江敏珊

《教學用書 》是由具有豐富經(jīng)驗的一線教師、專家、學者依據(jù)各科大綱及教材內(nèi)容和要求并結合教學實際共同編寫的，對廣大教師們的教育教學工作具有很強的指導性和實用性。它既是教師認識和理解教材的基礎，也是教師實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源。本學期，我任教一年級兩個班的數(shù)學。在《減法》備課階段，我覺得內(nèi)容簡單，所以備課前沒有閱讀《教學用書》。在第一個班級進行教學時，由于對知識重難點沒有進行深入研究，沒有找準知識的延伸處，沒有用足習題，因此在第一個班的教學效果不好，學生的學習興趣不高?，F(xiàn)場聽課的老師指出了我上課所出現(xiàn)的問題，同時給我提了一個重要的建議，那就是每節(jié)課的備課都必須仔細研讀《教學用書》，理解每一個情境和例題的編寫意圖，理解感悟每一道習題的作用和目標，真正走進教材。在經(jīng)過第一次的教學反思，我認真反復研讀《教學用書》。在第二個班進行教學時，我調(diào)整了部分教學內(nèi)容，對教學設計做了適當?shù)男薷?，增設了豐富多樣化的習題，引導學生對數(shù)學問題多角度、多方位、多層次的思考。下面結合兩個班的《減法》教學過程，談談我是如何通過研讀并合理使用《教學用書》來逐步改進教學的。

一、初次教學，發(fā)現(xiàn)問題

第一個班級教學《減法》時，沒有研讀《教學用書》，出現(xiàn)了以下幾點不足：

1.在講完第一道“氣球情境圖”的例題后，馬上進入了第二道“松鼠情境圖”練習，例題講解與練習環(huán)節(jié)不太對應，練習缺乏針對性和有效性。

2.對一課時的內(nèi)容把握不夠清晰，只講解了“看算式，說意思”的例題，缺少對減法算法的多樣化的例題講解。

3.講解 “氣球情境圖”例題的時間過長，沒有合理好分配教學時間。

4.練習題的設計沒有層次化，沒有找準知識的延伸處，沒有用足習題。

二、研讀用書，改進教學

教學經(jīng)驗豐富的聽課教師們都認為我在第一個班教學時，沒有充分研讀每道例題和練習題的編寫意圖，沒有關注教材的縱向聯(lián)系、橫向練習和整體把握，以致于在突破知識重難點和發(fā)展學生思維能力上，沒有達到預期的教學效果。為此，我認真研讀《教學用書》，調(diào)整了部分教學內(nèi)容，重新設計了教學過程。在進行第二個班級教學時，我站在學生的角度出發(fā)，及時發(fā)現(xiàn)學生認知的“學困點”。同時，通過以下幾點改進，促進了學生的思考、知識的及時生長。

【改進1】數(shù)學書27頁“小松鼠情境圖”

與減法的含義的編排相一致，此情境圖也是加法計算情境圖的延續(xù)：玩耍的5只小松鼠，跑走了3只。從而引出算式5-3=?！督虒W用書》的編寫意圖是通過呈現(xiàn)計算5-3的兩種方法，體現(xiàn)算法多樣化的思想。在第二個班級進行教學時，為了更好地理解此情境圖時加法計算情境圖的延續(xù)，我在教學中增加了小松鼠加法計算情境圖的知識回顧，目的是讓學生重溫計算3+2的多種方法，讓學生能對所學知識進行類比和遷移，發(fā)展思維能力。

（1）小松鼠加法計算情境圖的知識回顧

（2）小松鼠減法計算情境圖的新授

為了讓學生對兩道小松鼠題做區(qū)分，在不改變圖意和題意的情況下，通過查閱網(wǎng)上資料，我更改了小松鼠的顏色，以提供學生的學習興趣，這也符合低年級數(shù)學教學趣味化的特點。

【改進2】數(shù)學書《練習五》練習片段

1、數(shù)學書《練習五》第7題?！督虒W用書》的編寫意圖是“5以內(nèi)的加減法，學生第一次見到這種形式的題目，可以初步滲透函數(shù)思想?！痹跊]有認真研讀《教學用書》時，在第一個班級教學時，部分學生看不懂圖意，計算結果正確率不高。在經(jīng)過認真研讀《教學用書》后，我改變了該練習題的呈現(xiàn)方式，改用了“流動圖”展示，把“+1”和“5-”做成了“流動圖”，該題學生的正確率有了明顯的提高。這符合教材的編排特點之一，也就是從學生的生活經(jīng)驗出發(fā)逐步開展學習內(nèi)容，有利于激發(fā)學生的學習興趣。

2、數(shù)學書《練習五》第6題。這組練習題在第一個班級教學時是沒有呈現(xiàn)的，練習形式過于單一。在認真研讀《教學用書》后，在第二個班級進行教學時，我增設了以下這一題組。第6題的教學建議是“先說圖意，再列式計算。最后引導學生橫看、豎看，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，直觀感知加、減法之間的關系?！痹诘诙€班級進行教學時，學生用“”方式橫著看，他們發(fā)現(xiàn)第一排是和為4的加法算式，第二排是被減數(shù)為4的減法算式;學生用“”方式豎著看，發(fā)現(xiàn)第一排算式的和是第二排算式中的被減數(shù)，第一排算式中的已知加數(shù)是第二排算式中的差。結合《教學用書》的教學目標提到：“初步學會根據(jù)加減法的含義和算法解決一些簡單的實際問題”和“養(yǎng)成認真作業(yè)、書寫整潔的良好習慣”，我注重強調(diào)學生做題的課堂筆記，規(guī)范學生的做題行為，并且受到了良好的教學效果。

【改進3】優(yōu)化練習設計，發(fā)展思維能力

1、數(shù)學書《練習五》第3題的小花圖。《教學用書》的編寫意圖是“要求學生根據(jù)圖意寫減法算式，直觀感受原有的4個笑臉、剩下的笑臉間的關系，鞏固減法的計算方法，理解同數(shù)相減得0的道理，滲透函數(shù)思想?！庇捎诘谝粋€班級教學時，沒有注重練習的層次性和針對性。因此，在第二個班級，除了講解小花圖之外，我還增設了一組草莓圖。學生在做題過程中，理解了“劃去 ”和“虛線框”都可以表示去掉的意思，直觀感受減法的含義，加深對減法的理解。另外，在同一組草莓圖中，出現(xiàn)5以內(nèi)的加、減法的不同算式，有利于強化學生對于加減法含義的理解。

2、《教學用書》的編寫特點是“設計富有兒童情趣的學習素材和活動情境，以激發(fā)學習興趣與動機，促進兒童主動建構有關的數(shù)學知識?！币虼?，研讀《教學用書》后，通過上網(wǎng)收集資料，選取以下一組題為這節(jié)課的拓展題。在第二個班級教學時，學生比較容易解決“樹上還有幾個桃子？”。而第二個問題“小猴子摘走了幾個桃子？”，通過教師的適時點撥，學生二人討論，最終成功解決“猴子與桃”的故事。

三、回顧反思，用好用活

在發(fā)現(xiàn)了第一個班的教學中所存在的問題后，我認真研讀《教學用書》，有效調(diào)整和改進教學環(huán)節(jié)，提高了習題的“品位”，找準了知識點的延伸處。因此， 在第二個班上這節(jié)課時，收到很好的教學效果：顯著地提高了教學的條理性;很好地體現(xiàn)了練習題的層次性和針對性;有效地激發(fā)了學生的學習興趣，這些都真正達到有效教學。通過兩個班級的同一課時的不同教學，我切身感受到用好《教學用書》與不用《教學用書》的巨大差別，深刻理解到《教學用書》的重要作用。 作為新教師的我，必須要認真研讀它，準確把握教材的深度、廣度及大綱對具體知識、技能要求學生達到的等級，真正感悟《用書》的優(yōu)點，用好《用書》、用活《用書》，才能激發(fā)學生的思維，讓學生真正享受思考的快樂！

解讀新教材之等比數(shù)列和的性質(zhì)

林英杰

青島西海岸新區(qū)第一高級中學 山東青島 266555

“等比數(shù)列的前n項和”是高中數(shù)列章節(jié)非常重要的教學內(nèi)容，其公式的探究、推導以及靈活應用是代數(shù)式結構分析的典范，其中蘊含了非常豐富的數(shù)學思想。下面就人教A版新教材中的一個例題來進一步探究等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)。

首先我們一起來看一下新教材中關于該性質(zhì)的描述（課本P37）：

教材是基于等比數(shù)列的前m項和的公式的角度，通過分類討論的數(shù)學思想對該性質(zhì)進行了證明。而在舊版人教A版的必修5<<數(shù)列>>章節(jié)中僅僅是在PB組練習里出現(xiàn)了該性質(zhì)的雛形，即：

2.已知等比數(shù)列{a}的前n項和為S，求證S，S-S，S-S也成等比數(shù)列。

這也是新舊兩版教材對該性質(zhì)的處理方式的不同，因為這種安排上的不同，在實際教學中師生對該性質(zhì)的重視程度會有巨大差異。下面我們借助題目實戰(zhàn)一下：

【典例】已知等比數(shù)列{a}的前n項和為S，若S=7，S=91，則S=（ ）

A.28 B.32 C.21 D.28或-21

【解析】∵數(shù)列{a}為等比數(shù)列，

∴S，S-S，S-S成等比數(shù)列，即7，S-7，91-S成等比數(shù)列

∴（S-7）=7（91-S），解得S=28或-21.

很多同學解到這里就選擇了選項D.但實際上該題的正確答案是A.28.

那么同學們明明用了等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)，那為什么還是做出了錯誤的答案呢？教師在實際教學中如何才能有效避免這種情況的發(fā)生。這篇文章旨在通過將課本中對該性質(zhì)的隱性的語言描述轉(zhuǎn)化為具相的等式關系來凸顯該性質(zhì)的實用性，以及在解題中的有效性。

首先我們借助數(shù)列的前n項和的定義以及等比數(shù)列中任意兩項間的關系：，可以推導出這樣一個等式：

我們把上式記為（*）式. 這是一個對q=1和q≠1均成立的式子。

當m=n時，（*）式可化為，

即得……①;

當m=2n時，（*）式可化為，

結合①式，可得……②

以此類推，當q≠-1時，

;;……

綜上：對于等比數(shù)列{a}，當q≠-1時，其前n項和滿足：

（1）;

（2）仍成等比數(shù)列，公比是q;

且有：;.

下面我們應用上面推得的等式來求解【典例】，具體過程如下：

解：由題意易知，等比數(shù)列{a}的公比q≠-1.

∵，∴q+q=12，解得∴q=3（q=-4舍）

（解法一）∴.

（解法二），∴91=7+3S，解得S=28.

事實證明，我們推得的等式具有非常好的實戰(zhàn)效果.下面請大家試著解決以下問題：

（1）設等比數(shù)列{a}的前n項和為S，若，則等于 （ ）

A.2 B. C. D.3

（2）如果一個等比數(shù)列的前5項的和等于10，前10項的和等于50，那么這個數(shù)列前15項的和等于多少？

在等差數(shù)列中應用類似的推導方法，我們可以推導出等差數(shù)列的前n項和S滿足：.有興趣的讀者可以推導一下.

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