唐鵬飛

（四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，成都 610066）

0 引 言

粗糙集理論是不確定性分析與智能計(jì)算的有效數(shù)學(xué)工具［1］。目前已廣泛應(yīng)用于屬性約簡、三支決策和粒度計(jì)算等領(lǐng)域［2－4］。

模糊粗糙集將粗糙集和模糊集理論相融合，結(jié)合了兩者在處理不確定問題方面的優(yōu)點(diǎn)［5］。目前基于該模型已有諸多研究，例如：文獻(xiàn)［6］基于模糊粗糙集提出一種快速約簡算法；文獻(xiàn)［7］基于距離尺度提出模糊粗糙集模型，定義新的依賴度函數(shù)，進(jìn)而構(gòu)建其約簡算法；文獻(xiàn)［8］提出廣義正交模糊粗糙集模型，并構(gòu)建了該模型的屬性約簡；文獻(xiàn)［9］引入決策熵到模糊鄰域粗糙集中，刻畫其不確定性?？梢娔：植诩且环N強(qiáng)健的模型結(jié)構(gòu)，值得進(jìn)一步推廣使用。

區(qū)間集決策表拓展了經(jīng)典決策表，其屬性值為兩個精確集（即用上下邊界集來表示一個不確定概念），從而具有更好的不確定性刻畫能力，當(dāng)前具有深入研究［10］。例如：文獻(xiàn)［11］基于優(yōu)勢關(guān)系，提出4 個基于粒度的區(qū)間集信息表的不確定性度量；文獻(xiàn)［12］將區(qū)間集引入到概率粗糙近似中，研究區(qū)間集概率粗糙集的單調(diào)性；文獻(xiàn)［13］基于δ－相似關(guān)系，研究區(qū)間集信息表的不確定性度量；文獻(xiàn)［14］提出決策條件熵刻畫區(qū)間集決策表的不確定性；文獻(xiàn)［15］提出修正δ－區(qū)間決策條件熵刻畫區(qū)間集決策表的不確定性。

綜上所述，基于模糊粗糙集的區(qū)間集決策表不確定性度量研究暫未發(fā)現(xiàn)。因此，本文將模糊粗糙集引入到區(qū)間集決策表，研究其不確定性度量。首先，基于模糊粗糙集，提出模糊近似粗糙度和模糊近似精度；其次，在信息論視角下，提出模糊粒結(jié)構(gòu)和模糊條件熵；最后，將兩者進(jìn)行信息集成，提出一種基于模糊粗糙集的混合不確定性度量，并研究了相關(guān)性質(zhì)。

1 預(yù)備知識

1.1 模糊粗糙集理論

模糊決策表記為FDS＝｛U，AT＝C∪D，V，f｝，其中論域U＝｛x1，x2，…，xn｝ 是一個非空有限對象集，C，D分別表示條件屬性集與決策屬性集，V＝∪a∈ATVa是屬性值集，f：U × AT→V是（x，a）→μa（x）的信息函數(shù)，這里μa（x）∈［0，1］ 表示對象x在屬性a下的屬性值。

定義1［5］在FDS中，模糊相似關(guān)系可由式（1）的相似度導(dǎo)出：

其中，RB（x，y）∈［0，1］ 表示對象x和y在屬性集B下的相似度。模糊相似關(guān)系可導(dǎo)出相應(yīng)的模糊相似類，式（2）：

以及模糊相似分類，式（3）：

決策劃分U／D＝｛D1，…，Dm｝，其中Dh（1 ≤h≤m）表示決策類。實(shí)際上Dh可以看成是一個特殊的模糊集，即式（4）：

其中，如果xj∈Dh，則Rhj＝1；如果xj?Dh，則Rhj＝0，1 ≤j≤n。

定義2［5］在FDS中，對象x在條件屬性集B下，關(guān)于模糊集的模糊下、上近似分別為式（5）：

1.2 區(qū)間集決策表

定義3描述了對象之間的關(guān)系，因?qū)ο笤跅l件屬性下的取值為區(qū)間集，帶有模糊性，考慮到模糊粗糙集模型處理模糊數(shù)據(jù)的優(yōu)越性，下面將其引入到區(qū)間集決策表研究不確定性度量。為此，首先建立模糊粗糙集模型。

2 基于模糊相似關(guān)系的模糊粗糙集模型

基于定義1、3，相似關(guān)系也可視為論域U上的二元模糊相似關(guān)系?；谀：嗨脐P(guān)系，定義條件屬性子集的模糊相似類及關(guān)系矩陣，推廣模糊上下近似算子，并研究其相關(guān)性質(zhì)。下面先給出模糊相似類的定義。

定義4設(shè)區(qū)間集決策表IDS＝｛U，AT＝C∪D，V，f｝，條件屬性子集B?C，B誘導(dǎo)的模糊相似關(guān)系記為為U上的決策模糊集，則模糊集關(guān)于屬性B的模糊下、上近似分別為式（7）：

3 區(qū)間集決策表的不確定性度量

經(jīng)典決策表的不確定性度量是基于等價(jià)關(guān)系提出的，不適用于區(qū)間集決策表。本節(jié)基于模糊粗糙集模型，定義區(qū)間集決策表不確定性度量的相關(guān)概念和性質(zhì)，并在理論上加以證明。

3.1 模糊近似粗糙度和模糊近似精度度量

基于模糊粗糙集模型，給出區(qū)間集決策表中的不確定性度量概念：模糊近似精度和模糊近似粗糙度。其通過粗糙集邊界域的視角去刻畫區(qū)間集決策表的不確定性。

定理3 表明，模糊近似精度、模糊近似粗糙度具有關(guān)于屬性的?；瘑握{(diào)性，能夠度量上、下近似產(chǎn)生的不確定性。

3.2 基于模糊條件熵的混合不確定性度量

模糊近似粗糙度從邊界域角度刻畫了區(qū)間集決策表的不確定性，忽略了知識劃分對區(qū)間集決策表不確定性的影響，下面引入模糊條件熵，提出一種基于模糊條件熵的混合不確定性度量來多角度地度量區(qū)間集決策表的不確定性。在此之前，先基于模糊相似關(guān)系，定義模糊粒結(jié)構(gòu)。

定理4設(shè)區(qū)間集決策表IDS＝｛U，AT＝C∪D，V，f｝，屬性子集A，B?C，由A，B決定的模糊粒結(jié)構(gòu)分別為G（A），G（B）。則下列結(jié)論成立。

（1）FH（D ｜A）≥0，F(xiàn)H（D ｜B）≥0

（2）如果G（B）＝G（A），則FH（D｜B）＝FH（D｜A）

（3）如果A?B，則FH（D ｜A）≥FH（D ｜B）

證明（1）由定義可知顯然成立。

定理4 表明，模糊條件熵滿足不確定性公理化定義的非負(fù)性、不變性、單調(diào)性，是一種有效的度量方式，但其只能刻畫粒化結(jié)構(gòu)的不確定性。

在定義8 中，模糊近似粗糙度從代數(shù)角度描述近似分類的不確定性，本質(zhì)上是衡量區(qū)間集決策表中所包含有效知識的量，而定義10 中模糊條件熵從信息角度度量?；Y(jié)構(gòu)的不確定性，本質(zhì)上是通過粒化結(jié)構(gòu)的每個粒子平均所含信息量的大小對不確定性進(jìn)行刻畫。由于模糊近似粗糙度和模糊條件熵兩者都滿足單調(diào)性，且兩者是從不同視角度量區(qū)間集決策表的不確定性，各自具有優(yōu)越性。因此，為了對區(qū)間集決策表的不確定性達(dá)到一種更為全面的評估，下面提出一種基于模糊條件熵的混合不確定性度量來刻畫區(qū)間集決策表的不確定性。

定義11設(shè)區(qū)間集決策表IDS＝｛U，AT＝C∪D，V，f｝，屬性子集B?C，決策劃分U／D關(guān)于B的模糊近似粗糙度與模糊條件熵分別為fρB（U／D），F(xiàn)H（D ｜B）。那么基于模糊條件熵的混合不確定性度量為式（20）：

定理5設(shè)區(qū)間集決策表IDS＝｛U，AT＝C∪D，V，f｝，屬性子集A?B?C，那么混合不確定性度量滿足式（21）：

基于定義11 的乘積融合定義，定理5 所述的?；瘑握{(diào)性自然成立?；旌喜淮_定性度量融合了模糊近似粗糙度和模糊條件信息熵的優(yōu)點(diǎn)，既能度量上、下近似產(chǎn)生的不確定性，又能表征?；Y(jié)構(gòu)變化時(shí)不確定性的變化，該度量與單一度量方式相比更加全面，可以彌補(bǔ)兩種度量之間的不足。

4 舉例分析

為了更好的說明本文提出的不確定性度量方法的有效性，下面通過一個實(shí)例來說明計(jì)算方法和結(jié)果。

舉例：區(qū)間集決策表IDS見表1［14］，其中U＝｛x1，x2，x3，x4，x5，x6｝，C＝｛a1，a2，a3｝，D＝｛d｝。

表1 區(qū)間集決策表Tab.1 Interval set decision table

通過計(jì)算得到屬性a1，a2，a3的模糊相似矩陣分別為。

假設(shè)A＝｛a1，a2｝，B＝｛a1，a2，a3｝，則屬性集A，B的模糊相似矩陣分別為SMA，SMB。

通過定義8 可得決策劃分U／D關(guān)于A，B的模糊近似精度和模糊近似粗糙度分別為：

fαA（U／D）＝0.42，fρA（U／D）＝0.58，

fαB（U／D）＝0.52，fρB（U／D）＝0.48，

fαA（U／D）≤fαB（U／D），fρA（U／D）≥fρB（U／D）。與定理3 一致。

通過定義10 可得決策劃分U／D關(guān)于A，B的模糊條件熵分別為：

FH（D ｜A）＝1.01，F(xiàn)H（D ｜B）＝0.97.

則FH（D ｜A）≥FH（D ｜B），與定理4 一致。

通過定義11 可得決策劃分U／D關(guān)于A，B的混合不確定性度量分別為：

FMUM（D ｜A）＝0.59，F(xiàn)MUM（D ｜B）＝0.46。

則FMUM（D ｜A）≥FMUM（D ｜B），與定理5一致。

5 結(jié)束語

本文通過引入模糊粗糙集模型，定義模糊近似粗糙度和模糊條件熵，并將兩者進(jìn)行信息融合，提出一種基于模糊條件熵的混合不確定性度量，其從兩個不同的角度刻畫區(qū)間集決策表的不確定性，是一種更加全面、有效的度量方法。實(shí)例表明，所提度量對研究區(qū)間集決策表的不確定性具有指導(dǎo)作用。在未來工作中，可將本文所提度量用于構(gòu)建區(qū)間集決策表的屬性約簡。