李渝東 吳治新

(1.重慶市永川區(qū)興龍湖中學(xué)校 402160；2.重慶市永川區(qū)北山中學(xué)校 402160)

就筆者所任教學(xué)校及地區(qū)來看，動(dòng)點(diǎn)問題對于一般學(xué)生而言是一個(gè)不愿面對、甚至畏懼的一個(gè)綜合問題.既然已經(jīng)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，作為一線教師的我們就應(yīng)該思考：為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的影響？怎樣消除學(xué)生對于動(dòng)點(diǎn)問題的畏懼感？故筆者撰寫此文，以與眾多一線教師、學(xué)者交流探討.

一、學(xué)生對數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題的“畏懼”成因分析

筆者通過對教材結(jié)構(gòu)和學(xué)生面對動(dòng)點(diǎn)問題后的心態(tài)及做法進(jìn)行調(diào)查整理后發(fā)現(xiàn)，造成學(xué)生對數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題的“畏懼”原因如下：

①學(xué)生在面對數(shù)軸上的點(diǎn)左右運(yùn)動(dòng)的時(shí)候，時(shí)常聯(lián)想到之前學(xué)習(xí)過的相遇、追及問題.不斷的討論相遇時(shí)間、路程、速度之間的關(guān)系，甚至還牽扯多種情況討論，故學(xué)生一時(shí)難以接受，造就一種根深蒂固的畏難心理.②對解決數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題的方法未系統(tǒng)性掌握，導(dǎo)致大部分學(xué)生遇到此類問題時(shí)無從下手，故選擇棄之.③各類型數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題分類解決練習(xí)欠缺，例如動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向等.

筆者認(rèn)為，如若解決以上問題，學(xué)生對于數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題將不再恐懼，甚至期望遇見并解決此類動(dòng)點(diǎn)問題.

二、解決學(xué)生對數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題畏懼的有效策略

1.重構(gòu)方法，提升自信

通過對一道例題的多解，重構(gòu)解決數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題方法步驟.

例1在數(shù)軸上，已知有B、A兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為3、-1，P點(diǎn)為一動(dòng)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)記為x. (如圖1)

圖1

問：若點(diǎn)A到點(diǎn)P的距離等于點(diǎn)B到點(diǎn)P的距離,則點(diǎn)P表示的數(shù)為多少？

解法1：根據(jù)題意，利用中點(diǎn)公式(a+b)/2代入直接求解；(其中a、b為數(shù)軸上任兩點(diǎn)所代表的數(shù))

解法2：根據(jù)題意，利用距離公式AB= |b-a|或|a-b|，列方程、分類求解；(其中b、a為數(shù)軸上任兩點(diǎn)B、A所代表的數(shù))

解法3：根據(jù)題意，利用動(dòng)點(diǎn)公式A：a±m(xù)，結(jié)合加減運(yùn)算即可求解.(其中a為數(shù)軸上點(diǎn)A所代表的數(shù)，m為點(diǎn)A在數(shù)軸上某方向移動(dòng)的路程，點(diǎn)如果向正方向運(yùn)動(dòng)即加、如果向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)即減)

其中在使用距離公式時(shí)有一常用技巧.我們在使用之前要明白，為何距離公式含有絕對值？原因在于距離一定為正，我們無法判斷兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)誰大誰小時(shí)，兩數(shù)相減就無法判斷距離結(jié)果為正還是為負(fù)，故加上絕對值.在解決含有絕對值的方程時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用分類討論的方法，這是學(xué)生感覺麻煩的地方，特別是需要討論的情況過多的時(shí)候.為在某些情況下避免累贅討論，故用到這樣一個(gè)技巧：大減小一定為正，則不必加絕對值.

筆者列舉此題的三種解法，正是解決動(dòng)點(diǎn)問題的必備知識(shí)及結(jié)論，緊抓這三大法寶，就擁有了解決數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題的底氣和信心.

2.題型分類，系統(tǒng)解決

筆者發(fā)現(xiàn)，通過對七年級數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題的分類分析，動(dòng)點(diǎn)和距離時(shí)常綜合起來考察.從動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)的角度分為以下兩類：

其一：一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

其二：兩個(gè)或多個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，又分為以下兩小類：

(1)兩或多個(gè)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)

前提條件仍為例1所示：P點(diǎn)從O點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，速度為5個(gè)單位長度每秒,A點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，速度為5個(gè)單位長度每秒,B點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，速度是4個(gè)單位長度每秒,三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)按照上述速度和方向出發(fā)，多少秒后P到A和B的距離相等?(如圖1)

解運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)公式，P：0+5tA：-1+5tB：3+4t

運(yùn)用距離公式及文中所提技巧，PA=5t-(-1+5t)=1,PB=|5t-(3+4t)|= |t-3)|；

根據(jù)題意令其相等，求得t，PA=PB，|t-3)| =1，得t=2或4. 故2或4秒后P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等.

另外：一條線段動(dòng)實(shí)質(zhì)則為兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)、同向、同速運(yùn)動(dòng)，方法如上即可.

(2)兩或多個(gè)點(diǎn)不同時(shí)運(yùn)動(dòng)

此類問題要求對動(dòng)點(diǎn)公式A：a±m(xù)(a為數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)，m為點(diǎn)A在數(shù)軸上某方向移動(dòng)的路程，向正方向用加、負(fù)方向用減)理解透徹，不同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)路程m的值如何取.

例2已知數(shù)軸上有點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為a、點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為b、點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為c,并且三點(diǎn)滿足|a+24|+|b+10|+(c-10)2=0這一關(guān)系式，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),以1個(gè)單位每秒的速度向C移動(dòng),如果令時(shí)間為t秒．

(1)求a、b、c的值．(2)若PA=2PB，求點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)．

(3)當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),Q點(diǎn)開始從點(diǎn)A出發(fā),以3個(gè)單位每秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng), 點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后,再以同樣的速度馬上返回，運(yùn)動(dòng)到A停止運(yùn)動(dòng)，在Q點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)后第多少秒時(shí)，P點(diǎn)、Q點(diǎn)兩點(diǎn)的距離為4？并且說明理由. (如圖2)

圖2

解(3) 設(shè)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t.

如上筆者是以動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行分類，在實(shí)際教學(xué)中還可加入動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向等因素，更加細(xì)致的進(jìn)行分類教學(xué).

數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題解決方法總結(jié)為以下幾點(diǎn)：

步驟一，運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)公式表示動(dòng)點(diǎn)所代表的數(shù)；

步驟二，根據(jù)具體運(yùn)動(dòng)情況及距離要求寫出代數(shù)式并列方程；

步驟三，運(yùn)用分類思想，求解含有絕對值的方程.

3.反思總結(jié)，提升歷練

對動(dòng)點(diǎn)問題學(xué)習(xí)困難的情況在一線教學(xué)中屬于普遍現(xiàn)象.數(shù)軸中的問題數(shù)不勝數(shù)，其作為有理數(shù)的研究工具，在今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常接觸.然而在各教學(xué)問題的解決上如何正確面對和引導(dǎo)，是眾多一線教師需要反思的問題.在實(shí)際教學(xué)中，我們要以讓學(xué)生增強(qiáng)對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和興趣，同時(shí)也應(yīng)注重探究學(xué)習(xí)的方法，如本文在解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)運(yùn)用到控制變量法，分類討論法等.養(yǎng)成這樣良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生能從客觀事實(shí)中尋求真理的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度.

充分利用教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在這一活動(dòng)過程中逐漸提高發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題的能力，也就是理清問題成因及對策；讓教師在教學(xué)過程中努力完善提升自己的教學(xué)手段和教學(xué)方法，激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生積極思考的學(xué)習(xí)態(tài)度；讓每位學(xué)生在數(shù)學(xué)課上能動(dòng)手做、動(dòng)腦想、動(dòng)口說從而落實(shí)“三會(huì)”.