李惠

(株洲市第二中學 湖南 株洲 412000)

筆者在中學物理競賽教學中，發(fā)現以下這種習題最能考驗學生對力學規(guī)律的理解是否到位．如圖1所示，光滑水平面上靜止放置質量為M，長為L的均勻細桿，質量為m的質點以垂直于桿的水平初速v0與桿的一端做完全非彈性碰撞．求碰后的角速度．

圖1 習題情境圖

學生的主要思維障礙在于無法在頭腦中形成碰后瞬間剛體系統做平面平行運動的物理圖像，不知從什么方向尋找解題突破口，處理桿的轉動時，總執(zhí)拗地去找剛體在碰后的瞬時轉軸，以期把平面平行運動轉化為定軸轉動，從而降低題目難度.這一思路本身沒有錯，但學生一時半會無法準確找到碰后的系統瞬時轉軸位置，難以順利解題．在上述碰撞類問題中，系統沒有固定轉軸，碰撞發(fā)生后的瞬間，會有一個實際的瞬時轉軸(靜止點)，這個瞬時轉軸的位置取決于碰撞點的位置以及剛體自身質量分布等因素，它與剛體的交線在平面平行運動的平面內的投影也即本文標題中的“自由轉動支點”．那么，如何處理自由轉動支點的剛體的碰撞類問題呢？本文從多個角度來詳細闡述．

1 常規(guī)解法

取小球初速度v0的方向為正方向，垂直于紙面向里為角動量正方向，設小球碰后速度為v′，也即小球碰后附著點-桿右端的速度，設碰后桿中心點的速度為vC桿，角速度為ω，小球與桿右端碰撞的相互作用力大小為F(t)，碰撞持續(xù)極短時間τ，對小球，根據動量定理

對桿，根據動量定理

在桿的質心系中取桿質心為參考點，根據角動量定理，有

再關聯桿中心點和桿右端點的速度

聯立以上4個式子，解得

這個方法從參與碰撞的球和桿兩個角度闡述物理的基本規(guī)律是如何體現在碰撞情境中的，對于習慣處理重力、摩擦力等常力作用下物理情境的學生而言，這是很基礎、很簡潔的一種理解碰撞作用力的好方法．

2 在質心系中利用角動量守恒解此題

如圖2所示,取桿和質點為研究對象，根據動量守恒，可求得質點系質心的速度vC

mv0=(M+m)vC

再在質心系中來研究該碰撞，以質心C為參考點，碰撞前后系統的角動量是守恒的.

圖2 碰撞后質心C的位置

先把質心位置找出來，以l1和l2表示質心與桿中心、與質點m的距離．

碰后質點、桿繞系統質心的轉動慣量分別為

碰前桿、質點相對系統質心的初始角動量方向相同，分別為

碰后系統相對質心的角動量為

代入角動量守恒方程

L′=L1+L2

得

設瞬時轉軸在質心C左側l0處，如圖3所示，求得

當然，上述解題過程還可適當地簡化，比如說，碰前的角動量，我們可以直接根據二體系的相對角動量等于質心系中相對質心的角動量(證明過程略)直接得出碰后的角速度ω，進而快速求解瞬時轉軸的位置．即

其中，μ為二體系中小球的折合質量．

圖3 碰撞后系統瞬時轉軸位置O′

3 用“復擺”模型解此題

3.1 “復擺”模型的特點

如圖4所示，一個任意形狀、質量為m的剛體，被懸掛在通過O點的光滑水平轉軸上．當物體重心處于轉軸O點正下方時，物體靜止；當物體略有偏離，可在平衡位置附近左右擺動，故稱“復擺”．現在討論復擺的小角度擺動．

圖4 復擺

設質心軸的回轉半徑為k,剛體繞過O點的水平軸定軸轉動，轉動慣量為IO,剛體質心C與轉軸O的距離為x1．根據定軸轉動定律及小角近似得

可得微振動周期為

要使復擺繞O′的水平軸的微振動周期與繞O的水平軸的微振動周期相等，則有

T′=Tx1x2=k2

這個結論告訴我們，如果在剛體上過質心的任意一條直線上，找到與質心相距x1和x2并分居質心兩側的兩個點O和O′，只要滿足x1x2=k2，O和O′兩點就是共軛的，剛體繞這兩個點定軸轉動的周期相等．實驗室就是利用了這一特性只做了可倒擺．接下來，我們來討論這么個小問題：假設剛體懸掛點距離質心C為x的A點(圖5)，在O′給剛體一個垂直于AO′連線方向的沖量J，x的取值為多少才能使得懸掛處受瞬時沖擊的過程中不產生任何附加作用力？首先，假設滿足條件的懸掛點A距離質心x，根據質心運動定理和以質心C為參考點的角動量定理得

J=mvCJx2=mk2ω

圖5 討論打擊中心

已知質心平動速度和剛體的角速度，即可得

可見x=x1，這說明符合條件的A點即之前我們提到的O點．換句話說，如果O點處不存在固定轉軸，剛體在O′點受到碰撞等沖擊時，剛體的自由轉動支點就是O點．由于O和O′兩點共軛，當剛體在O點受到碰撞等沖擊時，剛體的自由轉動支點就是O′點．O和O′互為打擊中心．

3.2 用復擺模型速解自由轉動支點位置

回到本文文首的題目，不管質點以多大的速度與細桿發(fā)生完全非彈性碰撞，質點都相當于在細桿的右端施加了一個瞬時沖量，使得沖量結束后桿和質點這個“剛體”繞自由支點定軸轉動．先用以上模型求該支點位置．如圖6所示．算出質心軸的回轉半徑k,l2相當于模型中的x2，l0相當于模型中的x1，即可得到碰后的角速度．

mk2=I1+I2

k2=l2l0

mv0=(M+m)vC

結論與常規(guī)解法一致．

圖6 用復擺模型舉例

4 “復擺”模型解決此類問題的應用實例

4.1 實例1

如圖7所示，質量未必相同的兩個小球A和B用輕桿相連后放在光滑水平面上，桌面上另一個小球D以垂直于桿方向的速度撞擊B球，試證明碰后瞬間A球的瞬時速度為零．

圖7 題圖

本題是舒幼生老師編著的《力學》[1]上的一道例題．筆者采用與編者不一樣的方法來證明．如圖8所示，設A和B球的質量分別為m1和m2，相距L，兩球與輕桿構成的系統的質心C距離A和B球的距離分別為l1和l2.

系統的質心軸回轉半徑為k,則

圖8 實例1圖

設在質心左側距離質心C為x1的位置為自由轉動支點，根據復擺模型，有

k2=l2x1

解得

也即x1=l1，說明自由轉動支點恰好是A球．此題得證．

4.2 實例2

(第23屆全國中學生物理競賽復賽題節(jié)選)如圖9所示，一根輕桿，長為2l，兩端、中心處分別固連著質量均為m的小球B，D，C，開始時靜止在光滑的水平桌面上.桌面上另一質量為M的小球A，以給定初速度v0沿垂直于桿的方向與B球發(fā)生彈性碰撞，求剛碰后4個小球的速度．

圖9 實例2圖

常規(guī)解法筆者不再贅述．這里采用復擺模型來解題．先確定B，C，D球及輕桿系統在碰撞后的自由轉動支點，設該支點在球C左側x處

3mk2=2ml2

k2=xl

解得

可見，碰后B，C，D球及輕桿系統是一個繞O點定軸轉動的剛體(圖10).

圖10 用復擺模型解題

設碰后球A和球B的速度分別為vA和vB,球C和D的速度分別為

根據彈性碰撞的特點，有

v0=vB-vA

解得

計算過程中計算量沒有常規(guī)解法那么大，而且邏輯思維能更直觀地借助定軸轉動體現出來．

由此可見，用復擺模型解決自由轉動支點的剛體的碰撞類問題，能迅速找到剛體的瞬時轉軸位置，從而把剛體的平面平行運動(3個自由度)轉化為剛體的定軸轉動(1個自由度)，化繁為簡，化抽象為直觀，更有助于我們理解力學規(guī)律在實際的物理情境中的體現過程．