徐校會(huì)

(滁州城市職業(yè)學(xué)院 教育系，安徽 滁州 239000)

0 引言

近年來(lái)，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在自然科學(xué)與社會(huì)科學(xué)的許多學(xué)科中，例如動(dòng)力學(xué)、生物遺傳工程、控制論和醫(yī)學(xué)等，提出了大量新的泛函微分方程問(wèn)題，急需用相關(guān)的數(shù)學(xué)理論去解決[1-3].雖然很多學(xué)者對(duì)泛函微分方程邊值問(wèn)題的可解性理論作了很多工作，也取得了一些成果，但由于大部分研究不考慮方程問(wèn)題邊值問(wèn)題的振動(dòng)準(zhǔn)則[4,5]，導(dǎo)致對(duì)于中立型雙曲泛函微分方程邊值問(wèn)題的可解性研究難以取得進(jìn)一步突破[6]，為了解決該問(wèn)題，在應(yīng)用意義和數(shù)學(xué)理論上，需要在意義更寬廣的條件下研究非線性中立型雙曲泛微分函數(shù)方程[7-9].

本文對(duì)中立型雙曲泛函數(shù)微分方程邊值問(wèn)題的可解性進(jìn)行分析[10,11]，分別從兩個(gè)方向進(jìn)行分析.一方面以振動(dòng)準(zhǔn)則為基礎(chǔ)，分析該方程邊值問(wèn)題的可解性[12]；另一方面去除振動(dòng)準(zhǔn)則的情況下研究該方程邊值問(wèn)題的周期解.

1 振動(dòng)準(zhǔn)則下的周期解分析

(1)

(Ai)

其中，Z表示?Ω上的單位外法向量，e(x,t)∈D(?Ω,R+)

給出以下條件：

(F1)fj(w)∈D(R,R),wfi(w)>0對(duì)w≠0，且在(0,+∞)內(nèi)fi(w)是凸函數(shù)，j∈J;

(F2)τj是非負(fù)常數(shù)，0<τj<τ，且?j(t)，λk(t)∈D(R+,R+)有界，i∈I,j∈J,k∈K.

引理1假設(shè)條件(F1)～(F2)成立，若w(x,t)是邊值問(wèn)題(Ai)(i=1,2,3)在Ω×[T,+∞)(T≥0)的一個(gè)正解，則微分不等式為：

(2)

1.1 超線性情形

則邊值問(wèn)題(1)～(A)有一個(gè)有界的最終正解.

則AD區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)有界閉凸集[18]，用S表示.再定義如下算子T：S→AD：

(3)

其中T=t0+λ，對(duì)t≥T

(4)

(5)

則

(6)

因此，S上存在一個(gè)壓縮算子T.由壓縮映象原理得[19]，T在S上有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)U*=U*(t).則：

(7)

易知U*(t)是方程(8)的一個(gè)有界最終正解：

(8)

其式(8)中ΔU*(t)=0，ΔU*(t-λk(t))=0，通過(guò)式(8)得：

(9)

1.2 次線性情形

定理2(D3)fj(w)(?j∈J)是增函數(shù)；

(10)

再選擇整數(shù)n>0滿足nτ≥λ，(n+1)τ

定義如下函數(shù)：

(11)

(12)

否則，存在t1∈(t0,∞)使得下列兩種情形成立.

若(V1)成立，通過(guò)式(11)和(12)，知：

(13)

式(13)矛盾，則(V1)不成立,如果(V2)成立，則

(14)

式(14)也矛盾，因此(V2)不成立，因此(12)式成立，易知U(t)滿足方程：

(15)

注意到ΔU(t)=0和ΔU(t-λk(t))=0，通過(guò)(15)式得：

(16)

2 去除振動(dòng)準(zhǔn)則的周期解分析

對(duì)于中立型雙曲泛函微分方程邊值問(wèn)題的研究，通常情況下利用特征值問(wèn)題研究振動(dòng)準(zhǔn)則下的周期解情況比較多[21-23]，而去除振動(dòng)準(zhǔn)則情況下的中立型雙曲泛函微分方程并未發(fā)現(xiàn)研究[24].本文研究去除振動(dòng)準(zhǔn)則情況下的中立型雙曲泛函微分方程邊值問(wèn)題的可解性分析[25].

另一方面去除振動(dòng)準(zhǔn)則的情況下研究方程(1)邊值問(wèn)題的周期解[26]，簡(jiǎn)化該二階中立型泛函微分方程為：

w″(t)=dw″(t-δ)+b(t)w(t)=μf(t,w(t-τ(t)))

(17)

研究該方程的周期正解，參數(shù)和常數(shù)分別是μ>0和d，δ且|d|<0.采用錐拉伸壓縮理論和一些分析方法[27]，分析了該方程周期正解.

為了使方程(17)的解更簡(jiǎn)便，做出如下假設(shè)：

(F3)b(t)∈D(R,(0,+∞))，τ(t)∈D(R,R)，f∈D(R×[0,∞),[0,∞))，f(t,w)>0，(w>0)，R=(-∞,+∞)；

為了方便描述，給出以下定義和引理.

2.1 幾個(gè)引理

針對(duì)重要定理，將其中比較容易證明的引理給出了結(jié)論.

令X={x|x∈D(R,R),x(t+ω)=x(t),t∈R}.若x∈X，定義‖x‖=max{|x(t)|：t∈[0,ω]}，則X屬于一個(gè)Banach空間.

y″(t)+b(t)(B-1y)(t)=μf(t,(B-1y)(t-τ(t))).

(18)

引理2y(t)是式(18)的解，當(dāng)(B-1y)(t)是方程(17)的解時(shí)，將方程(17)改寫(xiě)成：

(19)

其中，E(y(t))=y(t)-(B-1y)(t)=-c(B-1y)(t-δ).

1)若η>0，使得f(t,(B-1y)(t-τ(t)))≥η(B-1y)(t-τ(t))，(t∈[0,ω),y∈K)，則

2)若∈>0，使得f(t,(B-1y)(t-τ(t)))≤∈(B-1y)(t-τ(t))，(t∈[0,ω),y∈K)，則

(20)

2.2 主要結(jié)果分析

‖Pμy‖≥μC1ωn(r1)>‖y‖,(?y∈?Ωr1,μ>μ0)

(21)

(22)

(23)

且Ωr1?Ωr3.通過(guò)Krasnoselskii錐拉伸錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理得知，y是Pμ在Ωr3/Ωr1的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)μ>μ0時(shí)，(B-1y)(t)是方程(23)的正ω-周期解.

(24)

(25)

(26)

通過(guò)式(26)可知，Ωr3?Ωr1.則Pμ在Pr1/Pr2最少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y，當(dāng)0<μ<μ0時(shí)，(B-1y)(t)是方程(17)的ω-周期解.

(27)