張 麗 麗

(隴東學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅 慶陽 745000)

矩陣的特征值問題作為矩陣理論中的一個重要內(nèi)容，已被廣泛應用于物理、化學、生物等多個研究領域。目前，矩陣特征值的計算方法主要有定義法[1]、冪法[2]、反冪法[3]和Jacobi方法[4]等。定義法對于較為復雜的矩陣其計算過程較為繁瑣；冪法因迭代的局限性，其收斂性差較差；反冪法的計算精度雖然優(yōu)于冪法，但要求特征值必須充分隔離；Jacobi方法需要借助MATLAB軟件實現(xiàn)。1985年，Oja[5]等根據(jù)基礎神經(jīng)元網(wǎng)絡模型提出了一種計算對稱矩陣特征值的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡模型，基于此模型，1992年羅發(fā)龍[6]提出了一種用于最大似然(ML)方向估計的神經(jīng)網(wǎng)絡模型，但上述2種模型均只能計算矩陣的最大特征值及其對應的特征向量。2005年，劉怡光[7]等提出了一種求解矩陣一般特征值和特征向量的神經(jīng)網(wǎng)絡方法，但該方法計算量較大。此后，學者們相繼提出了一些模型[8-10]，如時滯標準神經(jīng)網(wǎng)絡模型(DSNNM)等，但這些模型收斂性均較差。為了進一步優(yōu)化矩陣特征值的計算，本文在文獻[5-10]的研究基礎上提出了一種更為容易實現(xiàn)的計算一般對稱矩陣特征值的神經(jīng)網(wǎng)絡模型。

1 求對稱矩陣特征值的神經(jīng)網(wǎng)絡方法

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(神經(jīng)網(wǎng)絡)是通過模仿生物大腦神經(jīng)網(wǎng)絡而建立的一種神經(jīng)元模型，如圖1所示，神經(jīng)元處理信息的過程分為輸入層、處理層、輸出層3個層次。其中輸入層相當于神經(jīng)元的樹突，處理層相當于神經(jīng)元的細胞核，輸出層相當于神經(jīng)元的軸突。不同神經(jīng)元之間的鏈接程度不同，其鏈接強度可用“權值”表示，記為Wi(i=1,2,…,n)。神經(jīng)元對細胞核處理過程可看作是一個函數(shù)f(x)的計算過程，其中輸入過程可看作自變量xi(i=1,2,…,n)，輸出過程可看作因變量yi(i=1,2,…,n)。

圖1 神經(jīng)元模型

根據(jù)圖1，基礎神經(jīng)元模型可用下式表示

y1=f(W1x1)+f(W2x2)+…+f(Wnxn)

y2=f(f(W1x1)+f(W2x2)+…+f(Wnxn))+…+

f(f(W1x1)+f(W2x2)+…+f(Wnxn))

(1)

文獻[5]根據(jù)上述基礎神經(jīng)元網(wǎng)絡模型提出了如下循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡模型

(2)

其中A為任意對稱矩陣。基于此模型，文獻[6]提出以下神經(jīng)網(wǎng)絡模型

(3)

將模型(1)代入模型(3)得

(4)

將(4)中的函數(shù)f(x)寫成向量形式可得

(5)

但模型(2)-(5)只能計算矩陣的最大特征值及其特征向量。為此，本文引用一種連續(xù)型全反饋神經(jīng)網(wǎng)絡模型

(6)

其中X(0)為非零初始向量。

因上述模型均只能計算對稱矩陣，因此本文只研究對稱矩陣特征值的計算。設n階實對稱矩陣A，其特征值為λ1，λ2，…，λn,對應的特征向量為e1,e2,…，en。由于實矩陣的特征值均為實數(shù)，所以矩陣A至多有n個實特征值。由對稱矩陣A可得如下定理：

定理1對稱矩陣每個特征值重數(shù)等同于與其無關的特征向量數(shù)。

由定理1知n階實對稱矩陣A存在n個線性無關的特征向量，即對稱矩陣一定可以對角化。再由矩陣對角化相關理論可知，存在可逆矩陣P，使得矩陣A可以對角化為矩陣V，即V=P-1AP(V=diag(λ1，λ2，…，λn))。設λi,λj是實對稱矩陣A的兩個特征值，其對應的特征向量為ei,ej，則存在如下關系

Aei=λiei

Aej=λjej

(7)

(8)

將(7)代入(8)得

由以上可得

(9)

因?qū)崒ΨQ矩陣A的任意兩個特征向量兩兩正交，因此對于實對稱矩陣A有

結合(9)式及模型(6)即可得到計算特征向量和特征值的如下關系

(10)

其中e0為非零初始向量。對于n階實對稱矩陣A

將矩陣A代入模型(6)得

(11)

對X(t)取非零初始向量X(0)=[a1na2n…ain0]T,i∈(1,n)則有

(12)

由(12)可得

(13)

將(13)代入(11)得

(14)

取垂直于初始向量X1(0)的初始向量X2(0)=「-a1n-a2n… -ainanm?T，然后將其重新代入模型(6)可得

(15)

重復式(12)—(14)的計算過程可得

(16)

取垂直于初始向量X1(0)、X2(0)的初始向量X3(0)，并重復式(12)—(14)的計算過程即可得到特征向量e3和特征值λ3。繼而取與之前初始向量垂直的初始向量按式(12)—(14)的計算過程反復計算，即得到給定對稱矩陣的特征向量e1,e2,…,en和特征值λ1,λ2,…，λn。

2 斐波那契數(shù)列

斐波那契(Fibonacci)數(shù)列又稱為“兔子數(shù)列”，是由數(shù)學家斐波那契在兔子繁殖過程中以兔子數(shù)量的變化提出的數(shù)學問題[11]，即：設一對兔子每個月都能繁殖出一對兔子，假定所有兔子都沒有死亡的情況，問第F個月后可以繁殖多少對兔子。

根據(jù)斐波那契數(shù)列有

{Fk}=0，1，2，3，5，…，F(xiàn)k，…

(17)

其約束條件為

(18)

通過數(shù)列，可以推得幼崽對數(shù)、成兔對數(shù)與月份的關系，如表1所示。

表1 幼崽對數(shù)、成兔對數(shù)與月份關系表

將表1的遞進關系寫成矩陣的形式，設矩陣A

即前后月的遞進關系矩陣形式有

那么，?k+1可表示為矩陣形式

(19)

其中k=1，2，3，…

為了計算?k，將(19)式進行迭代

(20)

由此，將Fk與?k聯(lián)系起來，只需計算Ak即可。

將第k+1月初時的兔子總數(shù)設為X(k+1)，則通過(20)式可知第k+1月初與第k月初時的兔子總數(shù)有著以下關系

X(k+1)=AX(k)=A2X(k-1)=A3X(k-2)

(21)

遞推得到

X(k+1)=……=AkX(1)

(22)

前后月份寫成矩陣形式的關系式有

(23)

由矩陣對角化的理論，只需要將A化成

A=PAP-1

(24)

的形式即可求出FK。

為了方便計算，由于矩陣A有n個線性無關的特征向量，所以假定存在一對角矩陣P，若P-1AP=A，則有P-1AKP=AK，從而

AK=PAP-1，K∈N

(25)

故矩陣A與矩陣P相似，即矩陣A可對角化。

設矩陣A的特征值為λ，E為單位矩陣，通過矩陣特征值定義可知

(26)

通過計算可得矩陣A的特征值

(27)

顯然，對于矩陣A的兩個特征值分別存在對應的特征向量X1，X2

X1=(λ11)T

X2=(λ21)T

(28)

假設

(29)

通過計算可得

(30)

通過計算可知矩陣A的特征值有兩個，為了將矩陣A構造為對角矩陣，以兩個特征值λ1,λ2為對角元素進行構造

(31)

由于(25)式，那么

由此可以得出

(32)

第k+1個月初兔子的對數(shù)為

(33)

又由(22)式通過矩陣特征值求出的斐波那契數(shù)列通項為

(34)