣泛應(yīng)用于圖像分割[1]、電力系統(tǒng)的操作與控制[2]、信號重構(gòu)[3]等眾多領(lǐng)域.數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的有序回歸問題[4]、單調(diào)變分不等式問題[5]以及具有Bregman距離的廣義近端算法的子問題[6]也可以轉(zhuǎn)化為非線性單調(diào)方程組來求解.牛頓法、擬牛頓法等經(jīng)典求解算法由于每步迭代過程中都需要計(jì)算雅克比矩陣或者雅可比矩陣的近似矩陣,不適合求解大規(guī)模方程組,因此,當(dāng)問題規(guī)模很大時,很多學(xué)者更傾向于使用結(jié)構(gòu)簡便、存儲空間小的共軛梯度法來求解大規(guī)模非線性單調(diào)方程組問題.

        minf(x),

        其中,f:n→是光滑函數(shù).假設(shè)xk是第k步的迭代點(diǎn),dk是搜索方向,αk是步長,gk是f(x)在點(diǎn)xk處的梯度,βk為共軛參數(shù),則第k+1步迭代點(diǎn)的選取格式為

        xk+1=xk+αkdk,k=0,1,2,…,

        不同的βk對應(yīng)不同的共軛梯度法,常用的共軛參數(shù)有

        2012年,Rivaie等[7]提出了RMIL共軛梯度法求解無約束優(yōu)化問題,其共軛參數(shù)βk定義為

        該算法的數(shù)值結(jié)果表明,RMIL共軛梯度法與其他共軛梯度法相比,在運(yùn)算性能方面更占優(yōu)勢.2020年,F(xiàn)ang[8]在此基礎(chǔ)上,提出了一類求解非線性單調(diào)方程組的改進(jìn)的RMIL無導(dǎo)數(shù)共軛梯度法,在RMIL共軛參數(shù)的基礎(chǔ)上引入了譜參數(shù)θk,使

        該方向dk無需步長αk的調(diào)節(jié)即可滿足充分下降性.

        當(dāng)確定搜索方向dk后,通過線搜索技術(shù)找到點(diǎn)

        zk=xk+αkdk,

        使其滿足

        (F(zk),xk-zk)>0.

        另一方面,對于滿足F(x*)=0的任意x*∈,根據(jù)F的單調(diào)性,可得

        (F(zk),x*-zk)=-(F(x*)-F(zk),x*-zk)≤0.

        因此存在超平面

        Hk={x∈n(F(zk),x-zk)=0},

        將單調(diào)方程組(1)的解x*從xk中嚴(yán)格分開.基于上述結(jié)論,文獻(xiàn)[8]中將xk投影到Hk上得到下一迭代點(diǎn)xk+1:

        (2)

        該投影技術(shù)結(jié)合無導(dǎo)數(shù)線搜索技術(shù)確保了搜索方向的有界性和算法的全局收斂性.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,在求解大規(guī)模非線性單調(diào)方程組問題時,該方法優(yōu)于同類算法.

        2019年,Liu和Feng[9]提出一類求解帶有凸約束的非線性單調(diào)方程組的無導(dǎo)數(shù)共軛梯度法,將DY共軛參數(shù)改進(jìn)為

        受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文提出了一類求解非線性單調(diào)方程組問題的無導(dǎo)數(shù)共軛梯度法,改進(jìn)共軛參數(shù)βRMIL,利用不等式證明技巧,構(gòu)造與之對應(yīng)的譜參數(shù)θk,使搜索方向dk滿足充分下降性和有界性,進(jìn)而證明算法的整體收斂性.

        1 算 法

        算法1

        步0 選取初始點(diǎn)x0∈n,令δ>0,σ>0,s>0,ε>0,1>ρ>0,kmax>0,α=s,d0=-F(x0).并令k=0.

        步2 若α滿足

        (3)

        步4 計(jì)算F(xk+1),yk=F(xk+1)-F(xk).確定搜索方向

        (4)

        其中γ∈(0,1),yk=Fk+1-Fk,wk=dk+tkyk,

        (5)

        現(xiàn)在,我們證明由式(4)和(5)確定的搜索方向dk滿足充分下降性條件.

        引理1設(shè)dk由算法1產(chǎn)生,則dk滿足充分下降性條件,即

        2 收斂性分析

        為了得到算法1的整體收斂性證明,現(xiàn)在給出如下假設(shè).

        假設(shè)1(ⅰ)非線性單調(diào)方程組F(x)=0的解集是非空的.

        (6)

        假設(shè)1表明,存在正數(shù)κ,對?x∈n滿足

        (7)

        引理2若假設(shè)1成立,且{xk}由算法1產(chǎn)生,則對任意的x*滿足F(x*)=0,有

        此外,{xk}滿足

        (8)

        具體證明參見文獻(xiàn)[8].

        引理3若假設(shè)1成立,且{xk}、{dk}由算法1產(chǎn)生,則有

        其中,κ、γ、s、L均為常數(shù),并且κ>0,1>γ>0,s>0,L>0.

        證明:由式(2)和算法1的步2可知

        (9)

        又根據(jù)算法1步2中線性搜索的定義以及αk是{s,ρs,ρ2s,…}中使式(3)成立的最大數(shù),1>ρ>0可知

        αk≤s.

        (10)

        (11)

        綜上,由式(6)~(7)和(9)~(11)可得

        證畢.

        引理4若假設(shè)1成立,xk、αk、dk、Fk由算法1產(chǎn)生,對所有k∈,存在常數(shù)ε,滿足Fk≥ε,則有

        具體證明參見文獻(xiàn)[8].

        綜合以上結(jié)論,可以獲得算法1的整體收斂性定理.

        定理1若假設(shè)1成立,且{xk},{dk}由算法1產(chǎn)生,則有

        (12)

        另外,序列{xk}收斂到x*且F(x*)=0.

        證明:假設(shè)式(12)不成立,則存在常數(shù)ε>0滿足

        (13)

        根據(jù)引理1可得

        (14)

        因此,由式(13)和(14)可知

        (15)

        (16)

        由式(8)、(9)和(16)可得

        (17)

        另一方面,結(jié)合引理4和式(15),有

        此式與式(17)矛盾,進(jìn)而表明式(12)成立.由假設(shè)1和引理2以及式(12),能夠推出{xk}收斂到x*,且x*滿足F(x*)=0.證畢.

        3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

        將本文算法1與文獻(xiàn)[8,10]提出的MRMIL1和DFPB1算法進(jìn)行比較.本文所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)都是在4 GB內(nèi)存Intel CPU I5-4210的PC機(jī)上,用Matlab R2015b 編程完成的.

        本文利用文獻(xiàn)[11]中定義的分式

        刻畫算法性能.這里,P是測試集,|P|是測試集P中問題的數(shù)量,V是符合條件的問題集,tp,ν表示計(jì)算機(jī)運(yùn)算測試問題所花費(fèi)的CPU時間,或者函數(shù)調(diào)用次數(shù),或者函數(shù)迭代次數(shù).

        圖1給出了本文算法1(黑色實(shí)線)與MRMIL1(綠色實(shí)線)和DFPB1算法(紅色實(shí)線)在CPU時間、函數(shù)調(diào)用次數(shù)和函數(shù)迭代次數(shù)方面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比.圖1的橫坐標(biāo)τ表示一種算法求解測試問題的最快(高)效率的百分比,縱坐標(biāo)ρv(τ)表示每種方法成功解決的測試問題數(shù)量的百分比.從圖1 a和圖1 b中可以看出,在函數(shù)調(diào)用次數(shù)和CPU時間方面,算法1的性能曲線在其他兩條曲線之上,說明本文提出的無導(dǎo)數(shù)改進(jìn)RMIL共軛梯度方法在求解大規(guī)模非線性單調(diào)方程組問題時能夠使用更少的函數(shù)調(diào)用次數(shù)和CPU時間,求解效率更高.因此,從函數(shù)調(diào)用次數(shù)和CPU時間方面考慮數(shù)值性能,本文算法明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[8,10]中的方法.圖1 c顯示的是算法迭代次數(shù)的對比結(jié)果,從圖像可以看出,當(dāng)τ<2時,算法1與DFPB1算法的數(shù)值表現(xiàn)基本一致,稍遜于MRMIL1;當(dāng)τ≥2時,三個算法在迭代次數(shù)方面表現(xiàn)相當(dāng).

        圖1算法性能對比Fig.1Comparison of algorithm performance

        4 小 結(jié)

        本文主要研究了求解大規(guī)模非線性單調(diào)方程組的高效算法,提出了一類基于投影技術(shù)的無導(dǎo)數(shù)共軛梯度方法.證明了搜索方向滿足充分下降性條件,在無導(dǎo)數(shù)線搜索和適當(dāng)假設(shè)條件下,證明了算法的整體收斂性.數(shù)值結(jié)果表明,該算法在求解大規(guī)模非線性單調(diào)方程組時具有較高效率,在函數(shù)調(diào)用次數(shù)和CPU時間方面的表現(xiàn)優(yōu)于同類算法.

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