李京華

排列、組合是高中數(shù)學中的重要知識，也是高考的必考內(nèi)容.排列組合問題對同學們的抽象思維和推理分析能力有較高的要求.在解答這類問題的過程中，我們很容易“遺漏”或者“重復”一些排列順序，由于答案涉及的情況比較多，很難進行檢驗，所以這類題目是比較容易丟分的題目.對此，筆者對解答排列組合問題的手段進行了分析和歸納.

一、特殊元素法

若題目中對某些元素或位置有特殊的要求，則需采用特殊元素法，先討論這些特殊元素的位置，將其順序安排好，再分析其他沒有特殊要求的元素，最后運用分步計數(shù)原理求得問題的答案.

例1.將10顆玻璃珠和10個紙盒分別用數(shù)字1，2，3，4， ， 10標記好，在每個紙盒中放入一個玻璃珠，那么剛好有3 個玻璃珠的號碼和其所在紙盒的號碼不同的情況有多少種？

解析：題目的特殊元素為與所在紙盒的號碼不同的3 個玻璃珠.需采用特殊元素法求解，先將這3個玻璃珠優(yōu)先安排，再排其他的玻璃珠的位置.

解：從10 個紙盒中挑選出3 個，有C310 種挑法，再將與這3 個紙盒的號碼不相同的玻璃珠放進去，假設所選的紙盒為1號，2 號，3 號，如圖所示，1號玻璃珠只能放進2、3號紙盒里面，有2 種放法;而剩下的2 、3號玻璃珠只能有一種放法，因此，一共有：C310 ×2×1=240 種可能的情況

二、插空法

有些題目要求某些元素不相鄰，則需采用插空法進行求解.運用插空法解題，需先安排其他元素的位置和排列順序，然后確定這些元素之間的空隙的個數(shù)（根據(jù)實際情況確定是否要考慮兩端的位置），再將要求不相鄰的元素插入空隙中，最后根據(jù)分步計數(shù)原理求解.

例2.街道的一側(cè)放有紅色、黃色、藍色、綠色的4個垃圾桶和3個黑色垃圾桶（垃圾桶大小一致），要求相鄰垃圾桶的顏色不同，則一共有多少種放法？

解析：由“相鄰垃圾桶的顏色不同”可知本題為不相鄰問題，需采用插空法求解，先將紅色、黃色、藍色、綠色的垃圾桶的順序排列好，再將黑色的垃圾桶插入其間隙中，就能保證相鄰垃圾桶的顏色不相同.

解：先將紅色、黃色、藍色、綠色的4個垃圾桶排列，有A44=24種放法;

這4個垃圾桶中間一共有3個空隙，將3個黑色垃圾桶插入3個空隙和兩端的位置，有C35 =10 種放法.因此，一共有A44C35 =240 種放法.

三、先選后排法

有些排列組合問題較為復雜，在解題時可以考慮采用先選后排法求解，先將某些元素選出，再對元素的順序和位置進行排列.解答此類問題需靈活運用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理.在解題時，不僅需要明確哪些元素屬于同一類，哪些元素需要作分類處理，在選出元素后需不需要分類進行討論，還要明確完成一件事情需要分多少個步驟，再逐步進行討論.

例3.用0，1，2，3，4這五個數(shù)字，可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)？

（1）比21034大的偶數(shù);

（2）左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù).

問題（1）中要求所組成的數(shù)是比21034大的偶數(shù)，因此需先選出末尾數(shù)字，以便確保組成的數(shù)字為偶數(shù)，再選擇首位、千位、百位、十位上的數(shù)字;問題（2）中要求所組成的數(shù)從左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù)，就需先選出末尾數(shù)字，再選擇第二、四位上的數(shù)字，最后再排列其他位置上的數(shù)字.

總之，無論運用哪種方法解題，我們都需挖掘問題的本質(zhì)，明確問題中的元素是否有特殊要求、是否要求相鄰、是否要分類、事件是否要分步完成，然后靈活運用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理進行求解.

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