李卓

1基于“學習起點”的數(shù)學教學設計

1.1引導學生進行探究學習

教材中的合作學習、探究等教學內(nèi)容并不一定符合學生數(shù)學學習的現(xiàn)實起點.教師要關注學生本身已有的知識水平和活動經(jīng)驗，對學習目標進行深入思考，真正理解學生，根據(jù)學習起點設定合理的學習目標，讓更多的學生參與到課堂中的自主探究、合作交流等環(huán)節(jié).

1.2實現(xiàn)問題驅(qū)動、發(fā)展學生思維

在“學為中心”的課堂里，需要思考如何幫助學生學習的問題設計.初中數(shù)學學習過程中概念的形成、結論的推導、方法的思考、問題的發(fā)現(xiàn)提出和分析解決、規(guī)律的揭示和證明、習題的解決等過程是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力的良好載體.教師要思考如何挖掘這些內(nèi)容的思維因素，學生數(shù)學思維水平應達到何種程度等.

1.3學為中心理念的價值追求

“學為中心”的核心理念是以學生的學習為中心，鼓勵學生自己學，教會學生如何學，今后不教也能學.教師通過搭建一定的“腳手架”引導學生學習，啟發(fā)學生思考.數(shù)學教學應注重建立知識之間及知識與應用情境之間的關聯(lián)，優(yōu)化知識結構，深化知識理解，體驗數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學認知加工水平.

2實踐“學習起點”數(shù)學教學的不同路徑

2.1基于“學習起點”，重視整體性教學

教材內(nèi)容是靜態(tài)的，為了有效地把握教材內(nèi)容及學生的學習起點，要采取“化靜為動”的策略，整體教學就是其中常用的一種方式.教學的“整體教學”就是要用數(shù)學的“高觀點”、學習的“長任務”、教學的“大問題”來將數(shù)學知識中的相同或相似甚至相對、相反的意義模塊進行統(tǒng)整、優(yōu)化、組合，使得數(shù)學知識成為更有生長力的結構體.

筆者在執(zhí)教八年級下冊《反比例函數(shù)》一課時，基于“學習起點”嘗試采用了“整體教學”的教學策略.本節(jié)課是“反比例函數(shù)”的章起始課，是在學習了平面直角坐標系和一次函數(shù)的基礎上進行研究的，又是今后學習其他函數(shù)的基礎。

課前思考環(huán)節(jié)為了了解學生的“學習起點”，即對于函數(shù)概念的認知，筆者提出了三個問題：（1）什么是函數(shù)？我們已經(jīng)學習過哪些函數(shù)？它們有無相互關系？（2）對于函數(shù)，要研究哪些內(nèi)容？研究過程是怎樣？（3）為什么要學習函數(shù)？它能幫助我們理解和解決哪些問題？

設計意圖三個問題是為了喚醒學生對于函數(shù)基本知識的回顧.實際教學看，學生的函數(shù)基礎知識、經(jīng)驗較好，對于本節(jié)課的準備比較充足，具有較高的“學習起點”，這為本節(jié)課的進一步開展奠定了良好的基礎.

自主探究環(huán)節(jié)利用“2，-1，=，x，y”這些數(shù)字、字母、符號及運算法則寫出y關于x的函數(shù)關系式.例如：y=2x-1，y=2x.

追問你能對這些函數(shù)進行分類嗎？分類的依據(jù)是什么？

學生展示了諸多不同的函數(shù)，包括一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)，甚至二次函數(shù)（y=x，y=x-1）.

設計意圖發(fā)現(xiàn)問題是提出問題的基礎，問題的設計需要開放，問題的解決需要有效方法，有“問題”的課堂才有意義.本問題的發(fā)散程度決定了每一位學生都能夠?qū)懗霾簧俸瘮?shù)表達式，做到了低起點、有層次.寫出一次函數(shù)、正比例函數(shù)，是對所學內(nèi)容的再次回顧，為新內(nèi)容的學習作出鋪墊.寫出反比例函數(shù)的表達式（三種不同形式），不僅能引出學習內(nèi)容，更能很好地引導學生思考.寫出二次函數(shù)則是學生思維的亮點，為今后學習二次函數(shù)埋下伏筆，對于初中階段函數(shù)的整體結構有了更好的理解.

學習小結小結環(huán)節(jié)筆者提出：我們是如何研究反比例函數(shù)的？從學習路徑和知識發(fā)展路徑兩方面讓學生體會到了研究反比例函數(shù)的必要性和價值.同時類比之前學習的正比例函數(shù)和一次函數(shù)，提問：接下來研究反比例函數(shù)什么內(nèi)容？學生從函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)、應用等四大視角掌握了研究函數(shù)的方法.這樣的小結厘清新知與舊知間的關系，歸納新知形成、發(fā)展、應用過程中蘊含的數(shù)學思想方法和問題解決的策略，幫助學生類比得到今后的學習方法.

2.2基于“學習起點”，立足核心素養(yǎng)發(fā)展的課堂教學

顧沛先生說，很多年的數(shù)學學習后，那些數(shù)學公式、定理、解題方法也許都會被忘記，但是形成的數(shù)學素養(yǎng)卻終身受用.數(shù)學素養(yǎng)是一種綜合素養(yǎng)的綜合，它必須以學生主動建構學習為基礎.在一次市優(yōu)質(zhì)課比賽中，筆者執(zhí)教了八年級上冊《等腰三角形的性質(zhì)定理2》.課前，基于“學習起點”，思考了兩個問題：教學目標是什么、教學目標如何指向核心素養(yǎng)？

（1）本課的教學目標

探索并證明等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）.

達成目標的標志：（1）能通過操作實驗，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)定理2，能把性質(zhì)2寫成三個命題，準確區(qū)分條件與結論，并能逐一證明.（2）能靈活運用性質(zhì)解決三角形中與垂直、角相等、線段相等有關的問題.

（2）教學目標需指向核心素養(yǎng)

本課關系最大的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的是邏輯推理，其次是數(shù)學抽象、直觀想象.

①指向邏輯推理素養(yǎng)的學習目標分析

一是演繹.學會有邏輯地表達與交流，主要在兩個方面：一是把性質(zhì)2寫成三個命題，準確區(qū)分條件與結論，并能逐一證明;二是靈活運用性質(zhì)解決三角形中與垂直、角相等、線段相等有關的問題.本課中的例4的尺規(guī)作圖應是性質(zhì)的應用，作為第二方面處理.顯然尺規(guī)作圖雖然是操作，但其價值卻是邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展的載體.

二是類比.用研究幾何圖形的一般觀念研究等腰三角形的性質(zhì).主要包括兩個層面，一是類比研究一般三角形的思路（定義、性質(zhì)、判定）得到等腰三角形的研究內(nèi)容（定義、性質(zhì)、判定），這不是本課重點.二是類比研究一般三角形性質(zhì)的思路（先研究邊、角等要素的關系，再研究三角形的角平分線、中線、高線等相關要素）確定本課的研究對象.

②指向直觀想象素養(yǎng)的學習目標分析

本課需要發(fā)展的直觀想象素養(yǎng)主要有：（1）利用幾何圖形描述問題.能通過操作實驗，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)2，能把性質(zhì)2寫成三個命題，準確區(qū)分條件與結論.（2）運用空間想象認識事物.借助幾何圖形，在運動變化中發(fā)現(xiàn)圖形的特殊的位置關系和數(shù)量關系，從而發(fā)現(xiàn)圖形的特殊性質(zhì).

③指向數(shù)學抽象素養(yǎng)的學習目標分析

本課需要發(fā)展的數(shù)學抽象素養(yǎng)主要有：（1）命題的提出.由圖形歸納相關要素（等腰三角形的角平分線、中線、高線）的關系，得到性質(zhì)定理.（2）方法的形成.三線合一的問題實際上是三個命題，需要準確區(qū)分條件與結論，并逐一證明.同時，通過定理的學習，掌握了新的證明垂直、線段相等、角相等的方法.利用節(jié)前語問題，需要學生明確是利用了性質(zhì)中哪一個條件得到相應的結論，不能混為一談.

2.3基于“學習起點”，實踐問題驅(qū)動式教學

中考復習階段，學生學什么、怎么學，教師教什么、怎么教是每一位老師經(jīng)常要面對的問題.在一次全區(qū)初中數(shù)學中考復習展示活動中，筆者執(zhí)教了《特殊三角形專題復習> -課，下面就此課例談談在專題復習課中如何關注“學習起點”進行教學設計.

（1）教學問題診斷分析：認知、差距、障礙、策略

①已具備的認知基礎

在八年級時，學生已經(jīng)學習了包括等腰三角形、直角三角形在內(nèi)的特殊三角形，具備對這些特殊三角形一定的了解，后續(xù)又學習了二次根式、特殊四邊形、相似三角形、解直角三角形等關聯(lián)知識.

②與本課目標的差距分析

由于復習課與新授課的時間間隔較長，學生對于特殊三角形的知識內(nèi)容遺忘較多，對于相關概念、定理的記憶提取模糊.

③可能存在的問題、障礙

本課涉及幾何解題時的正向思維與逆向思維、分類討論、特殊化、方程思想、轉化與化歸等多種數(shù)學思想.同時三角形知識之間的重新建構也需要學生有一定思維習慣.

④應對策略

通過自主探究操作、計算、證明等多種形式，幫助學生逐步理清等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的概念，以及包含特殊線段在內(nèi)的基本圖形，通過中考真題的變式訓練，幫助學生理解特殊三角形的本質(zhì)特征與核心知識.通過小結，幫助學生不僅能掌握本節(jié)課基本知識、基本技能，還能更進一步地理解數(shù)學學習的基本思想方法、基本活動經(jīng)驗.

（2）引入部分教學設計

問題1你能利用三角尺、量角器、圓規(guī)判斷△ABC的形狀嗎？

問題2若沒有任何工具，你還能判斷△ABC的形狀嗎？

設計說明通過問題1讓學生回憶判定三角形的形狀可以從邊、角兩個方面入手，完成思維熱身.在沒有任何工具的情形下，還可以借助折疊的方式判斷三角形的形狀.

問題3 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，線段CE是∠C的角平分線，AB的垂直平分線PQ分別交AB，AC于點D，G，求AB邊上的中線CD、高線CH、角平分線CE、線段DG的長.

設計意圖讓學生熟練使用斜中線定理求直角三角形斜邊中線的長，利用等積法求斜邊上的高.讓學生遇到45°時能自然地想到構造等腰直角三角形，并利用其良好的性質(zhì)解決問題，通過聯(lián)想條件與結論掌握添輔助線的方法.變式關鍵條件是垂直平分線，通過構造直角三角形，將求DG的長轉化為求AG的長，可以設元后利用勾股定理得到邊之間的數(shù)量關系.

（3）小結部分教學設計

問題4我們今天復習了什么知識？特殊三角形與一般三角形的聯(lián)系與區(qū)別是什么？研究特殊三角形可以從哪兩個方向入手？

設計意圖通過小結讓學生獲得研究幾何問題的通性通法，培養(yǎng)幾何直觀、邏輯推理、創(chuàng)新精神等數(shù)學核心素養(yǎng).

基于“學習起點”的專題復習課需要關注學生主體，注重教學目標“低起點、高立意”，需要重視教材研究，明晰知識生長脈絡與生長點，需要創(chuàng)新教學設計，實現(xiàn)復而不重、習之得法.

3“學習起點”教學再思考

3.1基于“學習起點”，學生主動學習得到激發(fā)

基于“學習起點”的初中數(shù)學教學以學生的已有認知基礎為出發(fā)點，充分體現(xiàn)數(shù)學活動的“低起點”，更加關注學生的知識水平和已有經(jīng)驗，激發(fā)學生學習興趣，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學習慣，主動學習的意識有較大的提升.

3.2基于“學習起點”，學生高階思維不斷發(fā)展

教學設計要定位在數(shù)學思考.通過“整體教學”、“問題驅(qū)動”等學生學習方式的變革，學生由被動、惰性的學習轉變?yōu)橛幸饬x的學習，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力、批判性思維等高階思維.數(shù)學課堂上，學生能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，逐步形成了問題意識，革新了自己的認知方式、思維方式乃至行動方式.

3.3基于“學習起點”，學生第一理念落實于課堂

教師需要不斷思考：學生起點在哪里？學習的認知障礙會在何時出現(xiàn)？如何在知識的基礎上進行概括，揭示知識中蘊含的數(shù)學思想方法，在教學過程中進行滲透.教師需要經(jīng)過充分的分析、篩選、提煉數(shù)學教材中蘊含的數(shù)學思想方法，熟知數(shù)學學科知識的整體結構，把握知識體系的核心，理解學科本質(zhì)與內(nèi)涵.