李卓

1基于“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究學(xué)習(xí)

教材中的合作學(xué)習(xí)、探究等教學(xué)內(nèi)容并不一定符合學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn).教師要關(guān)注學(xué)生本身已有的知識(shí)水平和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行深入思考，真正理解學(xué)生，根據(jù)學(xué)習(xí)起點(diǎn)設(shè)定合理的學(xué)習(xí)目標(biāo)，讓更多的學(xué)生參與到課堂中的自主探究、合作交流等環(huán)節(jié).

1.2實(shí)現(xiàn)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、發(fā)展學(xué)生思維

在“學(xué)為中心”的課堂里，需要思考如何幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的問(wèn)題設(shè)計(jì).初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中概念的形成、結(jié)論的推導(dǎo)、方法的思考、問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)提出和分析解決、規(guī)律的揭示和證明、習(xí)題的解決等過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力的良好載體.教師要思考如何挖掘這些內(nèi)容的思維因素，學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平應(yīng)達(dá)到何種程度等.

1.3學(xué)為中心理念的價(jià)值追求

“學(xué)為中心”的核心理念是以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心，鼓勵(lì)學(xué)生自己學(xué)，教會(huì)學(xué)生如何學(xué)，今后不教也能學(xué).教師通過(guò)搭建一定的“腳手架”引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，啟發(fā)學(xué)生思考.數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)注重建立知識(shí)之間及知識(shí)與應(yīng)用情境之間的關(guān)聯(lián)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，深化知識(shí)理解，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知加工水平.

2實(shí)踐“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”數(shù)學(xué)教學(xué)的不同路徑

2.1基于“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”，重視整體性教學(xué)

教材內(nèi)容是靜態(tài)的，為了有效地把握教材內(nèi)容及學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，要采取“化靜為動(dòng)”的策略，整體教學(xué)就是其中常用的一種方式.教學(xué)的“整體教學(xué)”就是要用數(shù)學(xué)的“高觀(guān)點(diǎn)”、學(xué)習(xí)的“長(zhǎng)任務(wù)”、教學(xué)的“大問(wèn)題”來(lái)將數(shù)學(xué)知識(shí)中的相同或相似甚至相對(duì)、相反的意義模塊進(jìn)行統(tǒng)整、優(yōu)化、組合，使得數(shù)學(xué)知識(shí)成為更有生長(zhǎng)力的結(jié)構(gòu)體.

筆者在執(zhí)教八年級(jí)下冊(cè)《反比例函數(shù)》一課時(shí)，基于“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”嘗試采用了“整體教學(xué)”的教學(xué)策略.本節(jié)課是“反比例函數(shù)”的章起始課，是在學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系和一次函數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，又是今后學(xué)習(xí)其他函數(shù)的基礎(chǔ)。

課前思考環(huán)節(jié)為了了解學(xué)生的“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”，即對(duì)于函數(shù)概念的認(rèn)知，筆者提出了三個(gè)問(wèn)題：（1）什么是函數(shù)？我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)哪些函數(shù)？它們有無(wú)相互關(guān)系？（2）對(duì)于函數(shù)，要研究哪些內(nèi)容？研究過(guò)程是怎樣？（3）為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)？它能幫助我們理解和解決哪些問(wèn)題？

設(shè)計(jì)意圖三個(gè)問(wèn)題是為了喚醒學(xué)生對(duì)于函數(shù)基本知識(shí)的回顧.實(shí)際教學(xué)看，學(xué)生的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)較好，對(duì)于本節(jié)課的準(zhǔn)備比較充足，具有較高的“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”，這為本節(jié)課的進(jìn)一步開(kāi)展奠定了良好的基礎(chǔ).

自主探究環(huán)節(jié)利用“2，-1，=，x，y”這些數(shù)字、字母、符號(hào)及運(yùn)算法則寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.例如：y=2x-1，y=2x.

追問(wèn)你能對(duì)這些函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)嗎？分類(lèi)的依據(jù)是什么？

學(xué)生展示了諸多不同的函數(shù)，包括一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)，甚至二次函數(shù)（y=x，y=x-1）.

設(shè)計(jì)意圖發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是提出問(wèn)題的基礎(chǔ)，問(wèn)題的設(shè)計(jì)需要開(kāi)放，問(wèn)題的解決需要有效方法，有“問(wèn)題”的課堂才有意義.本問(wèn)題的發(fā)散程度決定了每一位學(xué)生都能夠?qū)懗霾簧俸瘮?shù)表達(dá)式，做到了低起點(diǎn)、有層次.寫(xiě)出一次函數(shù)、正比例函數(shù)，是對(duì)所學(xué)內(nèi)容的再次回顧，為新內(nèi)容的學(xué)習(xí)作出鋪墊.寫(xiě)出反比例函數(shù)的表達(dá)式（三種不同形式），不僅能引出學(xué)習(xí)內(nèi)容，更能很好地引導(dǎo)學(xué)生思考.寫(xiě)出二次函數(shù)則是學(xué)生思維的亮點(diǎn)，為今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)埋下伏筆，對(duì)于初中階段函數(shù)的整體結(jié)構(gòu)有了更好的理解.

學(xué)習(xí)小結(jié)小結(jié)環(huán)節(jié)筆者提出：我們是如何研究反比例函數(shù)的？從學(xué)習(xí)路徑和知識(shí)發(fā)展路徑兩方面讓學(xué)生體會(huì)到了研究反比例函數(shù)的必要性和價(jià)值.同時(shí)類(lèi)比之前學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)和一次函數(shù)，提問(wèn)：接下來(lái)研究反比例函數(shù)什么內(nèi)容？學(xué)生從函數(shù)概念、圖象、性質(zhì)、應(yīng)用等四大視角掌握了研究函數(shù)的方法.這樣的小結(jié)厘清新知與舊知間的關(guān)系，歸納新知形成、發(fā)展、應(yīng)用過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和問(wèn)題解決的策略，幫助學(xué)生類(lèi)比得到今后的學(xué)習(xí)方法.

2.2基于“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”，立足核心素養(yǎng)發(fā)展的課堂教學(xué)

顧沛先生說(shuō)，很多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，那些數(shù)學(xué)公式、定理、解題方法也許都會(huì)被忘記，但是形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)卻終身受用.數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一種綜合素養(yǎng)的綜合，它必須以學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)學(xué)習(xí)為基礎(chǔ).在一次市優(yōu)質(zhì)課比賽中，筆者執(zhí)教了八年級(jí)上冊(cè)《等腰三角形的性質(zhì)定理2》.課前，基于“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”，思考了兩個(gè)問(wèn)題：教學(xué)目標(biāo)是什么、教學(xué)目標(biāo)如何指向核心素養(yǎng)？

（1）本課的教學(xué)目標(biāo)

探索并證明等腰三角形的性質(zhì)（三線(xiàn)合一）.

達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志：（1）能通過(guò)操作實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)定理2，能把性質(zhì)2寫(xiě)成三個(gè)命題，準(zhǔn)確區(qū)分條件與結(jié)論，并能逐一證明.（2）能靈活運(yùn)用性質(zhì)解決三角形中與垂直、角相等、線(xiàn)段相等有關(guān)的問(wèn)題.

（2）教學(xué)目標(biāo)需指向核心素養(yǎng)

本課關(guān)系最大的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的是邏輯推理，其次是數(shù)學(xué)抽象、直觀(guān)想象.

①指向邏輯推理素養(yǎng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)分析

一是演繹.學(xué)會(huì)有邏輯地表達(dá)與交流，主要在兩個(gè)方面：一是把性質(zhì)2寫(xiě)成三個(gè)命題，準(zhǔn)確區(qū)分條件與結(jié)論，并能逐一證明;二是靈活運(yùn)用性質(zhì)解決三角形中與垂直、角相等、線(xiàn)段相等有關(guān)的問(wèn)題.本課中的例4的尺規(guī)作圖應(yīng)是性質(zhì)的應(yīng)用，作為第二方面處理.顯然尺規(guī)作圖雖然是操作，但其價(jià)值卻是邏輯推理素養(yǎng)發(fā)展的載體.

二是類(lèi)比.用研究幾何圖形的一般觀(guān)念研究等腰三角形的性質(zhì).主要包括兩個(gè)層面，一是類(lèi)比研究一般三角形的思路（定義、性質(zhì)、判定）得到等腰三角形的研究?jī)?nèi)容（定義、性質(zhì)、判定），這不是本課重點(diǎn).二是類(lèi)比研究一般三角形性質(zhì)的思路（先研究邊、角等要素的關(guān)系，再研究三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高線(xiàn)等相關(guān)要素）確定本課的研究對(duì)象.

②指向直觀(guān)想象素養(yǎng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)分析

本課需要發(fā)展的直觀(guān)想象素養(yǎng)主要有：（1）利用幾何圖形描述問(wèn)題.能通過(guò)操作實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)2，能把性質(zhì)2寫(xiě)成三個(gè)命題，準(zhǔn)確區(qū)分條件與結(jié)論.（2）運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物.借助幾何圖形，在運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)現(xiàn)圖形的特殊的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)圖形的特殊性質(zhì).

③指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)分析

本課需要發(fā)展的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)主要有：（1）命題的提出.由圖形歸納相關(guān)要素（等腰三角形的角平分線(xiàn)、中線(xiàn)、高線(xiàn)）的關(guān)系，得到性質(zhì)定理.（2）方法的形成.三線(xiàn)合一的問(wèn)題實(shí)際上是三個(gè)命題，需要準(zhǔn)確區(qū)分條件與結(jié)論，并逐一證明.同時(shí)，通過(guò)定理的學(xué)習(xí)，掌握了新的證明垂直、線(xiàn)段相等、角相等的方法.利用節(jié)前語(yǔ)問(wèn)題，需要學(xué)生明確是利用了性質(zhì)中哪一個(gè)條件得到相應(yīng)的結(jié)論，不能混為一談.

2.3基于“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”，實(shí)踐問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)

中考復(fù)習(xí)階段，學(xué)生學(xué)什么、怎么學(xué)，教師教什么、怎么教是每一位老師經(jīng)常要面對(duì)的問(wèn)題.在一次全區(qū)初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)展示活動(dòng)中，筆者執(zhí)教了《特殊三角形專(zhuān)題復(fù)習(xí)> -課，下面就此課例談?wù)勗趯?zhuān)題復(fù)習(xí)課中如何關(guān)注“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

（1）教學(xué)問(wèn)題診斷分析：認(rèn)知、差距、障礙、策略

①已具備的認(rèn)知基礎(chǔ)

在八年級(jí)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了包括等腰三角形、直角三角形在內(nèi)的特殊三角形，具備對(duì)這些特殊三角形一定的了解，后續(xù)又學(xué)習(xí)了二次根式、特殊四邊形、相似三角形、解直角三角形等關(guān)聯(lián)知識(shí).

②與本課目標(biāo)的差距分析

由于復(fù)習(xí)課與新授課的時(shí)間間隔較長(zhǎng)，學(xué)生對(duì)于特殊三角形的知識(shí)內(nèi)容遺忘較多，對(duì)于相關(guān)概念、定理的記憶提取模糊.

③可能存在的問(wèn)題、障礙

本課涉及幾何解題時(shí)的正向思維與逆向思維、分類(lèi)討論、特殊化、方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸等多種數(shù)學(xué)思想.同時(shí)三角形知識(shí)之間的重新建構(gòu)也需要學(xué)生有一定思維習(xí)慣.

④應(yīng)對(duì)策略

通過(guò)自主探究操作、計(jì)算、證明等多種形式，幫助學(xué)生逐步理清等腰三角形、直角三角形、等邊三角形、等腰直角三角形的概念，以及包含特殊線(xiàn)段在內(nèi)的基本圖形，通過(guò)中考真題的變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生理解特殊三角形的本質(zhì)特征與核心知識(shí).通過(guò)小結(jié)，幫助學(xué)生不僅能掌握本節(jié)課基本知識(shí)、基本技能，還能更進(jìn)一步地理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（2）引入部分教學(xué)設(shè)計(jì)

問(wèn)題1你能利用三角尺、量角器、圓規(guī)判斷△ABC的形狀嗎？

問(wèn)題2若沒(méi)有任何工具，你還能判斷△ABC的形狀嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明通過(guò)問(wèn)題1讓學(xué)生回憶判定三角形的形狀可以從邊、角兩個(gè)方面入手，完成思維熱身.在沒(méi)有任何工具的情形下，還可以借助折疊的方式判斷三角形的形狀.

問(wèn)題3 Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，線(xiàn)段CE是∠C的角平分線(xiàn)，AB的垂直平分線(xiàn)PQ分別交AB，AC于點(diǎn)D，G，求AB邊上的中線(xiàn)CD、高線(xiàn)CH、角平分線(xiàn)CE、線(xiàn)段DG的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生熟練使用斜中線(xiàn)定理求直角三角形斜邊中線(xiàn)的長(zhǎng)，利用等積法求斜邊上的高.讓學(xué)生遇到45°時(shí)能自然地想到構(gòu)造等腰直角三角形，并利用其良好的性質(zhì)解決問(wèn)題，通過(guò)聯(lián)想條件與結(jié)論掌握添輔助線(xiàn)的方法.變式關(guān)鍵條件是垂直平分線(xiàn)，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，將求DG的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求AG的長(zhǎng)，可以設(shè)元后利用勾股定理得到邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（3）小結(jié)部分教學(xué)設(shè)計(jì)

問(wèn)題4我們今天復(fù)習(xí)了什么知識(shí)？特殊三角形與一般三角形的聯(lián)系與區(qū)別是什么？研究特殊三角形可以從哪兩個(gè)方向入手？

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)小結(jié)讓學(xué)生獲得研究幾何問(wèn)題的通性通法，培養(yǎng)幾何直觀(guān)、邏輯推理、創(chuàng)新精神等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

基于“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”的專(zhuān)題復(fù)習(xí)課需要關(guān)注學(xué)生主體，注重教學(xué)目標(biāo)“低起點(diǎn)、高立意”，需要重視教材研究，明晰知識(shí)生長(zhǎng)脈絡(luò)與生長(zhǎng)點(diǎn)，需要?jiǎng)?chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)復(fù)而不重、習(xí)之得法.

3“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”教學(xué)再思考

3.1基于“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)得到激發(fā)

基于“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”的初中數(shù)學(xué)教學(xué)以學(xué)生的已有認(rèn)知基礎(chǔ)為出發(fā)點(diǎn)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的“低起點(diǎn)”，更加關(guān)注學(xué)生的知識(shí)水平和已有經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)習(xí)慣，主動(dòng)學(xué)習(xí)的意識(shí)有較大的提升.

3.2基于“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”，學(xué)生高階思維不斷發(fā)展

教學(xué)設(shè)計(jì)要定位在數(shù)學(xué)思考.通過(guò)“整體教學(xué)”、“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”等學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革，學(xué)生由被動(dòng)、惰性的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸饬x的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力、批判性思維等高階思維.數(shù)學(xué)課堂上，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，逐步形成了問(wèn)題意識(shí)，革新了自己的認(rèn)知方式、思維方式乃至行動(dòng)方式.

3.3基于“學(xué)習(xí)起點(diǎn)”，學(xué)生第一理念落實(shí)于課堂

教師需要不斷思考：學(xué)生起點(diǎn)在哪里？學(xué)習(xí)的認(rèn)知障礙會(huì)在何時(shí)出現(xiàn)？如何在知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行概括，揭示知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)過(guò)程中進(jìn)行滲透.教師需要經(jīng)過(guò)充分的分析、篩選、提煉數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，熟知數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)，把握知識(shí)體系的核心，理解學(xué)科本質(zhì)與內(nèi)涵.