王 耀 劉 娟 吳春楊， 胥民堯

**(鹽城工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程學(xué)院， 江蘇鹽城224005)

?(北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院， 北京100124)

再生混凝土是利用再生骨料部分或全部替代天然骨料拌制的混凝土，可再次應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)或者市政工程，實(shí)現(xiàn)資源的可持續(xù)利用，同時(shí)可有效解決廢棄建筑垃圾造成的環(huán)境污染及資源浪費(fèi)等問題，實(shí)現(xiàn)建筑垃圾的重復(fù)利用。雖然再生混凝土的力學(xué)性能低于普通混凝土，但研究證明，其仍然有應(yīng)用于建筑結(jié)構(gòu)的價(jià)值[1]。

基于斷裂理論，材料力學(xué)研究分為宏觀、細(xì)觀、微觀及納觀四個(gè)層次[2]。宏觀層次上，再生混凝土的非均質(zhì)性較普通混凝土更為復(fù)雜，通常被認(rèn)為由再生粗骨料、新硬化水泥砂漿、老硬化水泥砂漿、老粘結(jié)帶、新粘結(jié)帶五相材料組成。各國(guó)學(xué)者對(duì)再生混凝土的基本力學(xué)性能或鋼組合構(gòu)件性能進(jìn)行了大量研究，取得了豐富的成果[3-6]。但由于材料來源不確定性、骨料形狀及宏觀試驗(yàn)環(huán)境等隨機(jī)因素的影響，針對(duì)同一問題，不同學(xué)者基于不同試驗(yàn)?zāi)康慕Y(jié)論離散程度較高[1]?；诩?xì)觀層次理論的混凝土數(shù)值模擬方法，可以有效避免宏觀試驗(yàn)各因素的不利影響，同時(shí)可彌補(bǔ)宏觀試驗(yàn)時(shí)觀察混凝土內(nèi)部微裂紋開展及演變過程較為困難的不足，為混凝土等材料性能的研究提供了新思路。

基于數(shù)值混凝土的概念[2]，細(xì)觀模型的提出及發(fā)展為混凝土力學(xué)性能的數(shù)值模擬研究提供了理論基礎(chǔ)，較成熟的有隨機(jī)顆粒模型[7]、微平面模型[8]、微觀模型[9]、格點(diǎn)模型[10]及束粒子模型[11]。Xiao等[12-13]通過規(guī)則分布的圓形骨料模型研究再生混凝土材料的力學(xué)性能。研究發(fā)現(xiàn)內(nèi)部微裂紋首先出現(xiàn)在粘結(jié)帶區(qū)域，且粘結(jié)帶區(qū)域存在拉伸應(yīng)力及剪切應(yīng)力集中現(xiàn)象，并研究了各項(xiàng)材料對(duì)應(yīng)力集中程度的影響。Jayasuriya 等[14]通過建立老砂漿含量為2%，10%，20% 及50% 的細(xì)觀數(shù)值模型，研究老砂漿含量對(duì)再生混凝土力學(xué)性能的研究。數(shù)值模擬結(jié)果表明隨著老砂漿含量的遞增，再生混凝土彈性模量及抗壓強(qiáng)度逐漸遞減，而極限壓應(yīng)變逐漸遞增。Wang等[15]和Peng 等[16-17]通過再生骨料含量100% 的圓形隨機(jī)骨料模型研究了再生混凝土的單軸拉伸強(qiáng)度及單軸壓縮強(qiáng)度。研究表明再生混凝土的強(qiáng)度低于普通混凝土，且內(nèi)部微裂紋首先出現(xiàn)在老粘結(jié)帶。

本文基于勢(shì)能原理的基面力元法[18-19]，以單元邊界長(zhǎng)度與單元的外法向量的乘積為基本元素，通過利用連續(xù)介質(zhì)學(xué)理論推導(dǎo)四邊形單元應(yīng)變及剛度矩陣顯式表達(dá)式，可解決ANSYS，ABAQUS 等常規(guī)有限元軟件需要構(gòu)造位移插值函數(shù)及借助高斯積分才能求解剛度矩陣等限制，適用于任意坐標(biāo)系任意平面及空間單元靜力及動(dòng)力分析[20-21]。

本文根據(jù)再生混凝土的細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征，建立五種不同再生骨料取代率(0%，30%，50%，70%及100%)的二維圓形及任意凸多邊形隨機(jī)骨料模型，基于基面力元法研究單軸載荷作用時(shí)混凝土內(nèi)部微裂紋的演變過程、斷面破壞形態(tài)與再生骨料取代率、分布及形狀的關(guān)系。

1 基面力

對(duì)于任意二維彈性體區(qū)域，P 和Q 表示物質(zhì)點(diǎn)變形前和變形后的徑矢。xα(α=1，2) 為物質(zhì)點(diǎn)Lagrange 坐標(biāo)，物質(zhì)點(diǎn)位移為

物質(zhì)點(diǎn)變形前和變形后的坐標(biāo)標(biāo)架分別為

物質(zhì)點(diǎn)位移梯度為

假定物質(zhì)點(diǎn)為小變形，Green 應(yīng)變張量ε 為

如圖1 所示，為描述Q 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，在向量dxQ1，dxQ2上作四邊形微元，dT1， dT2表示對(duì)應(yīng)邊上的力，約定：2+1=1，1-1=2。則定義

圖1 基面力

則Tα(α = 1，2) 為L(zhǎng)agrange 坐標(biāo)系xα(α =1，2) 中Q 點(diǎn)的基面力。

基于“基面力” 概念，Cauchy 應(yīng)力張量可通過式(6) 表達(dá)

則基面力可以表示為

式中，ρ 和ρ0為物質(zhì)點(diǎn)變形前后的物質(zhì)密度，W 為物質(zhì)點(diǎn)應(yīng)變能密度。

由式(7) 可知，位移梯度uα為基面力Tα的共軛變量。因此，由uα與Tα可以描述所有力學(xué)問題。

2 四邊形基面力模型

假定任意xα(α=1，2)坐標(biāo)系中，任意一個(gè)考慮邊界位移協(xié)調(diào)問題的四邊形單元，I，J，K，L 表示單元節(jié)點(diǎn)編碼，uI，uJ，uK，uL表示單元節(jié)點(diǎn)位移，如圖2 所示。

2.1 單元應(yīng)變

假定四邊形單元為小變形，則單元平均應(yīng)變?yōu)?/p>

式中，A 為四邊形單元面積。

圖2 四邊形單元

將Green 應(yīng)變張量ε 代入單元平均應(yīng)變，則單元平均應(yīng)變?yōu)?/p>

根據(jù)Gauss 定理，單元平均應(yīng)變可表示為

式中，S 為四邊形單元邊界，n 為外法線矢量。

當(dāng)四邊形單元面積足夠小時(shí)，單元平均應(yīng)變可表示為

式中，Li(i=1，2，3，4) 為邊界長(zhǎng)度，ni(i=1，2，3，4)為邊界線外法線向量，ui(i=1，2，3，4) 為邊界線幾何中心點(diǎn)位移向量。

假定變形過程中，邊界線始終保持直線狀態(tài)，則邊界線幾何中心點(diǎn)的位移向量ui為

式中，uI，uJ表示邊界線節(jié)點(diǎn)I，J 位移向量。單元應(yīng)變可表示為

式中，mI為

式中，LIJ，LIK為邊界長(zhǎng)度；nIJ，nIK為邊界外法線向量。

2.2 單元?jiǎng)偠染仃?/h3>

非均質(zhì)各向同性材料單元應(yīng)變能為

式中，ν為泊松比，E為彈性模量。將單元應(yīng)變代入應(yīng)變能公式(15)，得

式中，mIJ=mI·mJ。則作用在單元I節(jié)點(diǎn)的力為

式中KIJ為由基面力表達(dá)的單元?jiǎng)偠染仃?/p>

3 再生混凝土二維隨機(jī)骨料模型

3.1 骨料顆粒數(shù)

根據(jù)瓦拉文公式[22]，試件內(nèi)骨料粒徑D ＜D0的累積分布概率為

式中，Pc為粒徑小于D0的骨料累積分布概率；Pk為骨料與試件面積比，取0.75；Dmax為最大骨料直徑。

基于瓦拉文級(jí)配曲線，確定100 mm×100 mm，150 mm×150 mm 及300 mm×300 mm 試件內(nèi)隨機(jī)骨料等效粒徑及顆粒數(shù)，如表1 所示。

表1 骨料等效粒徑及骨料顆粒數(shù)

3.2 網(wǎng)格映射

根據(jù)瓦拉文公式獲得各粒徑骨料顆粒數(shù)后，建立骨料儲(chǔ)存庫(kù)，通過逐粒提取、逐粒投放方法將骨料庫(kù)內(nèi)的骨料投放到指定斷面內(nèi)，建立隨機(jī)骨料分布模型。隨后，建立四邊形背景網(wǎng)格，并映射到隨機(jī)骨料分布模型。根據(jù)四邊形節(jié)點(diǎn)與骨料圓心或形心的相對(duì)位置判別該四邊形的屬性，判別規(guī)則及步驟如下：

(1) 所有單元屬性賦值為新砂漿單元；

(2)四邊形的四個(gè)節(jié)點(diǎn)全部位于骨料內(nèi)部，則該單元為骨料；

(3)剩余的新砂漿單元中，若四邊形的四個(gè)節(jié)點(diǎn)中至少存在1 個(gè)節(jié)點(diǎn)，且至多存在3 個(gè)節(jié)點(diǎn)位于骨料內(nèi)部，則該單元為老粘結(jié)帶；

(4)剩余的新砂漿單元中，若四邊形的四個(gè)節(jié)點(diǎn)全部位于附著砂漿內(nèi)部，則該單元為附著砂漿單元；

(5)剩余的新砂漿單元中，若四邊形的四個(gè)節(jié)點(diǎn)至少存在1 個(gè)節(jié)點(diǎn)，且至多存在3 個(gè)節(jié)點(diǎn)位于附著砂漿內(nèi)部，則該單元為新粘結(jié)帶單元。

以取代率為50% 的凸多邊形骨料模型為例，網(wǎng)格映射過程如圖3 所示。

再生混凝土有限元模型中各項(xiàng)介質(zhì)的分布如圖4 所示。圖4 清晰地描述再生混凝土有限元模型中各項(xiàng)介質(zhì)的分布，表明本文采用的骨料投放技術(shù)及網(wǎng)格映射技術(shù)可以用來建立和表征再生混凝土內(nèi)部復(fù)雜的非均質(zhì)復(fù)合材料的特性。

圖3 網(wǎng)格映射方法

圖3 網(wǎng)格映射方法(續(xù))

圖4 介質(zhì)分布圖

3.3 圓形隨機(jī)骨料模型

基于蒙特卡洛隨機(jī)算法，生成兩個(gè)偽隨機(jī)數(shù)Rn，En(0 ＜Rn，En＜1) 確定骨料圓心坐標(biāo)(xn，yn)。

通過Fortran 語(yǔ)言編寫的二維圓形隨機(jī)骨料生成軟件，生成100 mm×100 mm，150 mm×150 mm及300 mm×300 mm 的再生混凝土細(xì)觀模型，如圖5 所示。

3.4 凸多邊形隨機(jī)骨料模型

基于圓形隨機(jī)骨料模型，根據(jù)最小基框架長(zhǎng)度限定條件及面積等值規(guī)則，在圓形骨料圓周上生成基框架并向外部延伸，建立任意凸多邊形隨機(jī)骨料模型。

為避免基框架延伸后形成凹型骨料， 基框架延伸點(diǎn) Pj(x，y) 與延伸直徑兩節(jié)點(diǎn) Ai(xi，yi)，Ai+1(xi+1，yi+1) 組成三角形PjAiAi+1的面積應(yīng)滿足SPj＜0。

為避免新骨料侵入已投放骨料，基框架延伸點(diǎn)Pj(x，y) 與延伸直徑相鄰基框架節(jié)點(diǎn)組成的三角形PjAi-1Ai、PjAi+1Ai+2的面積應(yīng)滿足SPj＞0。

為避免骨料相互侵入，運(yùn)用式(21) 對(duì)新插入延伸點(diǎn) Pj(x，y) 與已投放凸多邊形骨料各邊組成的三角形面積進(jìn)行判斷，至少存在一個(gè)三角形面積PjAnAn+1＜0。

通過Fortran 語(yǔ)言編寫的二維任意凸多邊形隨機(jī)骨料生成軟件，生成100 mm × 100 mm，150 mm× 150 mm 及300 mm×300 mm 的再生混凝土細(xì)觀模型，如圖6 所示。

圖6 二維凸形隨機(jī)骨料模型

3.5 不同取代率隨機(jī)骨料模型

根據(jù)150 mm×150 mm 再生混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)特征，建立骨料取代率為0%，25%，50%，70%及100%的二維圓形及任意凸多邊形隨機(jī)骨料模型，如圖7所示。

4 再生混凝土單軸受壓數(shù)值模擬

4.1 材料損傷模型

細(xì)觀數(shù)值模擬過程中，材料的損傷本構(gòu)模型對(duì)材料的載荷響應(yīng)行為具有重要的影響。作為非均質(zhì)復(fù)合材料，沒有統(tǒng)一且特定的損傷本構(gòu)模型來描述再生混凝土在載荷作用下的損傷行為?；谠囼?yàn)及理論研究，彈塑性模型[23]、非均勻強(qiáng)化塑性模型[24]、塑性模型[25]、塑性斷裂模型[26]、Ottosen 模型[27]、Darwin-Pecknold 模型[28]、Stankow-Gerstle 模型[29]及過-徐模型[30]等一系列數(shù)學(xué)模型被提出以描述混凝土的細(xì)觀力學(xué)行為。本文基于最大拉應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則，通過多折線損傷模型[20]表征五相介質(zhì)在位移載荷作用下的力學(xué)行為，如圖8 所示。

圖7 不同再生骨料取代率模型

圖7 不同再生骨料取代率模型(續(xù))

圖8 多折線損傷本構(gòu)模型

材料的彈性模量為

式中，E為當(dāng)前狀態(tài)下的彈性模量，E0為初始彈性模量，D為材料損傷因子，表達(dá)式為

式中，εt0為峰值應(yīng)變；ft為抗拉強(qiáng)度；λ，η，ξ分別為彈性應(yīng)變、殘余應(yīng)變及極限應(yīng)變系數(shù)；α為強(qiáng)度系數(shù)，如表2 所示。

細(xì)觀層次上，再生混凝土的結(jié)構(gòu)特征可通過五相介質(zhì)描述。因此，其力學(xué)性能受到五相介質(zhì)基本力學(xué)參數(shù)的影響。Xiao 等[13]研究發(fā)現(xiàn)，骨料的彈性模量介于40～100 GPa，新砂漿及附著砂漿彈性模型介于17.5～40 GPa，新舊粘結(jié)帶的彈性模量介于9.2～25.0 GPa。同時(shí)，試驗(yàn)表明[13，31-33]，新粘結(jié)帶及舊粘結(jié)帶的彈性模量為新砂漿及附著砂漿彈性模量的50%～80%。而粘結(jié)帶作為骨料與砂漿之間的薄弱傳力層，力學(xué)性能及粘結(jié)性能較差，因此本文取50%。結(jié)合文獻(xiàn)[13， 31-33]，本文數(shù)值模擬時(shí)，五相介質(zhì)的力學(xué)參數(shù)取值如表2 所示。

4.2 內(nèi)部破壞裂紋

為了研究載荷作用下，試件內(nèi)部裂紋的萌生及延伸，本文建立試件尺寸為150 mm×150 mm 的隨機(jī)骨料模型，將圓形及任意凸多邊形隨機(jī)骨料模型映射到四邊形網(wǎng)格背景，單元尺寸為1.0 mm，運(yùn)用基于基面力概念不同取代率的再生混凝土損傷程序，采用位移控制模式進(jìn)行單軸加載，步長(zhǎng)為0.005 mm/步。

圓形隨機(jī)骨料斷面內(nèi)微裂紋產(chǎn)生及延伸過程如圖9 所示?？梢钥闯?，圓形隨機(jī)骨料模型在加載過程中，內(nèi)部微裂紋首先出現(xiàn)在粘結(jié)帶區(qū)域，且裂紋較離散。隨著位移載荷逐漸增加，新老粘結(jié)帶裂紋之間的老砂漿應(yīng)力增大，隨后發(fā)生破壞，在骨料周圍形成局部破壞裂縫，此時(shí)試件達(dá)到峰值應(yīng)力。載荷繼續(xù)增加，骨料之間的新砂漿應(yīng)力逐漸增大，隨后發(fā)生破壞，骨料之間形成斜向45°的連續(xù)破壞裂縫。

表2 材料基本參數(shù)

圖9 不同取代率的圓形再生混凝土單軸壓縮裂縫開展過程

隨著再生骨料取代率的增加，內(nèi)部微裂紋的首次出現(xiàn)位置逐漸由新粘結(jié)帶向舊粘結(jié)帶轉(zhuǎn)移。當(dāng)再生骨料取代率低于50% 時(shí)，試件內(nèi)部沿斜向45°形成1 ～2 條連續(xù)破壞裂縫，且裂縫寬度較小。當(dāng)再生骨料取代率超過50% 時(shí)，試件內(nèi)部沿雙向45°形成多條V 型連續(xù)破壞裂縫，且裂縫寬度逐漸增加。

骨料密集區(qū)域新砂漿含量低于其他區(qū)域，骨料周圍形成局部破壞裂縫后，骨料之間傳遞應(yīng)力的新砂漿含量較少，局部應(yīng)力遠(yuǎn)高于其他區(qū)域，因此試件內(nèi)部連續(xù)破壞裂縫主要集中在骨料密集區(qū)域。隨著骨料取代率的增加，斷面內(nèi)薄弱區(qū)域增多，連續(xù)破壞裂縫向再生骨料密集區(qū)域過渡，且裂縫路徑容易受到骨料分布的影響。

任意凸多邊形隨機(jī)骨料試件內(nèi)部微裂紋產(chǎn)生及延伸過程如圖10 所示?？梢钥闯觯我馔剐碗S機(jī)骨料模型在加載過程中，內(nèi)部微裂紋首先出現(xiàn)位置、骨料周圍局部裂縫與圓形隨機(jī)骨料模型類似。但是加載過程中任意凸型骨料尖端位置存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，因此局部裂縫首先沿骨料各邊發(fā)展，隨后與其他骨料的局部裂縫貫通形成連續(xù)破壞裂縫。由于受到骨料形狀的影響，試件內(nèi)部局部裂縫更離散，連續(xù)破壞裂縫數(shù)量多于圓形隨機(jī)骨料模型。

4.3 單軸抗壓強(qiáng)度

試件尺寸為100 mm 及150 mm 的圓形骨料及任意凸型骨料再生混凝土單軸抗壓強(qiáng)度如表3 所示。

圖10 不同取代率的凸型再生混凝土單軸壓縮裂縫開展過程

表3 不同取代率再生混凝土單軸抗壓強(qiáng)度(單位：MPa)

由表3 可知，隨著再生骨料取代率的增加，再生混凝土的峰值應(yīng)力逐漸遞減。當(dāng)再生骨料取代率低于50% 時(shí)，峰值應(yīng)力下降速率較大，當(dāng)再生骨料取代率超過50% 時(shí)，再生混凝土抗壓強(qiáng)度下降速率逐漸減小，最終趨于穩(wěn)定。由于凸型骨料內(nèi)部較圓形骨料內(nèi)部分布更多的離散裂縫，儲(chǔ)存了更多的應(yīng)變能，因此凸型骨料再生混凝土強(qiáng)度略高于普通混凝土。

4.4 網(wǎng)格尺寸的影響

基于勢(shì)能原理的位移有限元法，在計(jì)算內(nèi)部各點(diǎn)的位移時(shí)，需要構(gòu)造單元的位移插值函數(shù)，位移插值函數(shù)雖然是連續(xù)的，但卻是近似的。通過位移插值函數(shù)用有限自由度來描述具有無(wú)限自由度的體系，從而限制了單元的變形，其獲得的位移近似解要小于精確解。同時(shí)，勢(shì)能原理位移有限元的計(jì)算精度受到單元網(wǎng)格尺寸的影響，單元尺寸越小，位移的近似解越收斂于精確解。多數(shù)學(xué)者在進(jìn)行混凝土材料的數(shù)值模擬時(shí)，單元尺寸通常選取為0.5～2.0 mm[14-16，20，34-35]。為了研究基于基面力概念的勢(shì)能有限元方法對(duì)網(wǎng)格尺寸的依賴性，本文借助凸型骨料模型研究有限元網(wǎng)格大小對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，試件尺寸為100 mm×100 mm，以再生取代率為50% 為例，單元網(wǎng)格尺寸由2.0 mm 逐漸減小到0.5 mm，數(shù)值模擬結(jié)果如表4 所示。

表4 網(wǎng)格尺寸對(duì)抗壓強(qiáng)度的影響

由表4 可知，隨著單元網(wǎng)格尺寸由2.0 mm 逐漸降低至0.5 mm，抗壓強(qiáng)度略微增加，但增幅較小，可以忽略。結(jié)果表明，單軸壓縮載荷作用下，基于基面力元法的再生混凝土數(shù)值模擬對(duì)網(wǎng)格的依賴性較小。

5 結(jié)論

本文基于基面力概念及基面力元法，建立適用任意坐標(biāo)系、任意形狀的四邊形單元?jiǎng)菽芑媪υＰ?，基于“瓦拉文公式?及“蒙特卡洛隨機(jī)抽樣算法” 建立0%，30%，50%，70% 及100% 的二維圓形及任意凸多邊形隨機(jī)骨料模型，通過位移控制模式模擬單軸壓縮試驗(yàn)，研究?jī)?nèi)部裂紋的萌生、擴(kuò)展及基面力對(duì)單元網(wǎng)格尺寸的依賴性，結(jié)論如下：

(1)基于勢(shì)能原理的基面力元法表達(dá)的剛度矩陣及節(jié)點(diǎn)位移具有顯式的表達(dá)形式，求解過程中無(wú)需高斯積分且無(wú)精度損傷，具有精度高、計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)。在數(shù)值模擬過程中，網(wǎng)格尺寸對(duì)數(shù)值模擬結(jié)果的影響可以忽略不計(jì)，表明基面力元模型對(duì)網(wǎng)格尺寸的依賴性較弱。

(2)單軸受壓時(shí)內(nèi)部微裂紋首先出現(xiàn)在新舊粘結(jié)帶位置，裂紋較離散，隨后貫穿新舊砂漿發(fā)展為斜向45°連續(xù)破壞裂縫；再生骨料取代率較低時(shí)，試件內(nèi)部形成1～2 條斜向連續(xù)裂縫，隨著再生骨料取代率的增加，斜向連續(xù)破壞裂縫數(shù)量增多、寬度增加并出現(xiàn)裂縫分叉現(xiàn)象，最終在骨料密集區(qū)域形成多條V型連續(xù)破壞裂縫。

(3) 骨料形狀對(duì)內(nèi)部微裂紋發(fā)展路徑影響較大，圓形骨料模型內(nèi)部微裂紋沿切向方向發(fā)展為與骨料直徑呈垂直狀態(tài)的斜向連續(xù)裂縫；凸型骨料模型內(nèi)部微裂紋沿骨料外輪廓線向骨料尖端發(fā)展為與骨料輪廓線呈平行狀態(tài)的斜向連續(xù)裂縫，試件內(nèi)部裂縫更離散。

(4)當(dāng)再生骨料取代率較低時(shí)，再生混凝土的抗壓強(qiáng)度下降速率較大，隨著取代率的增加，抗壓強(qiáng)度下降速率減小，最終趨于穩(wěn)定。由于凸型骨料較圓形骨料能夠吸收更多的應(yīng)變能，因此凸型骨料再生混凝土強(qiáng)度略高于圓形骨料再生混凝土。