王 蕊 陳書立 王東輝

(①河南職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程學(xué)院，河南 鄭州 450046；②鄭州大學(xué)電氣工程學(xué)院，河南 鄭州，450001)

機(jī)械臂系統(tǒng)是通過電機(jī)帶動多級關(guān)節(jié)來完成裝配、抓取等工作的自動化系統(tǒng)，在工農(nóng)業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-2]。在實際工作過程中，由于工作對象是變化的，難以獲得工作對象的準(zhǔn)確信息，因此機(jī)械臂系統(tǒng)的負(fù)載力矩往往是未知時變的[3-4]。同時，機(jī)械臂系統(tǒng)往往會遇到摩擦等干擾，使得機(jī)械臂系統(tǒng)模型與真實情況之間存在誤差，也會影響控制系統(tǒng)的工程實用性[5-6]。另外，機(jī)械臂系統(tǒng)主要依靠電機(jī)驅(qū)動關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動，而電機(jī)是一個復(fù)雜非線性系統(tǒng)，電機(jī)的動態(tài)特性很大程度上會影響機(jī)械臂系統(tǒng)的工作情況[7-8]?；谝陨戏治?，本文針對考慮未知負(fù)載力矩和模型誤差等不確定性以及電機(jī)動態(tài)特性的機(jī)械臂系統(tǒng)魯棒控制問題展開研究。

文獻(xiàn)[9]為了提高機(jī)械臂對給定軌跡的跟蹤精度且削弱滑?？刂贫墩駟栴}，提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂频能壽E跟蹤方法，能夠在一定程度上提高控制精度，但是沒有證明系統(tǒng)穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[10]針對包含未知動力學(xué)模型不確定性和外部擾動的機(jī)械臂系統(tǒng)軌跡跟蹤問題，采用模糊控制來逼近系統(tǒng)不確定性，引入指數(shù)趨近律來補(bǔ)償模糊逼近誤差，實現(xiàn)了對機(jī)械臂軌跡跟蹤的精確控制，有效提高了魯棒性，但設(shè)計過程較復(fù)雜；文獻(xiàn)[11]針對存在外部擾動及建模誤差的機(jī)械臂軌跡跟蹤問題，在傳統(tǒng)魯棒控制的基礎(chǔ)上引入模糊滑?？刂破魅〈刃Э刂祈棧岢隽艘环N基于模糊滑模的魯棒軌跡跟蹤控制方法，有效解決機(jī)械臂的魯棒控制問題，但不能準(zhǔn)確估計外部干擾和模型誤差的大小；文獻(xiàn)[12]針對考慮未建模動態(tài)和擾動的時滯柔性關(guān)節(jié)空間機(jī)械臂系統(tǒng)，提出了一種新的魯棒自適應(yīng)滑?？刂破鳎荒軠?zhǔn)確估計干擾程度；文獻(xiàn)[13]針對帶有外界干擾的機(jī)械臂系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)滑?？刂品椒?，實現(xiàn)了機(jī)械臂關(guān)節(jié)運動的精確控制，但沒有考慮到電機(jī)動態(tài)特性對于控制效果的影響。

針對考慮未知負(fù)載力矩和模型誤差等不確定性以及電機(jī)動態(tài)特性的機(jī)械臂系統(tǒng)，設(shè)計了新型終端滑模面來克服傳統(tǒng)滑模面的抖振現(xiàn)象，并且提出了終端滑模魯棒控制律，同時引入自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來準(zhǔn)確估計不確定性，最終實現(xiàn)了對機(jī)械臂的高精度魯棒控制。

1 建立機(jī)械臂系統(tǒng)模型

機(jī)械臂系統(tǒng)是一種通過機(jī)械連接的多關(guān)節(jié)、多自由度自動化系統(tǒng)，在工農(nóng)業(yè)領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用，結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

機(jī)械臂系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為[14]：

(1)

(2)

假設(shè)各關(guān)節(jié)與電機(jī)之間的機(jī)械齒輪比為N=diag{n1,…，nn}，則：

(3)

(4)

式中：im∈Rn表示電機(jī)的輸入電流；Km∈Rn×n表示電機(jī)的力矩系數(shù)。

由式(1)～(4)可以得到，考慮電機(jī)動態(tài)特性的機(jī)械臂系統(tǒng)模型為：

(5)

(6)

在實際工作過程中，無法準(zhǔn)確測量負(fù)載力矩；另外，機(jī)械臂系統(tǒng)是一種非線性復(fù)雜系統(tǒng)，很難建立精確的數(shù)學(xué)模型。為了提高所設(shè)計控制律的工程應(yīng)用性，必須考慮未知負(fù)載力矩和模型誤差的影響?；谝陨戏治?，考慮未知負(fù)載力矩和模型誤差等不確定性的機(jī)械臂系統(tǒng)模型為：

(7)

式中：ρ表示不確定性總和。機(jī)械臂系統(tǒng)模型(7)滿足[15]：

性質(zhì)1：慣性矩陣Dm(θ)滿足：

(8)

式中：0≤d1≤d2；I∈Rn為單位矩陣。

(9)

2 魯棒控制律設(shè)計

針對考慮不確定性以及電機(jī)動態(tài)特性的機(jī)械臂系統(tǒng)(7)，引入終端滑模面來克服傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來估計不確定性，并設(shè)計了權(quán)值向量自適應(yīng)律來提高估計精度，然后在此基礎(chǔ)上設(shè)計了終端滑模魯棒控制律，最終實現(xiàn)機(jī)械臂系統(tǒng)的精確魯棒控制?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

2.1 終端滑模魯棒控制律設(shè)計

定義機(jī)械臂的角度、角速度和角加速度誤差為：

(10)

滑?？刂剖歉鶕?jù)系統(tǒng)偏離滑模面的程度來切換控制律的一種非線性控制方法，但是當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后，在趨近平衡點過程中，會來回穿越滑模面，發(fā)生抖振現(xiàn)象[16]，嚴(yán)重影響控制效果。為了克服傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩駟栴}，設(shè)計了終端滑模面如下：

(11)

在終端滑模面(11)的基礎(chǔ)上，設(shè)計魯棒控制律為：

(12)

式中：k>0；us為滑模切換項，具體表達(dá)式為：

(13)

2.2 不確定性估計

本小節(jié)設(shè)計自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來對不確定性ρ進(jìn)行估計，不確定性ρ的估計值為：

(14)

(15)

式中：ni表示中間向量；ωi表示高斯函數(shù)寬度。

(16)

式中：η>0。

(17)

2.3 穩(wěn)定性分析

定理1：針對考慮不確定性以及電機(jī)動態(tài)特性的機(jī)械臂系統(tǒng)模型(7)，設(shè)計終端滑模面(11)，魯棒控制律(12)和自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(14)，則機(jī)械臂系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。證明：由機(jī)械臂系統(tǒng)模型的性質(zhì)1和性質(zhì)2可以將模型(7)變形為：

(18)

將式(18)代入終端滑模面(11)可以得到：

(19)

將魯棒控制律(12)代入式(19)，化簡可以得到：

(20)

對式(20)求導(dǎo)可得：

(21)

考慮如下Lyapunov函數(shù)：

(22)

對上式求導(dǎo)可以得到：

(23)

將式(17)和式(21)代入式(23)，化簡得：

=-kSTus

(24)

由式(13)可以得到：

(25)

則由Lyapunov穩(wěn)定性定理可以得到，定理1成立，即在終端滑模面(11)，魯棒控制律(12)和自適應(yīng)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(14)的作用下，機(jī)械臂系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

3 仿真驗證與對比分析

3.1 實驗參數(shù)設(shè)置

利用Matlab進(jìn)行仿真驗證，機(jī)械臂系統(tǒng)模型參數(shù)[14]為：

仿真時間為25 s，機(jī)械臂系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

機(jī)械臂系統(tǒng)指令為：

θc=[(10ln(1+t))°,(5e0.08t)°]T；

進(jìn)一步可以得到:

設(shè)置不確定性為：

ρ=[(0.5sint)A,(0.5cost)A]T；

設(shè)置自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的終端滑模魯棒控制律參數(shù)如表1所示。

表1 魯棒控制律參數(shù)

3.2 關(guān)節(jié)1對比仿真結(jié)果

為了驗證本文自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)械臂終端滑模魯棒控制方法的優(yōu)越性，與文獻(xiàn)[17]的迭代滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行對比，關(guān)節(jié)1仿真結(jié)果如圖3～5所示。

由圖3～5的仿真圖可知：文獻(xiàn)[17]迭代滑?？刂品椒軌虼_保關(guān)節(jié)1基本跟蹤指令信號，但是響應(yīng)時間為3 s，角度、角速度和角加速度的跟蹤誤差比較大，分別在-2.5°～2.5°、-2°/s～2°/s和-2°/s2～2°/s2的范圍內(nèi)波動；而本文提出的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的終端滑模魯棒控制方法能夠確保關(guān)節(jié)1準(zhǔn)確跟蹤指令信號，響應(yīng)時間僅為0.5 s，響應(yīng)速度快，并且能夠有效補(bǔ)償不確定性的影響，角度、角速度和角加速度的跟蹤誤差分別小于0.1°、0.1°/s和0.1°/s2。通過對比，本文方法能夠?qū)崿F(xiàn)對機(jī)械臂系統(tǒng)的精確控制，并且能夠有效克服抖振現(xiàn)象。

3.3 關(guān)節(jié)2對比仿真結(jié)果

分別采用本文提出的控制方法與文獻(xiàn)[17]的迭代滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行對比，關(guān)節(jié)2的仿真結(jié)果如圖6～ 8所示。

關(guān)節(jié)2仿真結(jié)果的分析過程與關(guān)節(jié)1類似，同樣可以突出本文控制方法具有更好的魯棒性、穩(wěn)定性、準(zhǔn)確性和快速性，能夠有效克服抖振現(xiàn)象。

3.4 不確定性估計結(jié)果

為了驗證設(shè)計的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計不確定性的準(zhǔn)確性，與文獻(xiàn)[18]設(shè)計的滑模觀測器進(jìn)行對比，得到的仿真結(jié)果如圖9～10所示。

4 結(jié)語

針對考慮不確定性以及電機(jī)動態(tài)特性的機(jī)械臂系統(tǒng)，設(shè)計終端滑模來抑制抖振現(xiàn)象，利用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來估計不確定性，在此基礎(chǔ)上提出了一種采用自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的終端滑模魯棒控制方法。通過仿真驗證了提出的終端滑模魯棒控制方法能夠有效補(bǔ)償不確定性的影響，實現(xiàn)對機(jī)械臂轉(zhuǎn)動角度、角速度、角加速度的精確控制，最大跟蹤誤差僅為0.1°、0.1°/s和0.1°/s2；設(shè)計的終端滑?？刂品椒軌蛴行Э朔鹘y(tǒng)滑?？刂频亩墩瘳F(xiàn)象，提出的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠準(zhǔn)確估計不確定性，最大估計誤差僅為0.2 A，最終實現(xiàn)對機(jī)械臂系統(tǒng)的高精度魯棒控制。