王婷 蔣麗 王霞 董晨鐘 武中文 蔣軍

(西北師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院, 蘭州 730070)

利用相對(duì)論模型勢(shì)方法計(jì)算了Be+離子和Li 原子的波函數(shù)、能級(jí)和振子強(qiáng)度, 進(jìn)一步得到了基態(tài)的電偶極極化率和超極化率, 并詳細(xì)地分析了不同中間態(tài)對(duì)基態(tài)超極化率的貢獻(xiàn).對(duì)于Be+離子, 電偶極極化率和超極化率與已有的理論結(jié)果符合得非常好.對(duì)于Li 原子, 電偶極極化率與已有的理論結(jié)果符合得很好, 但是不同理論方法計(jì)算給出的超極化率差別非常大, 最大的差別超過(guò)了一個(gè)數(shù)量級(jí).通過(guò)分析不同中間態(tài)對(duì)Li 原子基態(tài)超極化率的貢獻(xiàn), 解釋了不同理論結(jié)果之間有較大差異的原因.

1 引 言

當(dāng)原子處在靜電場(chǎng)中時(shí), 靜態(tài)Stark 效應(yīng)導(dǎo)致的能級(jí)移動(dòng)可以表示為[1]

其中 Fz是靜電場(chǎng)沿Z 軸的分量; α1為靜態(tài)電偶極極化率; γ0為靜態(tài)電偶極超極化率.電偶極極化率和超極化率都是描述原子或分子因感受到外電場(chǎng)的作用使電子云偏離正常分布程度的物理量.電偶極極化率在量子信息處理[2?5]、激光冷卻[6,7]、原子鐘[8,9]和洛倫茲不變性測(cè)試[10,11]等很多物理領(lǐng)域都有著十分重要的應(yīng)用, 對(duì)極化率的研究一直是人們感興趣的問(wèn)題.隨著激光囚禁和冷卻技術(shù)的快速發(fā)展, 原子鐘的精度已達(dá)到了10–17到10–19量級(jí)[12?15],原子的超極化率也需要精確確定.Brusch 等[16]、Barber 等[17]以及Westergaard 等[18]分別在實(shí)驗(yàn)上研究了超極化率對(duì)Sr, Yb 和Hg 原子鐘精度的影響, 他們指出魔幻囚禁的Sr, Yb 和Hg 原子鐘實(shí)驗(yàn)中, 超極化率可以產(chǎn)生10–17到10–18不確定度[19?21]; Brewer 等[14]在實(shí)驗(yàn)上研究了超極化率對(duì)Al+量子邏輯鐘精度的影響, 他們?cè)诩す馔瑫r(shí)囚禁Al+和Mg+的實(shí)驗(yàn)中指出超極化率可以產(chǎn)生10–19不確定度.因此, 為了得到高精度的原子鐘,高精度超極化率的理論數(shù)據(jù)是非常關(guān)鍵的原子參數(shù).

目前, 理論上有很多種方法可以用于計(jì)算極化率和超極化率, 例如第一性原理的Hylleraas 基展開方法[22?24]、相對(duì)論多體微擾方法(RMBPT)[25]、耦合簇方法[1]和半經(jīng)驗(yàn)贗勢(shì)方法[26]等.第一性原理的Hylleraas 基展開方法可以非常精確地計(jì)算原子極化率, RMBPT 可以通過(guò)圖解法直接表示出微擾矩陣元, 耦合簇方法不僅考慮了原子實(shí)電子之間的關(guān)聯(lián), 而且也考慮了原子實(shí)電子和價(jià)電子之間的關(guān)聯(lián), 但是第一性原理的Hylleraas 基展開方法主要計(jì)算少電子體系的原子結(jié)構(gòu), 耦合簇方法和RMBPT 方法適用于多電子體系, 計(jì)算過(guò)程十分復(fù)雜.相對(duì)論模型勢(shì)方法[27]用半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛣?shì)處理原子實(shí)和價(jià)電子的關(guān)聯(lián), 用組態(tài)相互作用來(lái)計(jì)算價(jià)電子與價(jià)電子的關(guān)聯(lián), 可以很好地計(jì)算高Z 的單、雙電子體系, 而且也減少了計(jì)算時(shí)間.

Be+離子和Li 原子具有相似的原子結(jié)構(gòu), 其基態(tài)為1s22s2S1/2.精確測(cè)量這兩個(gè)體系的躍遷光譜,可以檢驗(yàn)物理模型和計(jì)算方法的正確性.因此,Be+離子和Li 原子是精密測(cè)量物理非常重要的研究體系[28,29].理論方面, 人們利用不同的理論方法,分別計(jì)算了Be+離子和Li 原子的電偶極極化率和超極化率.盡管Be+離子和Li 原子的基態(tài)相同,但是不同的理論方法對(duì)Be+離子和Li 原子得到的結(jié)論完全不一致.例如: 對(duì)于Be+離子, Safronova等[25]、Tang 等[22?24]和Yin 等[30]分別用相對(duì)論多體微擾的方法、Hylleraas 基展開的變分法和有限場(chǎng)方法(The finite field method)計(jì)算了電偶極極化率和超極化率, 這些結(jié)果相互符合得非常好,最大差別不超過(guò)1%.對(duì)于Li 原子, 不同理論方法[1,26,31?34]計(jì)算的電偶極極化率符合得很好, 但是超極化率相差卻非常大, 如Fuentealba 等用半經(jīng)驗(yàn)贗勢(shì)(Semiempirical pseudopotentials)方法計(jì)算的超極化率為65000 a.u.[26], Kassimi 等[1]用耦合簇方法(Coupled cluster method)計(jì)算的超極化率為1100 a.u., Tang 等[31]用Hylleraas 基展開的變分法計(jì)算的超極化率為3060 a.u., Maroulis等[34]用相對(duì)論多體微擾法計(jì)算的超極化率為4100 a.u., 不同理論方法計(jì)算的超極化率的差別可達(dá)10 倍以上, 超出了目前所給出的超極化率的不確定度[1,31].目前有關(guān)這些差別在理論上還沒有一個(gè)合理的解釋[35], 因此理論上進(jìn)一步詳細(xì)研究Li 原子和類Li 離子的超極化率是必要的.

本文利用相對(duì)論模型勢(shì)方法[27](相對(duì)論組態(tài)相互作用模型勢(shì)方法, RCICP), 計(jì)算了Be+離子和Li 原子的能級(jí)、振子強(qiáng)度等結(jié)構(gòu)參數(shù), 進(jìn)一步計(jì)算了相應(yīng)基態(tài)的電偶極極化率和超極化率, 分析了不同中間態(tài)對(duì)Be+離子和Li 原子基態(tài)超極化率的貢獻(xiàn), 并與現(xiàn)有理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較, 解釋了Li 原子基態(tài)超極化率相差非常大的原因.

2 理論方法

2.1 相對(duì)論模型勢(shì)方法

RCICP 方法的思想是將原子體系簡(jiǎn)化為原子實(shí)部分和價(jià)電子部分.Li 原子是最簡(jiǎn)單的堿金屬原子, 1s 軌道的兩個(gè)電子作為原子實(shí)部分, 剩余的電子是價(jià)電子部分.對(duì)于原子實(shí)部分, 通過(guò)求解Dirac-Fock 方程得到基態(tài)的軌道波函數(shù).原子實(shí)內(nèi)的單電子波函數(shù)可以寫為

其中 κ 是相對(duì)論角量子數(shù), 與總角動(dòng)量量子數(shù) j 和軌道角動(dòng)量量子數(shù) l 密切相關(guān), 其表達(dá)式為

Pnκ(r) 和 Qnκ(r) 分別代表徑向波函數(shù)的大分量和小分量, ?κm(r) 和 ??κm(r) 分別為相應(yīng)的角向部分.徑 向 波 函 數(shù) Pnκ(r) 和 Qnκ(r) 分 別 由S-spinor基展開,

其中上標(biāo)P 和Q 分別表示Dirac 自旋量的“大”和“小”分量,是未歸一化的S-spinor, Sspinor 基是Slater 型軌道(STO)的相對(duì)論推廣.當(dāng) κ < 0 時(shí),

當(dāng) κ > 0 時(shí),

其中對(duì)于大分量, 系數(shù)A 可以表示為

對(duì)于小分量, 系數(shù)A 可以表示為

對(duì)于價(jià)電子, 其哈密頓量可以表示為

其中 α 和 β 表示4 × 4 的Dirac 算符矩陣[36]; p 表示動(dòng)量算符; Vcore表示原子實(shí)與價(jià)電子的相互作用勢(shì), 可以表示為

Vdir(r) 和 Vexc(r) 分別表示原子實(shí)的電子與價(jià)電子之間的直接相互作用和交換相互作用; Vp(r) 表示半經(jīng)驗(yàn)極化勢(shì), 近似描述原子實(shí)和價(jià)電子之間的相互作用, 可以表示為[37]

其中 l 和 j 分別是軌道角動(dòng)量量子數(shù)和總角動(dòng)量量子數(shù);表示k 階原子實(shí)的靜態(tài)極化率, Be+離子和Li 原子原子實(shí)的偶極靜態(tài)極化率分別為0.0523 a.u.和0.1925 a.u.[38,39].用截?cái)嗪瘮?shù) ρl,j表示通過(guò)調(diào)節(jié) ρl,j的值來(lái)保證極化勢(shì)在原點(diǎn)處為有限值.

價(jià)電子軌道的波函數(shù)由S-spinor 基和L-spinor基的線性組合表示, L-spinor 基是Lagrange 型軌道(LTO)的相對(duì)論推廣[40,41].L-spinor 的表達(dá)形式為

ni是非負(fù)整數(shù), κ <0 時(shí), ni≥0 ; κ >0 時(shí), ni≥1 ,

在價(jià)電子的計(jì)算中, 通常選擇2N 階L-spinor軌道(包含N 階大分量軌道和N 階小分量軌道).徑向Dirac 方程進(jìn)一步可以簡(jiǎn)化成2N 階矩陣形式.對(duì)角化矩陣, 就可以得到相應(yīng)價(jià)電子的能量本征值和波函數(shù).

2.2 極化率和超極化率

根據(jù)二階微擾理論, 原子基態(tài)的靜態(tài)極化率可以表示為[22?24,31]

其中 Tk是2k-極躍遷算符, k =1 代表電偶極; i是所有允許的向基態(tài)躍遷的激發(fā)態(tài); 躍遷能?Ei→0=Ei?E0, Ei是不同中間態(tài)的能級(jí), 從能級(jí)n0l0j0到能級(jí) niliji躍遷的吸收振子強(qiáng)度

根據(jù)四階微擾理論, 單價(jià)原子體系基態(tài) ( n0l0j0) 的標(biāo)量超極化率可以表示為[25,31]

其中 ni, li和 ji(i=1,2,3) 分別表示不同中間態(tài)的主量子數(shù)、軌道角動(dòng)量量子數(shù)和總角動(dòng)量量子數(shù).是 γ0(n0l0j0) 的角向部分, 可以表示為

其中K1為整數(shù), 求和包含K1= 0 和K1= 2 兩項(xiàng).Υ(n0l0j0,n1l1j1,n2l2j2,n3l3j3)可以表示為

在 γ0(n0l0j0) 的計(jì)算中, 最復(fù)雜的部分是對(duì)T(n0l0j0,n1l1j1,n2l2j2,n3l3j3) 求 和的計(jì)算,T(n0l0j0,n1l1j1,n2l2j2,n3l3j3)可以表示為

對(duì)于類Li 體系的基態(tài)( n0l0j0=2s1/2), 方程(17)可簡(jiǎn)化為[25]

T(s1/2,pj′,s1/2,pj′′) 和T (s1/2,pj′,dj,pj′′) 可 以表示為

3 結(jié)果與討論

3.1 能 級(jí)

對(duì)于Be+離子, s 軌道采用S-spinor 基10 個(gè)、L-spinor 基60 個(gè), pj, dj, fj, gj軌道L-spinor 基 各100 個(gè); 對(duì)于Li 原子, s 軌道采用S-spinor 基10 個(gè)、L-spinor 基80 個(gè), pj, dj軌道L-spinor 基各80 個(gè).表1 列出了Be+離子和Li 原子的截?cái)鄥?shù).

表1 Be+離子和Li 原子的截?cái)鄥?shù) ρ l,j (單位: a.u.)Table 1.Cut-off parameters ρ l,j of Be+ ions and Li atoms(in a.u.).

表2 列出了用RCICP 方法計(jì)算的Be+離子和Li 原子基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)相對(duì)于原子實(shí)的能級(jí)和相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)值[42].在RCICP 方法中, 通過(guò)調(diào)節(jié)表1 中的截?cái)鄥?shù) ρl,j可使得2s, 2pj和3dj能級(jí)都非常接近于NIST 值.我們也可以發(fā)現(xiàn), Be+離子和Li 原子ns ( n ≥3 )、npj( n ≥3 )和ndj( n ≥4 )等更高激發(fā)態(tài)能級(jí)的自旋軌道分裂值與實(shí)驗(yàn)的自旋軌道分裂值都符合得很好, 僅在小數(shù)點(diǎn)后第6 位有差別.例如, 對(duì)于Li 原子, 3dj和4dj的自旋軌道能級(jí)分裂理論上分別是0.0000004 和0.0000001 a.u.,這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果0.0000002 和0.0000001 a.u.符合得很好.

3.2 振子強(qiáng)度

基于我們計(jì)算的能級(jí)和波函數(shù), 進(jìn)一步得到了表3 中的Be+離子基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)電偶極躍遷的振子強(qiáng)度, 并與相應(yīng)NIST 值[42]以及包含了單、雙和部分三激發(fā)的全階的相對(duì)論多體方法(allorder SDpT)[25]的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比.結(jié)果表明, RCICP方法計(jì)算的振子強(qiáng)度與NIST 值[42]符合得很好,差別在0.6%以內(nèi), 只有2pj→4s1/2躍遷的振子強(qiáng)度與NIST 值的差別較大, 約為1.6%.RCICP 方法的結(jié)果與all-order SDpT[25]的結(jié)果也符合得非常好, 所有振子強(qiáng)度的差別都小于0.6%.

基于我們計(jì)算的能級(jí)和波函數(shù), 進(jìn)一步得到了表4 中的Li 原子基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)電偶極躍遷的振子強(qiáng)度.從表4 中可以看出, 除3dj→4pj的躍遷外, 其余的躍遷振子強(qiáng)度與NIST 值[42]符合得很好, 差別在1%之間, 3dj→4pj的躍遷振子強(qiáng)度與NIST 值[42]的差別約為3%.RCICP 的結(jié)果與all-order SDpT[29]的結(jié)果也符合得很好, 除3dj→4pj和2s1/2→3pj的躍遷外, 其余躍遷振子強(qiáng)度的差別在0.6%以 內(nèi), 3dj→4pj和2s1/2→3pj躍 遷 的 振 子強(qiáng)度與all-order SDpT[29]結(jié)果的差別小于4%.

3.3 電偶極極化率和超極化率

3.3.1 Be+離子的電偶極極化率和超極化率

表5 列出了Be+離子基態(tài)的電偶極極化率和超極化率γ0, 并與目前已有的理論數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比.從表5 中可以看出, 使用RCICP 方法計(jì)算的電偶極極化率與Hylleraas[22,24]方法的結(jié)果相差0.0074 a.u.和0.015 a.u., 約 為0.03%和0.06%,RCICP 的結(jié)果與其它理論方法[25,44?47]結(jié)果的差別都在0.08%以內(nèi).另外, 從表5 中也可以看出, 使用RCICP 方法計(jì)算得到的超極化率與Hylleraas[22]的結(jié)果符合得非常好, 差別僅僅為0.08%, 與相對(duì)論多體方法[25]和Hartree-Fock plus core polarization[22]方法計(jì)算得到的結(jié)果也符合得很好, 差別在0.3%以內(nèi).但是有限場(chǎng)方法[30]的結(jié)果與我們計(jì)算以及其它理論的結(jié)果相差約為1.5%.

表2 Be+離子和Li 原子基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)相對(duì)于原子實(shí)的能級(jí), 實(shí)驗(yàn)值(Exp.)是來(lái)自于NIST 的數(shù)據(jù)(單位: a.u.)Table 2.Energy levels of the ground state and some low-lying states of Be+ ions and Li atoms relative to atomic core.Experimental values (Exp.) are from the NIST data (in a.u.).

根據(jù)(21)式, Be+離子基態(tài)超極化率的計(jì)算可以分成三個(gè)部分: 第一部分是 T (s,pj′,s,pj′′) , 根據(jù)中間激發(fā)態(tài)pj(pj可以取p1/2和p3/2)的不同, 這部分又可以分解成四項(xiàng), 分別為T(s, p1/2, s, p1/2),T(s, p1/2, s, p3/2), T(s, p3/2, s, p1/2)和T(s, p3/2,s, p3/2); 第二部分 T (s,pj′,dj,pj′′) 又可以分解成五項(xiàng), 分別為T(s, p1/2, d3/2, p1/2), T(s, p1/2, d3/2, p3/2),T(s, p3/2, d3/2, p1/2), T(s, p3/2, d3/2, p3/2)和T(s,p3/2, d5/2, p3/2); 第三部分是與極化率相關(guān)的α10β0項(xiàng).表6 列出了不同項(xiàng)對(duì)Be+離子基態(tài)超極化率的貢獻(xiàn), 我們可以發(fā)現(xiàn), 在第一部分和第二部分中,第二項(xiàng)和第三項(xiàng)是中間激發(fā)態(tài)p1/2和p3/2的交換,這兩項(xiàng)對(duì)超極化率的貢獻(xiàn)是一樣的, 即T(s, p1/2,s, p3/2)和T(s, p3/2, s, p1/2)是相等的, T(s, p1/2,d3/2, p3/2)和T(s, p3/2, d3/2, p1/2)也是相等的.在所有貢獻(xiàn)中, 與極化率相關(guān)的項(xiàng)貢獻(xiàn)最大.從表6 中可以看出, 使用RCICP 方法計(jì)算的不同中間態(tài)對(duì)Be+離子基態(tài)超極化率的貢獻(xiàn)與相對(duì)論多體方法(RMBT)[25]的結(jié)果符合得很好.為了進(jìn)一步評(píng)估目前的計(jì)算精度, 我們將對(duì)超極化率有重要貢獻(xiàn)的2s→2pj, 2pj→3dj躍遷矩陣元替換為NIST[42]躍遷矩陣元, 并重新計(jì)算了超極化率(標(biāo)記為RCICPC), 我們發(fā)現(xiàn)RCICP 的超極化率與RCICPC的結(jié)果僅僅相差73 a.u., 這個(gè)差別在我們計(jì)算的不確定度內(nèi), 僅占RCICP 計(jì)算的超極化率的0.6%.因此, 我們用RCICP 計(jì)算的超極化率的精度應(yīng)該在1%以內(nèi).

3.3.2 Li 原子的電偶極極化率和超極化率

表7 列出了用RCICP 方法計(jì)算的Li 原子基態(tài)的電偶極極化率、超極化率γ0和已有的理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果.從表7 中可以看出, 除受限Hartree-Fock[32]的理論值外, 使用RCICP 方法計(jì)算的電偶極極化率與其他理論值[1,31?35,48?52]和實(shí)驗(yàn)測(cè)量值[53,54]都符合得很好, 相差約0.6%, 并且差別都在實(shí)驗(yàn)測(cè)量值[53]的不確定度內(nèi).但是, 與Be+完全不同的是, 使用不同理論方法計(jì)算的Li 原子基態(tài)的超極化率差別卻非常大, 如RCICP 的結(jié)果比耦合簇[1]方法的結(jié)果小960 a.u., 約為33%, 比Hylleraas[31]的結(jié)果小1140 a.u., 約為37%, 但RCICP的結(jié)果又比單雙激發(fā)的組態(tài)相互作用[1]方法計(jì)算的理論值大900 a.u., 我們的計(jì)算結(jié)果在各種理論方法結(jié)果之間.半經(jīng)驗(yàn)贗勢(shì)方法[26]、組態(tài)相互作用[35]和受限Hartree-Fock[32]的結(jié)果比其它理論方法的結(jié)果都大一個(gè)數(shù)量級(jí).

表3 Be+離子基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)之間躍遷的振子強(qiáng)度, “Diff.”表示用RCICP 方法計(jì)算的結(jié)果與NIST 結(jié)果之差的百分比Table 3.Oscillator strengths of transitions between the ground state and some low-lying states of Be+ ions.“Diff.” represents the difference in percentage form calculated by RCICP method and NIST results.

表4 Li 原子基態(tài)和部分低激發(fā)態(tài)之間躍遷的振子強(qiáng)度, “Diff.”表示用RCICP 方法計(jì)算的結(jié)果與NIST 結(jié)果之間差別的百分比Table 4.Oscillator strengths of transitions between the ground state and some low-lying states of Li atoms.“Diff.” represents the difference in percentage form calculated by RCICP method and NIST results.

表5 Be+離子基態(tài)的電偶極極化率和超極化率 γ0 , “Diff.”表示用RCICP 方法計(jì)算的γ0 與其它理論數(shù)據(jù)之間差別的百分比, 括號(hào)內(nèi)的值表示不確定度Table 5.Electric-dipole polarizability and hyperpolarizability of the ground state of Be+ ions.“Diff.” represents the difference of γ0 in percentage form calculated by RCICP and other theoretical method.The values in parentheses indicate the uncertainties.

表5 Be+離子基態(tài)的電偶極極化率和超極化率 γ0 , “Diff.”表示用RCICP 方法計(jì)算的γ0 與其它理論數(shù)據(jù)之間差別的百分比, 括號(hào)內(nèi)的值表示不確定度Table 5.Electric-dipole polarizability and hyperpolarizability of the ground state of Be+ ions.“Diff.” represents the difference of γ0 in percentage form calculated by RCICP and other theoretical method.The values in parentheses indicate the uncertainties.

Method α10 /a.u.γ0/a.u.Diff./%RCICP 24.504(32) –11529.971(84)Coulomb approximation[43] 24.77 Variation-perturbation Hylleraas CI[44] 24.5 Hylleraas[24] 24.489 Asymptotic correct wave function[45] 24.91 Variation-perturbation FCCI[46,47] 24.495 Hartree-Fock plus core polarization[22] 24.493 –11511 0.16 Hylleraas[22] 24.4966(1) –11521.30(3) 0.08 Relativistic many-body calculation[25] 24.483(4) –11496(6) 0.29 The finite field method[30] 24.5661 –11702.31 1.49

表6 中間態(tài)對(duì)Be+離子基態(tài)超極化率的貢獻(xiàn), RCICPC 表示2s→2pj, 2pj→3dj 躍遷的約化矩陣元用NIST[42]結(jié)果替換之后計(jì)算的結(jié)果, 括號(hào)內(nèi)的值表示RCICP 相對(duì)于RCICPC 的不確定度(單位: a.u.)Table 6.Contributions to the hyperpolarizability of the ground state of Be+ ions.RCICPC represents that the reduced matrix elements of the 2s→2pj、2pj→3dj transitions are replaced by NIST[42] results.The values in parentheses indicate the uncertainties of RCICP relative to RCICPC (in a.u.).

表7 Li 原子基態(tài)的電偶極極化率 和超極化率 γ0 , 括號(hào)內(nèi)的值表示不確定度(單位: a.u.)Table 7.Electric-dipole polarizability and hyperpolarizability of the ground state of Li atoms.The values in parentheses indicate the uncertainties (in a.u.).

表7 Li 原子基態(tài)的電偶極極化率 和超極化率 γ0 , 括號(hào)內(nèi)的值表示不確定度(單位: a.u.)Table 7.Electric-dipole polarizability and hyperpolarizability of the ground state of Li atoms.The values in parentheses indicate the uncertainties (in a.u.).

Method α10 γ0 RCICP 164.05(8) 1920(3264)The coupled cluster (all single, double and triple substitution)[1] 164.19 2880 Finite-field quadratic configuration interaction[1] 164.32 1020 Hylleraas[31] 164.112(1) 3060(40)The relativistic coupled-cluster method[48] 164.23 Relativistic variation perturbation[49] 164.084 Relativistic all-order methods[29] 164.16(5)Variation perturbation[33] 164.10 3000 Semiempirical pseudopotentials[26] 164.08 65000 Frozen core Hamiltonian with a semiempirical polarization potential[50] 164.21 Finite-field fourth-order many-body perturbation theory[34] 164.5 4300 Configuration interaction[35] 164.9 37000 Relativistic ab initio methods[51] 164.0(1)The restricted Hartree-Fock[32] 170.1 –55000 The Rydberg-Klein-Rees inversion method with the quantum defect theory[52] 164.14 3390 Exp.[53] 164(3)Exp.[54] 164.2(11)

表8 中間態(tài)對(duì)Li 原子基態(tài)超極化率的貢獻(xiàn), RCICPC 表示2s→2pj, 2pj→3dj 躍遷的約化矩陣元用NIST[42]結(jié)果替換之后計(jì)算的結(jié)果, “Diff.”表示RCICP 與RCICPC 之間差別的百分比, 括號(hào)內(nèi)的值表示RCICP 相對(duì)于RCICPC 的不確定度Table 8.Contributions to the hyperpolarizability of the ground state of Li atoms.RCICPC represents that the reduced matrix elements of 2s→2pj, 2pj→3dj transitions are replaced by NIST[42] results.“Diff.” represents the difference in percentage form between RCICP method and RCICPC.The values in parentheses indicate the uncertainties of RCICP relative to RCICPC.

為了解釋不同理論方法計(jì)算得到的Li 原子基態(tài)超極化率差別大的原因, 表8 列出了不同中間態(tài)對(duì)Li 原子基態(tài)超極化率的貢獻(xiàn).從表8 中可以發(fā)現(xiàn), 第 一 部 分 T (s,pj′,s,pj′′) 與 第 二 部 分T(s,pj′,dj,pj′′)的和為196556 a.u., 值得注意的是, 這個(gè)值與第三部分的值196396 a.u.近似相等.根據(jù)(21)式, 第一部分與第二部分的和與的值接近抵消了, 其差僅僅為160 a.u., 這個(gè)值僅占第三部分的0.08%.為了評(píng)估該計(jì)算結(jié)果的誤差,與Be+離子類似, 將2s→2pj和2pj→3dj躍遷的矩陣元分別替換為NIST[42]躍遷矩陣元.從表8 中可以發(fā)現(xiàn), 替換之后, 第一部分 T (s,pj′,s,pj′′) 與第二部分 T (s,pj′,dj,pj′′) 的和為196470 a.u., 這個(gè)值與RCICP 的結(jié)果符合得非常好, 相差僅僅為86 a.u.,約為0.04%, 第三部分的值為196128 a.u., 與RCICP 的結(jié)果相差268 a.u., 約為0.14%.對(duì)于這三部分, 盡管RCICPC的結(jié)果與RCICP 的結(jié)果相差比較小, 但是, 前兩部分之和與第三部分的差將變?yōu)?42 a.u., 這個(gè)值是RCICP 的結(jié)果160 a.u.的2.14 倍, 相應(yīng)RCICPC的超極化率為4109 a.u.,其值也是RCICP 的2.14 倍, 因此RCICP 的計(jì)算不確定度達(dá)到了170%.綜上所述, 造成不同理論方法計(jì)算的Li 原子超極化率相差較大的原因是,前兩部分的和與第三部分近似相等, 其差值放大了計(jì)算誤差, 躍遷矩陣元小于0.1%的不確定度將導(dǎo)致超極化率產(chǎn)生100%以上的不確定度.

4 結(jié) 論

本文利用RCICP 方法, 計(jì)算了Be+離子和Li 原子的波函數(shù)、能級(jí)以及振子強(qiáng)度, 得到了Be+離子和Li 原子基態(tài)的電偶極極化率和超極化率,并與其它理論以及實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比, 進(jìn)一步討論了不同中間態(tài)對(duì)基態(tài)超極化率的貢獻(xiàn).對(duì)于Be+離子, RCICP 方法計(jì)算的電偶極極化率和超極化率與其它理論方法計(jì)算的結(jié)果符合得非常好, 對(duì)超極化率貢獻(xiàn)最大的是對(duì)于Li 原子, RCICP方法計(jì)算的電偶極極化率與其它理論方法計(jì)算的理論數(shù)據(jù)以及實(shí)驗(yàn)值符合得非常好, 但是不同理論方法給出的超極化率相差非常大, RCICP 方法計(jì)算的超極化率在Hylleraas 的結(jié)果和耦合簇的結(jié)果之間.為了解釋這些差別的原因, 我們?cè)敿?xì)分析了不同中間態(tài)對(duì)超極化率的貢獻(xiàn), 發(fā)現(xiàn)T(s,pj′,s,pj′′)與 T (s,pj′,dj,pj′′) 之和對(duì)超極化率的貢獻(xiàn)與對(duì)超極化率的貢獻(xiàn)近似相等, 其差值放大了計(jì)算誤差, 躍遷矩陣元小于0.1%的不確定度將導(dǎo)致超極化率產(chǎn)生100%以上的不確定度.因此, 各種不同理論方法計(jì)算的基態(tài)超極化率有數(shù)倍甚至十幾倍的差異.

感謝武漢物理與數(shù)學(xué)研究所的唐麗艷研究員在數(shù)據(jù)計(jì)算方面給予的討論和幫助.