王雅紅，潘 政，趙鵬程，張丁立，李 維，喬 月，林芃杉 ，Pascaline UMUHIRE，Tandong Christerbel BIN

(1.大連工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)教學(xué)部,遼寧 大連 116034；2.大連工業(yè)大學(xué) 輕工與化學(xué)工程學(xué)院,遼寧 大連 116034；3.大連工業(yè)大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院,遼寧 大連 116034；4.大連工業(yè)大學(xué) 國際教育學(xué)院,遼寧 大連 116034)

0 引 言

液體表面張力是由于液體表面層內(nèi)液體分子受力不平衡引起的，液體表面層內(nèi)分子受到了一個指向液體內(nèi)部的合引力作用，使得液體表面具有自動收縮的趨勢。因此液體表面就像一張被繃緊了的橡皮膜，使得表面層內(nèi)不同部分之間有張力存在，這種張力就稱為液體表面張力[1]。液體表面張力是表征液體性質(zhì)的一個重要參數(shù)，可用液體表面張力系數(shù)來描述[2]。幾乎所有的工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活都與表面張力原理有直接或間接關(guān)系，如噴灑農(nóng)藥、涂抹涂料、洗澡、刷牙、洗衣都與表面張力有關(guān)。

測量液體表面張力系數(shù)常用方法有毛細管法[3]、懸滴法[4]、最大氣泡壓力法[5]和拉脫法[6-7]等。其中，拉脫法具有方便快捷、操作簡單的特點，是目前常用的一種測量液體表面張力系數(shù)的方法。影響表面張力系數(shù)測量結(jié)果的因素很多，比如水膜質(zhì)量和金屬絲浮力，彈簧彈性系數(shù)及彈簧質(zhì)量等，但常規(guī)的測量方法中沒有考慮這些因素對測量結(jié)果的影響[8-11]。文獻[12]認為，水膜質(zhì)量可以忽略，金屬絲浮力對表面張力系數(shù)測量結(jié)果的影響不能忽略，但文中沒有定量分析水膜重力及金屬絲浮力對測量結(jié)果的影響是否顯著，是否具有統(tǒng)計學(xué)意義。

本測量方法利用焦利秤，基于拉脫法，用不同形狀的彈簧測量純凈水在20 ℃時的表面張力系數(shù)，探索水膜質(zhì)量、金屬絲浮力、彈簧質(zhì)量、彈簧形狀及彈簧彈性系數(shù)對液體表面張力系數(shù)測量結(jié)果的影響，提出一種非理想彈簧等效彈性系數(shù)測量方法，并通過實驗數(shù)據(jù)分析了其合理性。

1 拉脫法測量表面張力系數(shù)原理

液體表層內(nèi)分子力的宏觀表現(xiàn)，使液面具有收縮的趨勢。想象在液面上畫一條線，表面張力就表現(xiàn)為直線兩側(cè)的液體以一定的拉力相互作用。這種張力垂直于該直線且與線的長度成正比，比例系數(shù)稱為表面張力系數(shù)。測量裝置如圖1所示。圖1(a)為使用焦利秤的拉脫法測量液體表面張力系數(shù)原理圖；圖1(b)為П型金屬絲緊貼液面時的放大圖。此時，金屬絲受到3個力的作用，即彈簧豎直向上的拉力F1，金屬絲重力G1，金屬絲向上的浮力FB1，當系統(tǒng)達到平衡時，有

圖1 測量裝置圖Fig.1 Diagram of measuring instrument

F1+FB1=G1

(1)

圖1(c)是金屬絲拉出水面后形成的液膜破裂前的放大圖，金屬絲及液膜受到5個力的作用，即彈簧豎直向上的拉力F2，金屬絲重力G1，水膜重力G2，金屬絲向上的浮力FB2，液體表面張力T。當系統(tǒng)達到平衡時，有

F2+FB2=T+G1+G2

(2)

由式(1)、(2)可得

T=F-G2-FB

(3)

式中：FB為圖1(c)中露出液面的金屬絲在圖1(b)中所受的浮力。

T=2α(l+d)≈2αl

(4)

F=F2-F1=kΔy

(5)

式中：α為該液體表面張力系數(shù)，l為П形金屬絲兩腳間距離，d為金屬絲直徑，k為彈簧彈性系數(shù)，Δy為液膜形成前至液膜破裂時彈簧伸長量。

G2=ldhρg

(6)

式中：h為液膜高度，ρ為被測液體質(zhì)量密度，g為重力加速度。

FB=FB1-FB2=π(d/2)2(2h+l)ρg

(7)

由式(3)～(7)可得

(8)

式(8)即為利用拉脫法測定液體表面張力系數(shù)公式，待測量有k、l、d、Δy和h。

因為液膜質(zhì)量及金屬絲浮力遠小于彈簧彈力，所以實際測量時往往忽略這兩項，表面張力系數(shù)簡化為

(9)

2 非理想彈簧等效彈性系數(shù)定義

2.1 非理想彈簧等效質(zhì)量及等效彈性系數(shù)

拉脫法測量液體表面張力系數(shù)，首先要測量焦利秤所配彈簧彈性系數(shù)，常規(guī)方法是將彈簧豎直放置，然后在彈簧末端掛上質(zhì)量為m砝碼，測量彈簧的伸長量Δy，根據(jù)胡克定律，彈簧彈性系數(shù)為

(10)

這種測量方法是將彈簧視為理想彈簧，不計彈簧質(zhì)量，認為彈簧是均勻伸長的。但實際應(yīng)用的彈簧都是有質(zhì)量的非理想彈簧，豎直放置時，由于自身重力作用，彈簧是非均伸長的，尤其對于圓柱形彈簧，豎直放置時，由于重力作用，彈簧上端的變形程度大于下端。基于這種常規(guī)方法測量的彈性系數(shù)值要小于其真實值，根據(jù)式(8)或式(9)，這種常規(guī)方法測量的表面張力系數(shù)將偏離真實值。文獻[13]和[14]分別討論了豎直放置的圓柱形彈簧和圓錐形彈簧的等效質(zhì)量。設(shè)彈簧質(zhì)量為M，等效質(zhì)量為μ，則

(11)

(12)

式中：R1和R2分別是圓錐形彈簧的上、下半徑，R1

進一步假設(shè)因等效質(zhì)量引起的重力作用在彈簧質(zhì)心上，彈簧豎直放置時，由于自身重力作用，彈簧將伸長，設(shè)質(zhì)心的移動距離ΔYC，定義非理想彈簧等效彈性系數(shù)為

(13)

如果已知彈簧的等效質(zhì)量和由自身重力引起的質(zhì)心移動距離，可由式(13)計算非理想彈簧等效彈性系數(shù)。

2.2 勻質(zhì)圓柱形彈簧質(zhì)心移動距離的計算方法

設(shè)一質(zhì)量為M，質(zhì)量沿彈簧長度方向均勻分布的非理想彈簧，現(xiàn)將該彈簧等分成n段，每段看成勁度系數(shù)為k，質(zhì)量為m的小彈簧，該均質(zhì)彈簧則由n個勁度系數(shù)為k，質(zhì)量為m的小彈簧串聯(lián)而成。當其豎直懸掛時，從上至下各小彈簧的伸長量分別Δy1，Δy2，…，Δyn，其中，質(zhì)心所在處的伸長量為Δyn/2。因為每個小彈簧受到彈簧自重引起的向下拉力不同，故有

(14)

(15)

設(shè)ΔYC=Δy1+Δy1+…+Δy1/2，ΔYC即為質(zhì)心處的移動距離，代入上式得

(16)

同理，將式(16)第1項至第n項相加得

(17)

其中，ΔY=Δy1+Δy1+…+Δyn為彈簧底端移動距離，即彈簧總伸長量。

當n→∞時，有

(18)

2.3 圓錐形彈簧質(zhì)心移動距離的計算方法

圖2為焦利秤所配備的圓錐形彈簧剖面圖，上下圓周半徑分別為R1和R2，彈簧豎直放置時，其自然長度為L，C點為彈簧質(zhì)心的位置，距離上端的距離為YC。如果沿著彈簧母線的方向單位長度的匝數(shù)相同，則圓錐形彈簧可以等效為一個勻質(zhì)分布的圓臺側(cè)面，其質(zhì)心的位置為

圖2 圓錐形彈簧截面圖Fig.2 Diagram of conical spring section

(19)

根據(jù)文獻[15]，一條長為l、半徑為r的金屬絲緊密纏繞成匝數(shù)為N、圓周半徑為R的圓柱形彈簧，均勻伸長時彈簧的勁度系數(shù)為

(20)

其中G為金屬絲剪切彈性模量。因此，當匝數(shù)相同時，彈簧圓周半徑越小，彈性系數(shù)越大。假設(shè)圓錐形彈簧是由無數(shù)個匝數(shù)相同的小圓柱形彈簧串聯(lián)而成，當其豎直放置靜止時，從下至上，小彈簧的彈性系數(shù)逐漸增大，但每個小彈簧受到的向下的重力逐漸增大，所以，可以粗略地假設(shè)每個小彈簧的伸長量相同。由(19)式可知，其質(zhì)心的移動距離為

(21)

式中：ΔL為圓錐形彈簧豎直放置時，由彈簧自重引起的彈簧總伸長量。

3 實驗結(jié)果與分析

實驗采用拉脫法，選用焦利秤測量彈簧的彈性系數(shù)及純凈水在20 ℃時的表面張力系數(shù)。

3.1 理想彈簧和非理想彈簧彈性系數(shù)的測量

焦利秤配備3種彈簧，分別用A、B、C來表示，其中A和B分別是金屬絲直徑為0.4和0.6 mm 的圓錐形彈簧，C是金屬絲直徑為0.4 mm 的圓柱形彈簧。用kmA、kmB、kmC標識常規(guī)方法測得的理想彈簧彈性系數(shù)，用kμA、kμB、kμC標識非理想彈簧等效彈性系數(shù)，表1是彈簧彈性系數(shù)的測量結(jié)果。由表1可知，對于每種型號的彈簧，其等效彈性系數(shù)均大于將其視為理想彈簧時測得的彈性系數(shù)。無論是理想彈簧還是非理想彈簧，A彈簧的彈性系數(shù)都是最小的，分別為kmA=0.294 N/m和kμA=0.370 N/m；B彈簧的彈性系數(shù)最大，分別為kmB=1.044 N/m和kμB=1.256 N/m；C彈簧的彈性系數(shù)介于兩者之間，分別為kmC=0.699 N/m和kμC=0.953 N/m。

表1 不同彈簧彈性系數(shù)測量結(jié)果Tab.1 Measurement results of the force constant of different springs

3.2 計入水膜重力及金屬絲浮力前后液體表面張力系數(shù)差異性分析

用不同型號彈簧測量表面張力系數(shù)，各測量5次，分別用理想彈簧彈性系數(shù)和非理想彈簧彈性系數(shù)計算計入水膜重力和金屬絲浮力前后液體表面張力系數(shù)，測量的平均值見圖3。由圖3可知，同一個彈簧，無論將其視為理想彈簧還是非理想彈簧，計入水膜重力及金屬絲浮力前后，表面張力系數(shù)測量結(jié)果不同，修正前的表面張力系數(shù)均值大于修正后的均值；表2是3種彈簧測量平均值統(tǒng)計描述，3個理想彈簧測得修正前后表面張力系數(shù)平均值分別是5.70×10-2和5.48×10-2N/m，修正前后均值差為2.2×10-3N/m；如果將彈簧視為非理想彈簧，則修正前后測量結(jié)果分別是7.24×10-2和7.01×10-2N/m，修正前后均值差為2.3×10-3N/m。

表2 計入重力及浮力前后水的表面張力系數(shù)平均值統(tǒng)計描述Tab.2 The statistical description of the mean value of water surface tension coefficient before and after taking into account of the gravity on the water film and the buoyancy on the metal wire

圖3 計入水膜重力及金屬絲浮力前后液體表面張力系數(shù)Fig.3 Liquid surface tension coefficients before and after taking into account of water film gravity and wire buoyancy

表3是獨立樣本t檢驗的結(jié)果，檢驗計入重力及浮力前后液體表面張力系數(shù)的差異是否顯著，是否具有統(tǒng)計學(xué)意義。由表3可以看出，對于理想彈簧和非理想彈簧，Levene方差齊次性檢驗的顯著性P值均大于0.05，說明表面張力系數(shù)測量結(jié)果具有方差齊次性，應(yīng)該選擇方差齊次性的t檢驗結(jié)果，即t=2.399(理想彈簧)和t=1.104(非理想彈簧)，相應(yīng)的t檢驗顯著性分別為P=0.023(<0.05)和P=0.279(>0.05)。所以，用理想彈簧測得的表面張力系數(shù)，計入重力及浮力前后表面張力系數(shù)測量結(jié)果差異顯著，這種差異具有統(tǒng)計學(xué)意義，不能忽略其對測量結(jié)果的影響；但對于非理想彈簧，這種差異沒有統(tǒng)計學(xué)意義，可以忽略水膜重力及金屬絲浮力對表面張力系數(shù)測量結(jié)果的影響。

表3 計入重力及浮力前后液體表面張力系數(shù)獨立樣本t檢驗Tab.3 Independent sample t test of liquid surface tension coefficient before and after considering buoyancy and gravity

3.3 彈簧彈性系數(shù)對表面張力系數(shù)測量結(jié)果的影響

3.3.1 測量結(jié)果單因素方差分析

由圖2可知，不同彈簧測量結(jié)果不同，將同一個彈簧視為理想彈簧和非理想彈簧，測量結(jié)果也不相同。由表4彈簧對液體表面張力系數(shù)影響可知，若將不同彈簧均視為理想彈簧，測量結(jié)果差異顯著性P值為0.865，大于0.05，說明如果不考慮彈簧質(zhì)量，不同型號彈簧測量結(jié)果差別不顯著；但如果將彈簧視為非理想彈簧，差異顯著性P值為0.002，遠小于0.05，說明不同型號的非理想彈簧的測量結(jié)果差異顯著。

表4 彈簧對液體表面張力系數(shù)影響的單因素方差分析Tab.4 One-way ANOVA for the influence of different springs on liquid surface tension coefficient

表5是單因素方差分析多重比較結(jié)果，分析理想彈簧和非理想彈簧測量結(jié)果差異顯著性。由表5可知，對于每一類型的彈簧，視為理想彈簧的測量結(jié)果均小于相應(yīng)的非理想彈簧測量結(jié)果，且差異顯著性P=0(<0.05)，所以這種差異具有顯著的統(tǒng)計學(xué)意義，說明彈簧質(zhì)量對測量結(jié)果的影響顯著，不能忽略彈簧質(zhì)量對測量結(jié)果的影響。

表5 理想彈簧和非理想彈簧測量液體表面張力系數(shù)結(jié)果比較Tab.5 Comparison between the surface tension coefficients measured by ideal springs and non-ideal springs

3.3.2 測量結(jié)果與標準值差異顯著性分析

表6是單樣本t檢驗結(jié)果，分析不同型號彈簧測得的表面張力系數(shù)與標準值之間差異的顯著性。純凈水在20 ℃時的表面張力系數(shù)標準值約為7.28×10-2N/m[16-17]，如果測量結(jié)果與標準值相差越小，則說明測量結(jié)果越準確。根據(jù)純凈水表面張力系數(shù)測量值與標準值可知(表6)，對于每一類型的彈簧，將其視為理想彈簧的測量結(jié)果均小于標準值，而且與標準值的差異顯著性P=0(<0.05)，說明這種差異具有明顯的統(tǒng)計學(xué)意義；若將彈簧視為非理想彈簧，其測量結(jié)果比視為理想彈簧的測量結(jié)果更接近標準值；非理想的錐形彈簧(即彈簧A和B)測量結(jié)果也小于標準值，差異顯著性P值分別為0.013和0.007，均小于0.05，說明這種差異也具有明顯的統(tǒng)計學(xué)意義；非理想柱形彈簧測量結(jié)果高于標準值，與標準值差的絕對值最最小，差異顯著性P值為0.216(大于0.05)，說明測量值與標準值的差沒有統(tǒng)計學(xué)意義，測量值與標準值差別不明顯。所以，柱形非理想彈簧的等效彈性系數(shù)是非常合理的，錐形彈簧有效彈性系數(shù)的處理方法雖然有一定的合理性，但還有待于進一步修正。

表6 表面張力系數(shù)測量值與標準值差異單樣本t檢驗Tab.6 The one-sample t test between measured and standard values of surface tension coefficients

3.4 不同彈簧單次測量精度分析

實驗過程中，用每個彈簧進行多次測量，因為各種誤差，每次測量結(jié)果不同，用標準差表示測量精度，標準差越大，測量精度越低;反之，標準差越小，測量精度越高。表7是用不同彈簧測量結(jié)果的統(tǒng)計性描述。根據(jù)表7的分析結(jié)果，無論將彈簧視為理想或非理想彈簧，彈簧A和C對應(yīng)的表面張力系數(shù)單次測量標準差分別具有最小值和最大值，而彈簧B對應(yīng)的標準差介于兩者之間，即柱形彈簧測量精度低于錐形的測量精度。根據(jù)前面的分析，用非理想柱形彈簧測量的表面張力系數(shù)最接近標準值，即非理想柱形彈簧的測量準確度最高，非理想柱形彈簧單次測量標準差最大(0.50×10-2N/m)，其測量精度偏低。

表7 純凈水表面張力系數(shù)測量結(jié)果統(tǒng)計性描述Tab.7 Statistical description of measurement results of surface tension coefficients of purified water

4 結(jié) 論

基于焦利秤和拉脫法，用3中不同類型的彈簧，分別將其視為理想和非理想彈簧測量純凈水在20 ℃表面張力系數(shù)，探索金屬絲浮力及水膜質(zhì)量、彈簧類型及彈簧質(zhì)量對測量結(jié)果的影響并分析彈簧類型對測量精度影響；并且提出一種非理想彈簧等效彈性系數(shù)的測量方法。

根據(jù)分析結(jié)果可知：(1)如果將彈簧視為理想彈簧，金屬絲浮力及水膜重力對表面張力系數(shù)測量結(jié)果的影響具有統(tǒng)計學(xué)意義，修正前后表面張力系數(shù)平均值的差異顯著；但在非理想彈簧條件下，這種差異不顯著，可以不計水膜重力和金屬絲浮力對表面張力系數(shù)測量結(jié)果的影響。(2)同一類型的彈簧，將其視為非理想彈簧的彈性系數(shù)大于相應(yīng)的理想彈簧彈性系數(shù)；非理想彈簧測量的表面張力系數(shù)高于理想彈簧的測量結(jié)果，而且兩者的差異具有明顯的統(tǒng)計學(xué)意義，說明彈簧質(zhì)量對測量結(jié)果的影響不能忽略。(3)無論是理想彈簧還是非理想彈簧，柱形彈簧測量精度都低于錐形彈簧測量精度。(4)非理想彈簧測量的液體表面張力系數(shù)平均值與標準值的絕對誤差小于理想彈簧的測量結(jié)果，而且這種差異具有明顯的統(tǒng)計學(xué)意義。如果用絕對誤差表示測量準確度的話，那么非理想彈簧測量結(jié)果準確度高于理想彈簧測量準確度，說明本文提出的測量非理想彈簧等效彈性系數(shù)的方法具有一定的合理性。尤其是對于柱形非理想彈簧，其測量結(jié)果與標準值差異沒有統(tǒng)計學(xué)意義，說明柱形非理想彈簧的等效彈性系數(shù)測量方法是非常合理的；但兩個錐形非理想彈簧的測量準確度雖然高于相應(yīng)的理想彈簧測量準確度，但與標準值的差異仍有明顯的統(tǒng)計學(xué)意義，說明本文測量錐形彈簧等效彈性系數(shù)的方法有待于進一步修正。