課題名稱：1.1.2余弦定理

設計教師：史寧 ? ? ? ? 學科：數(shù)學 ? ? ? ?年級：高一

一、教學模式簡介

1.理論依據(jù)

“基于核心素養(yǎng)教學目標引領，提升課堂質量”中“基于學科素養(yǎng)”是宏觀目標，“教學目標引領”是中堅具體操作指南、是提升學科核心素養(yǎng)的抓手，“提升課堂質量”是在這種教學理念下的必然結果。

學生在學習上通過課前——課上——課后三個環(huán)節(jié)，進行自主性、合作性和探究性的學習。這樣的學習方式以弘揚人的主題性為宗旨，以促進人的可持續(xù)發(fā)展帷幕的，有許多具體的方式形成的多維度、具有不同層次結構的開放系統(tǒng)?！?13”教學模式推進核心素養(yǎng)教育，使核心素養(yǎng)在科學的教學模式中生根、發(fā)芽、開花、結下豐碩果實。教師在教學過程中與學生積極互動，共同發(fā)展，注重培養(yǎng)學生的獨立性和自主性，促進學生在教師引導下主動地富有個性地學習。

2.“313”教學模式中的“一”，就是一個核心，即目標。圍繞目標這一核心，先要確定目標，后要落實目標。第一個“三”，基于學科核心素養(yǎng)而展開，就是要研究課標、研究教材、研究學情。第二個“三”圍繞落實目標而展開，就是要充實課前、課中、課后，即課前自主學習、課上合作互動、課后檢驗落實。

3.數(shù)學學科素養(yǎng)下的三維目標

數(shù)學核心素養(yǎng)，是數(shù)學學習者，在學習數(shù)學某一領域時所應達到的綜合能力，數(shù)學核心素養(yǎng)，不是指具體的知識與技能，而是只能夠反映數(shù)學本質與數(shù)學思想，在數(shù)學學習過程中形成的，具有綜合性、階段性、持久性的一種數(shù)學能力。

情感價值觀側重于教育心理，核心素養(yǎng)則是教育的DNA。數(shù)學核心素養(yǎng)是通過數(shù)學學習建立起來的認識、理解和處理周圍事物所具備的品質，是人與自然相互作用時所表現(xiàn)出來的思考方式和解決問題的策略。

二、課例呈現(xiàn)

1.課題名稱：余弦定理

2.教學目標：

（1）通過具體的問題情境，學生對三角形邊角關系進行探究，發(fā)現(xiàn)要解決“兩邊及夾角”類型的問題，正弦定理不能完全勝任，引發(fā)認知沖突;通過對2015年期中考試題目的復習，“溫故而知新”很快得出三角形中邊長與角度之間的新的數(shù)量關系——余弦定理。這一過程中，學生逐步培養(yǎng)數(shù)學抽象、直觀想象和邏輯推理這三方面的核心素養(yǎng)。

（2）學生在“向量法“證明余弦定理之后，積極探索“作高法”、“坐標法”、“相交弦定理”等方法證明余弦定理，加深對余弦定理和平面幾何之間關系的理解，體會定理的“來龍”。這一過程充分調動學生的思考積極性，培養(yǎng)邏輯推理、證明、培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識的核心素養(yǎng)。

（3）在探究學習的過程中，學生認識到余弦定理可以解決一些測量和幾何計算有關的實際問題，提高運用有關知識解決實際問題的能力、培養(yǎng)實事求是、扎實嚴謹?shù)臄?shù)學態(tài)度。這一過程數(shù)學建模、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析這三方面的核心素養(yǎng)。

3.教學重、難點：

教學重點：余弦定理的證明及應用;

教學難點：運用平面知識證明余弦定理。

4.教學過程

1.1.2余弦定理

一、知識回顧

1.正弦定理

2.正弦定理主要解決哪幾類的解三角形問題？

生：①已知三角形兩角及一邊，求其它邊角;

②已知三角形兩邊及一邊的對角，求另一邊的對角，進而求其它邊角。

學情分析與設計意圖：回顧舊知，防止遺忘，為“溫故知新”做準備。

二、情境引入

問題：正弦定理能解決“已知三角形兩邊及夾角，求第三邊”的問題嗎？比如，有兩人分別站在教室外墻角的兩側，互相看不到，我們想知道兩人之間的距離，怎么做？

學生很快利用正弦定理解決題目中的問題。

學情分析與設計意圖：學生分析具體問題，決定用正弦定理解決問題。這一過程培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析五個核心素養(yǎng)。

三、提出問題，引發(fā)認識沖突

問題：如果ΔABC中，，a邊是多少？

四、溫故知新、探究定理

教師展示：太原市期中試卷20題

如圖，在ΔABC中，，求的值.

學生黑板板演：

提問：在ΔABC中，已知角C，求邊c.

學生發(fā)現(xiàn)：只要換掉上面題目的數(shù)字為字母就可以了。

教師提示：其實我們在上半學期已經(jīng)不經(jīng)意地證明過余弦定理了。

學情分析與設計意圖：學生通過對以前做過的題目的再解決，“溫故知新”，得出余弦定理，體會定理證明的過程。在這一過程中培養(yǎng)學生數(shù)學抽象概括、邏輯推理核心素養(yǎng)。

五、歸納概括

余弦定理的內容：

三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。

師：從式子的結構來看，余弦定理可以解決怎樣的解三角形問題？

生：已知三角形兩邊及夾角，求第三邊。

師：已知三角形三邊，求三角呢？

生：也可以，用余弦定理的變形公式就可以。

學情分析與設計意圖：對探究的知識進行歸納總結，發(fā)現(xiàn)特征，明確知識間的聯(lián)系，得出推論。

在這一過程中培養(yǎng)學生數(shù)學抽象概括、邏輯推理核心素養(yǎng)。

六、合作探究、小組展示

余項定理還有其它證明方法嗎？

小組展示：余弦定理的其他證明方法。

學情分析與設計意圖：多角度看問題，打開思路、開闊眼界，進一步理解余弦定理的“來龍”。

在這一過程中培養(yǎng)學生數(shù)學推理證明核心素養(yǎng)。

七、知識應用

學生展示：

學情分析與設計意圖：運用所學知識解決實際問題，體會余弦定理的“去脈”。

在這一過程中培養(yǎng)學生數(shù)學建模、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析三方面的核心素養(yǎng)。

八、知識深化

學生總結發(fā)現(xiàn)：

通過例2，余弦定理也可以判斷三角形的形狀。

通過例3，“已知三角形兩邊及一邊的對角，求其它邊角”問題，既可以用正弦定理解決，也可以用余弦定理通過解方程解決。

學情分析與設計意圖：深化理解正、余弦定理。

在這一過程中培養(yǎng)學生數(shù)學抽象概括、邏輯推理核心素養(yǎng)。

九、課堂小結

問題1：正、余弦定理各能解決哪些類型的解三角形問題？各有什么特點？

問題2：本節(jié)課你學到了哪些知識與方法？

學情分析與設計意圖：形成本節(jié)課的知識結構。

在這一過程中培養(yǎng)學生抽象概括的核心素養(yǎng)。

三、反思與評價

1.課型分析：張建躍《數(shù)學教育心理學》中將數(shù)學課分為概念課、規(guī)則課、習題課、復習課、策略課。根據(jù)課標、教材及教參所述，本節(jié)課屬于規(guī)則課。本節(jié)課，教師立足于所創(chuàng)設的情境，通過學生自主探究、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題，應用知識的過程，學生成為余弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦于樂。知識目標、能力目標、情感目標均得到較好的落實。為今后的定理教學提供了一些有用的借鑒。

2.教學設計依據(jù)

（1）理解學生

在教學過程中，313教學環(huán)節(jié)是基礎環(huán)節(jié)。教師必須對學生的身心特點，知識水平教學內容教學目標等因素進行綜合考慮，對可用的情境進行比較，選擇具有較好的教育功能的情景。從應用需要出發(fā)，創(chuàng)設認知沖突型教學情境，是創(chuàng)設情境的常用方法之一。余弦定理具有廣泛的應用價值。故本課從應用需要出發(fā)，創(chuàng)設了教學中所使用的數(shù)學情境。

教學中要關注學生學習的結果，更關注學生學習的過程;關注學生學習數(shù)學學的水平，更關注學生在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度;關注是否給學生創(chuàng)設一種情境，使學生親身經(jīng)歷了數(shù)學活動過程，把培養(yǎng)學生的數(shù)學問題意識，提高學生提出數(shù)學問題的能力作為教與學活動的起點與歸宿。

（2）理解數(shù)學

實踐證明，將習題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng)設情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進行深入細致全面的研究便不難發(fā)現(xiàn)，教材中有不少可用的素材。選題不僅要定勢還要破勢，教師要善于舉例。

（3）理解教學

教師提問要有藝術，問題既要有針對性不能泛化，又要有啟發(fā)性不能太精確;教師的角色定位要準確，教師不代替，學生不等待;教師的作用在設計、調控，督促學生落實，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，做智慧型的教師。

策略課的功能是什么？從培養(yǎng)學生的學習興趣著手，變被動學習為主動學習、自主學習、合作學習、研究性學習、探究性學習。根本改變舊有的教法、學法，使學生真正做到不但知其然，而且知其所以然，教師不僅要授之于魚，更應該受之于漁。把本來應該讓學生分析總結歸納解決的問題，由學生自己來解決，發(fā)展他們的數(shù)學才能，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

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