喬永海

(惠州市實驗中學 廣東 惠州 516008)

大學物理基礎實驗是理工科學生的必修基礎課程，針對李薩如圖的實驗教學是重要的基礎實驗之一．目前，觀察李薩如圖形時，常借用兩臺單獨的信號發(fā)生器產(chǎn)生正弦信號送入示波器來實現(xiàn)，由于示波器工作機制的限制，各分振動的初相位不可控制，這樣做很難得到穩(wěn)定的、不同相位差、不同頻率比的李薩如圖形．

為了解決上述困難，科研工作者開發(fā)出仿真模擬平臺供教師的教學和學生的實驗體驗所用．基于LabVIEW的李薩如圖仿真平臺、基于Matlab_GUI的李薩如圖形仿真平臺[1]、 基于Labview 虛擬儀器平臺等，這些仿真平臺經(jīng)過熟悉相關軟件的科研工作者編寫，生成可以獨立運行的工具，供教師和學生使用．

GeoGebra是一款功能強大的數(shù)學軟件，用該軟件制作李薩如圖仿真平臺，只需要一個工具和一組代碼，制作非常便捷，功能卻十分強大．學生可以利用GeoGebra 自制“教具”來探究規(guī)律，對學生的綜合素質培養(yǎng)有重要意義．

1 原理

簡諧振動是物體振動的最基本形式．在一定條件下，兩列相互垂直的振動疊加形成李薩如曲線．兩個傳播方向相互垂直的簡諧波的振動疊加時，如果兩列波的傳播頻率比值成簡單整數(shù)比時，兩列波的合成軌跡是規(guī)則的圖形，叫李薩如圖形(Lissajous-Figure)．

x方向的振動方程為

x=A1cos(n1ωt+φ1)

(1)

y方向的振動方程為

y=A2cos(n2ωt+φ2)

(2)

為了簡化操作和圖形的對稱性，我們設A1=A2=1，由于我們主要關注相位差，因此，設φ2=0，φ1=Δφ,ω=1．

上述式(1)、(2)分別簡化為

x=cos(n1t+Δφ)

y=cos(n2t)

下面我們開始創(chuàng)建李薩如圖形模擬平臺．操作非常便捷，只用一個工具和一組代碼，就可以創(chuàng)建一個可控的李薩如圖仿真平臺，該平臺可以控制兩個振動的頻率和相位差而獲得相應的李薩如圖形．

2 制作過程

打開GeoGebra 軟件，窗口如圖1所示．初次接觸該軟件的讀者要熟悉它的界面，便于后續(xù)的操作．

圖1 GeoGebra窗口

2.1 創(chuàng)建滑動條

2.1.1 創(chuàng)建控制相位差的滑動條

選擇“滑動條”(圖1中工具欄第10個)，點擊繪圖區(qū)，出現(xiàn)屬性對話框，選擇“角度”，默認名為α，可以不改動，用它代替相位差Δφ，如圖2所示，點擊“確定”．

圖2 創(chuàng)建控制相位差Δφ的變量

2.1.2 創(chuàng)建控制x和y方向振動頻率的滑動條n1

選擇“滑動條”，名稱欄內輸入n_1：點擊繪圖區(qū)，出現(xiàn)屬性對話框，選擇“數(shù)字”，3個輸入框中，最小值輸入1，最大值輸入8，增量輸入1．

再次選擇“滑動條”，名稱欄內輸入n_2：點擊繪圖區(qū)，出現(xiàn)屬性對話框，選擇“數(shù)字”，3個輸入框中，最小值輸入1，最大值輸入7，增量輸入1．

2.2 繪制李薩如圖

在GeoGebra的命令欄(圖1的最下部)內輸入如下代碼便可產(chǎn)生李薩如圖．

曲線[cos(n_1*t+α),cos(n_2*t),t, 0, 2π]

代碼輸入提示：除了中文，其他要在半角下輸入．符號“_”是下角標標示符號，用“Shift+ -”輸入．

繪圖區(qū)出現(xiàn)李薩如圖，如圖3所示．點擊“平移”工具(如圖1工具欄第一個)，然后點擊繪圖區(qū)，隱藏坐標和網(wǎng)格，把李薩如圖移動到合適位置．也可以改變李薩如圖的線條粗細和顏色．

圖3 李薩如圖

先點擊“平移”工具，再點擊α滑動條，右鍵，在下拉菜單里勾選“啟動動畫”，看到相位差逐漸變大時動態(tài)的李薩如圖．通過拖動n1和n2來改變x和y方向振動的角頻率值，觀察圖形變化．需要靜態(tài)圖形時，點擊繪圖區(qū)左下角的“啟動、暫?！卑粹o．至此，我們就制成了頻率比和相位差可控的李薩如圖模擬實驗平臺．

3 探究李薩如圖和頻率的關系

在電工和無線電技術中，可以利用示波器觀察李薩如圖，根據(jù)已知振動波頻率和相位，來測定未知振動波的頻率和相位差．下面我們尋找如何從多變的李薩如圖中尋找頻率比的方法．

3.1 獲得一組李薩如圖

把圖2的“增量”改為45°后通過拖動滑動條改變Δφ,n1，n2，獲得不同的李薩如圖，如圖4所示．

圖4 不同頻率比和相位差的李薩如圖

3.2 探究頻率比和李薩如圖的關系

3.2.1 探究1

如圖5所示的兩個圖形，可以看出如下規(guī)律：n1的大小和李薩如圖左、右側的“峰”的個數(shù)相同，n2的大小和李薩如圖上下側的“峰”的個數(shù)相同．可以歸納出如下規(guī)律：x方向的振動頻率和y方向的振動頻率之比等于李薩如圖左(右)側和上(下)側“峰”的個數(shù)的比值．

圖5 不同頻率比和相位差為90°的李薩如圖

3.2.2 探究2

如圖6所示，頻率比為4∶3和8∶6的李薩如圖是相同的．因此，頻率比要進行約分后得到頻率比的不可約分數(shù)，該不可約分數(shù)和“峰”數(shù)比值才相等．可以進一步完善規(guī)律的表述：x方向的振動頻率和y方向的振動頻率的比值(不可約分數(shù))等于李薩如圖左(右)側和上(下)側“峰”的個數(shù)的比值．

圖6 頻率比相同的李薩如圖相同

3.2.3 探究3

李薩如圖有曲線“不閉合”現(xiàn)象，如圖7所示．我們發(fā)現(xiàn)，一根線要計數(shù)1，一個“峰”要計數(shù)2，這樣“峰”數(shù)比和頻率比才能相等．為什么呢？下面我們繼續(xù)探究．

圖7 不閉合的李薩如圖

以頻率比為5∶4的李薩如圖為例，相位差每隔15°截取一圖形，如圖8所示．從動態(tài)的李薩如圖中可以觀察到一個現(xiàn)象，好像一簇線條在“三維空間”里繞豎直軸轉動，當“前后”的線條出現(xiàn)遮蔽時就出現(xiàn)了線條不閉合的現(xiàn)象，如圖8的右邊3圖，這些有端點的線條實際是一個“峰”，從側面看變成線了．圖中的一個“峰”背后“遮擋”另外一個“峰”，因此，當遇到李薩如圖的有端點圖線時，我們的計數(shù)方法是：一根“斷線”計數(shù)1，一個“峰”計數(shù)2．

圖8 頻率比為5∶4相位差不同的李薩如圖

GeoGebra既有電腦版，還有網(wǎng)頁版和手機版，讀者可以在網(wǎng)頁或手機上制作李薩如圖，探究其變化規(guī)律，為實驗操作做準備[2，3]．