林昌斌 鄭淵方

(福建師范大學物理與能源學院 福建 福州 350007)

圖1 最大傾斜角表示物體穩(wěn)度

圖2 穩(wěn)度演示教具

1 最大傾斜角表示穩(wěn)度大小的不足之處

為研究方便，本文選用質(zhì)量分布均勻的物體進行討論．如圖3所示，緩慢上抬支持面，使物體繞著O軸逆時針勻速轉(zhuǎn)動．若重力矩對物體產(chǎn)生順時針旋轉(zhuǎn)的效果，則物體不會傾倒．隨著傾斜角θ的增大，物體受到的重力矩逐漸減小，當重力矩為零時，物體恰好處在傾倒的臨界位置．

圖3 支持面上物體轉(zhuǎn)動的力矩分析

設物體的重心高度為h，重心在支持面上的投影點到轉(zhuǎn)軸的距離為x．物體在力F的作用下繞O軸轉(zhuǎn)動至θ角度，此時支持力與重力對O軸的力臂分別為

b=x-htanθ

(1)

l=bcosθ=xcosθ-hsinθ

(2)

當物體處在傾倒的臨界位置時，重力矩為零

MG=mgl=

mg(xcosθmax-hsinθmax)=0

(3)

(4)

(5)

式(5)表明，物體最大傾斜角與兩個參數(shù)有關，即h和x．而對于質(zhì)量分布均勻的物體，其重心的位置只跟物體的形狀有關，重心在支持面上的投影點到轉(zhuǎn)軸的距離也只跟物體的形狀有關．可見，它的最大傾斜角僅與其形狀有關，與它的質(zhì)量大小無關．圖2所示的教具就是顯示這種情況．如果采用物體的最大傾斜角表示穩(wěn)度大小，那么物體的穩(wěn)度與質(zhì)量無關．但用最大傾斜角表示穩(wěn)度大小會出現(xiàn)與實驗結(jié)果矛盾的現(xiàn)象．如圖4所示，將兩個形狀相同、材料不同的均勻長方體A和B放置在水平面上，A和B分別由泡沫和鐵構成．用電吹風機分別作用在兩物體的側(cè)面，可以發(fā)現(xiàn)A物體容易被吹翻，而B物體基本不動．兩物體受到相同的外力作用，最大傾斜角更大的物體反而更容易傾倒．生活中，人們認為 “穩(wěn)定”是指穩(wěn)固安定、沒有變動的意思，若處在圖4所示的情境下，B是更加穩(wěn)定的．如果僅用最大傾斜角來表示物體穩(wěn)度的大小，那么得到的結(jié)論是：A的穩(wěn)定程度比B好，即A比B更穩(wěn)定．可見，得到的結(jié)論與實際矛盾．最大傾斜角僅體現(xiàn)了物體可傾斜的程度(物體能夠偏離平衡位置而不傾倒的程度)，而未體現(xiàn)出使它發(fā)生傾斜的難易程度．結(jié)合生活實際，考察物體偏離平衡位置的難易程度應當屬于穩(wěn)度的討論范疇．

圖4 外力作用下不同材料的物體穩(wěn)度

2 質(zhì)量對穩(wěn)度的影響

以圖3為例，物體在力F的作用下繞O軸轉(zhuǎn)動至θ角度，由力矩平衡

Nb=mgl

(6)

據(jù)杠桿原理

Nb=Fs

(7)

(8)

式(8)表明，對于質(zhì)量越大的物體，需要更大的外力才能使它發(fā)生偏轉(zhuǎn)．同理，如圖4所示，要使處于平衡狀態(tài)的物體發(fā)生傾倒，所施加的外力矩必須大于物體的重力矩．若物體的質(zhì)量越大，則重力矩越大，使它偏離平衡位置的難度更大，即質(zhì)量越大越穩(wěn)定．

3 物體穩(wěn)度的定量描述

若考察物體在外力作用下的穩(wěn)定性，則可用物體的重力矩大小定量描述物體穩(wěn)度，即

MG=mg(xcosθ-hsinθ)

(9)

式中x為重心在支持面上的投影點到轉(zhuǎn)軸的距離，h為物體的重心高度，θ為物體的支撐面與水平面的夾角(傾斜角)．物體的重力矩越大，則穩(wěn)度越大．由式(9)可知，可通過增大重力、增大支持面的面積以及降低重心高度等措施增大重力矩，這與提高物體穩(wěn)度的措施是一致的．而對于處在穩(wěn)定平衡狀態(tài)的物體，使它從原平衡位置偏轉(zhuǎn)至傾倒的臨界位置的過程中，物體在不同位置處的穩(wěn)定性是不同的．如圖5和圖6所示，緩慢上抬支持面，使物體分別偏轉(zhuǎn)至傾斜角為θ1和θ2的位置(θ1<θ2)．

圖5 物體處在θ1位置

圖6 物體處在θ2位置

當物體處于θ1位置時，物體的重力矩大小為

M1=mgl1=mg(xcosθ1-hsinθ1)

處于θ2位置時，其重力矩大小為

M2=mgl2=mg(xcosθ2-hsinθ2)

可以得到M1>M2，物體在θ1位置處的穩(wěn)定性較高．進一步分析，當物體水平放置時(θ=0)，物體的重力矩最大，此時物體的穩(wěn)定性最好．隨著傾斜角的增大，重力矩逐漸減小，物體的穩(wěn)定性逐漸降低．當物體的重力矩為零時，物體恰好處在傾倒的臨界位置．若重力矩為負值，物體將會傾倒．可見，重力矩的大小變化很好地體現(xiàn)了穩(wěn)度大小在偏轉(zhuǎn)過程中的變化趨勢．用重力矩大小定量描述物體穩(wěn)度，既可以比較不同物體的穩(wěn)度大小，又可以體現(xiàn)出物體在偏轉(zhuǎn)過程中的穩(wěn)定性變化．

4 總結(jié)

最大傾斜角體現(xiàn)了物體可傾斜的程度，而質(zhì)量大小影響物體偏離平衡位置的難易程度．對于質(zhì)量分布均勻的物體，它的最大傾斜角只跟形狀有關，跟質(zhì)量無關．物體穩(wěn)度既要考慮物體可傾斜的程度，又要考慮使物體偏離平衡位置的難易程度．若考察物體在外力作用下的穩(wěn)定性，則可用重力矩大小定量描述物體穩(wěn)度．在相同的條件下，物體的質(zhì)量越大，穩(wěn)度越大．