王永超

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130000)

0 引言

奇異攝動(dòng)系統(tǒng)控制理論能夠更加準(zhǔn)確地對(duì)客觀實(shí)際建模[1-2]，但時(shí)滯系統(tǒng)的控制問題是一大理論難題，不確定性的存在往往使得控制系統(tǒng)失穩(wěn)失衡，文獻(xiàn)[3-6]討論了H∞控制問題，但具有較大的保守性，因而研究時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)不確定系統(tǒng)的H∞控制問題具有極其廣泛的理論空間和應(yīng)用價(jià)值.

1 預(yù)備知識(shí)

對(duì)于矩陣X，用sym(·)表示X+XT，*表示矩陣中的對(duì)稱部分轉(zhuǎn)置，diag{·}表示對(duì)角矩陣.

考慮如下時(shí)變時(shí)滯奇異攝動(dòng)不確定系統(tǒng)[7]:

(1)

(2)

其中，τ，μ是已知的實(shí)常數(shù)；φ(t)是連續(xù)向量初始值函數(shù).F(t)∈Ri×j是具有勒貝格(Lebesgue)可測(cè)元的適當(dāng)維數(shù)的不確定實(shí)矩陣，其不確定性滿足范數(shù)有界條件:FΤ(t)F(t)≤I

(3)

欲設(shè)計(jì)系統(tǒng)(1)的輸出反饋H∞控制器如下:

u(t)=Ky(t)

(4)

其中，K是待定的適當(dāng)維數(shù)的控制器增益矩陣.

進(jìn)而系統(tǒng)(1)與無記憶輸出反饋H∞控制器 (4)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)為:

(5)

對(duì)給定的標(biāo)量γ>0，針對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)(5)，若滿足如下條件:

1)閉環(huán)系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的.

2)在零初始條件下，?ω∈L2[0，∞)，‖y‖2≤γ‖ω‖2.則滿足以上條件的控制器(4)就成為系統(tǒng)(1)的無記憶輸出反饋H∞控制器.

引理3[10]對(duì)于適當(dāng)維數(shù)的矩陣E，D，對(duì)稱矩陣Y，不確定性矩陣F(t)滿足FT(t)F(t)≤I，則

Y+EF(t)D+DTFT(t)ET<0

的充要條件是:存在正常數(shù)η>0，使得Y+ηEET+η-1DTD<0.

1)S<0 ;

2 主要內(nèi)容

Z1>0

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

則閉環(huán)系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的，在零初始條件下，?ω∈L2[0，∞)，滿足‖y‖2≤γ‖ω‖2.

證明 不妨假設(shè)ω(t)=0，定義如下 Lyapunov-Krasovskii 泛函：

其中Q是待定的對(duì)稱正定矩陣，即Q>0.

由于

E(ε)Z(ε)=(E(ε)Z(ε))T=ZT(ε)E(ε)，

則

Z-T(ε)E(ε)Z(ε)=Z-T(ε)ZT(ε)E(ε)=E(ε)，

故

Z-T(ε)E(ε)=E(ε)Z-1(ε)，

沿閉環(huán)系統(tǒng)(3)的任意軌跡進(jìn)行微分，得

其中

xΤ(t)Z-T(ε)QZ-1(ε)x(t)-(1-μ)xΤ(t-d(t))Z-T(ε)QZ-1(ε)x(t-d(t))

由引理5可知，存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣P，對(duì)稱陣N，R，得

由以上不等式可得

其中

H(ε)<0

故

即閉環(huán)系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的.

其次證明?ω∈L2[0，∞) ，滿足‖y‖2≤γ‖ω‖2.

在零初始條件下，當(dāng)ω(t)≠0考慮

選取如下Lyapunov泛函:

其中Q為適當(dāng)維數(shù)的對(duì)稱正定矩陣，即Q>0.

在零初始條件下，V(x(t))>0時(shí)，則推出

由于

其中

故

其中

(12)

由式(11)可推知

J<0

即

‖y‖2≤γ‖ω‖2.

證畢.

對(duì)矩陣不等式(12)左乘對(duì)角矩陣diag{ZT(ε)，ZT(ε)，I}，右乘其轉(zhuǎn)置，得到:

于是由引理3，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)標(biāo)量λ>0，滿足

利用Schur補(bǔ)引理，得:

(13)

定義

令

那么矩陣不等式(13)變?yōu)?/p>

(14)

則u(t)=Ky(t)式系統(tǒng)(1)的輸出反饋H∞控制器，其中

即得到定理2.

則u(t)=Ky(t)式系統(tǒng)(1)的輸出反饋H∞控制器，其中

3 結(jié)論

本文針對(duì)同時(shí)含有時(shí)變時(shí)滯和不確定性的奇異攝動(dòng)控制系統(tǒng)的H∞控制問題進(jìn)行了研究，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)腖yapunov 泛函，結(jié)合交叉項(xiàng)界定法，Schur補(bǔ)引理和線性矩陣不等式等方法，給出了無記憶輸出反饋H∞控制器的設(shè)計(jì)方法，并降低了所得結(jié)果的保守性.