（華東交通大學 電氣與自動化工程學院，江西 南昌 330013）

0 引言

1922年，德國科學家首次系統(tǒng)地提出磁懸浮列車的設(shè)計構(gòu)想。由于磁浮列車運行時與軌道無摩擦接觸，因此具有高速、節(jié)能、平穩(wěn)等優(yōu)點。目前，已有眾多國家研究磁浮列車。相對而言，德、日兩國的技術(shù)先進而成熟[1]。我國對磁懸浮列車的研究起步較晚，始于20世紀80年代，國防科技大學于1989年成功研制我國首臺磁浮樣車。此后，經(jīng)過科技人員的不懈努力，我國已成為世界少數(shù)實現(xiàn)磁浮列車商業(yè)運營的國家之一[2]。

懸浮、導向和推進系統(tǒng)是磁浮列車的三大核心系統(tǒng)，導向系統(tǒng)對于磁浮列車的平穩(wěn)性和安全性等關(guān)鍵性能指標具有重大影響。目前，磁浮列車實現(xiàn)導向主要有常導吸引型電磁導向（EMS）和超導排斥型電動導向（EDS）方法[3]。從技術(shù)角度看，中低速工況下的導向技術(shù)已經(jīng)較為成熟。但是，在高速與超高速工況下，導向系統(tǒng)仍存在搖擺、運行不平穩(wěn)等問題。因此，鑒于導向系統(tǒng)的重要性及當前存在的問題，對導向系統(tǒng)進行深入探索具有重大研究價值。

1 導向系統(tǒng)數(shù)學模型的構(gòu)建

在工程實際中，多種復雜因素耦合干擾導向磁場，難以構(gòu)建導向系統(tǒng)的精確模型[5]。本文忽略導向電磁回路的少量漏磁，同時忽略鐵芯、導軌中的磁阻，認為所有磁勢均勻分布在導向氣隙。EMS型磁浮列車利用導軌線圈與導向線圈之間的電磁吸力實現(xiàn)導向（見圖1）。

圖1 雙電磁鐵導向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意

1.1 電磁力F的計算

設(shè)導向氣隙為x，導向電磁鐵橫截面積為S，空氣磁導率為μ0，氣隙磁路的磁阻為：

根據(jù)磁路基爾霍夫定律，可得：

其中N為線圈匝數(shù)，i為線圈電流，Φ為導向系統(tǒng)的磁通量

由（1）（2）式可得：

設(shè)導向電磁鐵工作在非磁飽和狀態(tài)，那么磁鏈為：

導向氣隙磁場的能量Wc（i,x）為：

2

由電磁力與磁場能量的關(guān)系，可得：

式中的“－”僅表示F方向。為方便計算，常數(shù)項用K表示，記為則

1.2 控制電壓u的計算

由電磁感應定律：

其中L為電磁線圈中電感，

導軌左右兩側(cè)安裝性能完全相同的導向電磁鐵，F(xiàn)1，F(xiàn)2為兩側(cè)電磁鐵對導軌的吸力，i0為電磁鐵偏置電流，Δi為控制電流，i1，i2為兩側(cè)電磁鐵繞組電流，x1，x2為兩側(cè)電磁鐵與導軌的氣隙。

當列車處于平衡位置時，左右氣隙x、電流i大小相等，電磁吸力F大小相等，方向相反。假設(shè)受到一個水平向右的外力Fd，系統(tǒng)將向右偏移，記偏移的位移為Δx，則左側(cè)的氣隙增大為x1=x0＋Δx，右側(cè)氣隙減小為x2=x0－Δx。傳感器檢測到位移變化，生成信號并傳遞給控制系統(tǒng)，調(diào)整左右兩邊線圈電流大小。右側(cè)電流減小為i1=i0－Δi，左側(cè)電流增大為i2=i0＋Δi。于是，左邊吸力變大，右邊吸力變小，吸力差值成為恢復力，列車向左移動回到原來位置。

此時，右側(cè)電磁吸力為：

左側(cè)電磁吸力為：

合電磁力為：

根據(jù)（8），得到電磁繞組電壓：

再考慮外力因素，得到水平方向的動力學方程：

綜合上述計算表達式，可得系統(tǒng)的動態(tài)模型方程組：

穩(wěn)定條件：F1=F2

2 系統(tǒng)模型線性化與狀態(tài)方程的建立

（14）式是非線性方程組，不便應用。為此，將式（9）、（10）在平衡點（x0，i0）處泰勒展開，并忽略高階項，泰勒展開過程如下：

Kx、Ki分別稱為位移和電流的剛度系數(shù)，則（17）式可寫為

接下來由（12）式可得：

因u0=Ri0

則式（19）在平衡點處進行線性化得：

綜上所述，方程組（2-14）在平衡點處經(jīng)過線性化后得到：

選擇（Δx,Δx.,Δi）作狀態(tài)變量，得到導向系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

其中，L0Kx=LxKi。

進一步得到系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

3 導向系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

由式（24）列出系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判斷表：

依據(jù)穩(wěn)定性分析理論，可判斷該系統(tǒng)不具有穩(wěn)定性，無法確保導向系統(tǒng)的氣隙穩(wěn)定[7]。因此為了使系統(tǒng)本質(zhì)穩(wěn)定，必須采取有效的系統(tǒng)鎮(zhèn)定措施。

4 結(jié)語

本文以EMS磁浮列車的導向系統(tǒng)為研究對象，運用電磁學、運動學、控制學等多學科理論構(gòu)建了懸浮系統(tǒng)的數(shù)學模型。由于所得模型是結(jié)構(gòu)簡單的線性數(shù)學模型，因此具有應用方便的優(yōu)點。需要指出的是，本模型忽略了懸浮系統(tǒng)的部分細微因素，與實際系統(tǒng)相比，存在一定誤差。在今后工作中，將定量研究誤差的大小及其對系統(tǒng)工作的影響。