李文秀，董大偉，徐昉輝，閆 兵，黃 燕

（西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都610031）

液壓減振器是一種有效耗能減振的被動(dòng)型裝置，具有阻尼產(chǎn)生方式簡單、可靠性高等特點(diǎn)，在建筑、鐵路、機(jī)械車輛等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1]。作為寬頻隔振系統(tǒng)的工作元件，液壓減振器的作用表現(xiàn)為兩方面，一是抑制被隔振物體的振動(dòng)幅度，二是降低傳遞到基礎(chǔ)的振動(dòng)，上述內(nèi)容對(duì)隔振元件的要求是相反的：在低頻域，為了抑制被隔振物體的振動(dòng)位移，隔振元件需要具有高剛度、大阻尼的特性；而在高頻域，為了降低基礎(chǔ)的傳遞力，隔振元件需表現(xiàn)為低剛度、小阻尼特性。但是液壓減振器在高頻振動(dòng)時(shí)，由于流體的慣性等因素會(huì)出現(xiàn)剛度動(dòng)態(tài)硬化的現(xiàn)象。因此為了使隔振裝置能夠更好地適應(yīng)衰減寬頻振動(dòng)的需要，有必要深入研究液壓減振器的高頻動(dòng)態(tài)特性。

現(xiàn)有的關(guān)于減振器的建模方法中：集中參數(shù)法不涉及具體阻尼和剛度[2-3]，機(jī)液一體化建模方法無法得出數(shù)學(xué)模型[4-5]，基于流體力學(xué)理論的建模方法不考慮流體的可壓縮性[6]，而基于液壓流體力學(xué)理論的建模方法考慮了流體體積模量的影響適用于中高頻激勵(lì)[7-8]。液壓減振器按結(jié)構(gòu)可分為單出桿型和雙出桿型，而雙出桿型減振器由于不需要體積補(bǔ)償結(jié)構(gòu)簡單，且因活塞兩端有支撐結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性相對(duì)較好，因而適用性更強(qiáng)[9]。目前采用液壓流體力學(xué)理論對(duì)減振器進(jìn)行建模的文獻(xiàn)，考慮了流體的體積模量，認(rèn)為流體可以壓縮且壓縮時(shí)會(huì)產(chǎn)生剛度[10]，但多是基于流動(dòng)模式減振器進(jìn)行研究，所建立的模型并不適用于雙出桿型液壓減振器，同時(shí)對(duì)流體的動(dòng)態(tài)剛度和阻尼隨頻率變化的研究較少，而實(shí)際上由于激振頻率的不同，活塞的運(yùn)動(dòng)速度也會(huì)不同，因此通過阻尼通道的體積流量也會(huì)發(fā)生變化導(dǎo)致流體的動(dòng)態(tài)阻尼和剛度發(fā)生變化[11-13]。

因此，本文將考慮流體慣性和流動(dòng)的局部損失等因素，建立能夠準(zhǔn)確反映高頻動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)解析模型，并通過臺(tái)架試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型預(yù)測高頻激勵(lì)下減振器輸出阻尼力的準(zhǔn)確度，最后探究了不同激振頻率對(duì)液壓減振器阻尼力的影響。

1 液壓減振器的工作模型

雙出桿型液壓減振器不存在復(fù)雜的閥結(jié)構(gòu)，其節(jié)流作用僅來自于上下液室的連接通道口，典型的雙出桿型液壓減振器結(jié)構(gòu)如圖1所示。活塞將減振器內(nèi)部空間分為上下兩個(gè)腔體，活塞受到正弦激勵(lì)時(shí)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，從而擠壓阻尼液使其通過阻尼通道在兩個(gè)腔室內(nèi)來回流動(dòng)，達(dá)到有效耗能減振的目的[14]。

圖1 液壓減振器

2 液壓減振器的動(dòng)力學(xué)建模

阻尼液的牛頓流體本構(gòu)方程如下：

式中：η0是阻尼液的黏度，γ˙是阻尼液的剪切應(yīng)變率，u(y)是阻尼液的流動(dòng)速度，τ 是阻尼液的剪切應(yīng)力。

在減振器的阻尼通道內(nèi)，阻尼液的流速分布如圖2所示。

圖2 阻尼通道內(nèi)阻尼液的流速分布圖

其中x 是軸向坐標(biāo)，y 是徑向坐標(biāo)，兩板之間的阻尼通道間隙為h，R1是活塞外徑，R2是缸筒內(nèi)徑。分析其微元受力，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律得到阻尼液流動(dòng)微分方程，即流體力學(xué)Navier-Stokes方程：

式中：ρ是阻尼液的密度，u(y)是阻尼液在通道內(nèi)的流速分布，t是時(shí)間，p是阻尼通道內(nèi)的壓力。在工程計(jì)算中，假定阻尼液為準(zhǔn)靜態(tài)流動(dòng)且沿流道長度方向（x軸方向）阻尼通道內(nèi)壓力梯度是一定的，則壓力梯度表達(dá)式可簡化為

式中：Δp是阻尼通道兩端壓強(qiáng)差，Lg是通道長度。

由上述假設(shè)可將式（2）簡化為

利用分離變量法解方程得：

式中：C為待定積分常數(shù)。

將阻尼液本構(gòu)方程式（1）代入控制方程式（5）得：

解微分方程得：

式中：C1、C2為待定積分常數(shù)。

代入邊界條件u(R1)=-v0，u(R2)=0，v0是活塞桿的速度，可得到C1、C2的值，將其代入式（7）得阻尼通道內(nèi)速度分布表達(dá)式：

由連續(xù)性定理，阻尼液流進(jìn)阻尼通道的體積等于活塞運(yùn)動(dòng)所占用的體積，即體積流量表示為

式中：Ap為活塞有效面積（即活塞截面積減去活塞桿的面積），v0為活塞桿的相對(duì)速度，Q為流經(jīng)阻尼通道的體積流量。

阻尼通道的阻尼液體積流量又可以由體積積分表達(dá)如下：

將式（8）代入式（10）得到阻尼通道的流動(dòng)損失表達(dá)式：

以液壓減振器中的阻尼元件作為研究對(duì)象，基于液壓動(dòng)力學(xué)理論，考慮流體體積模量，推導(dǎo)高頻激勵(lì)下減振器中的阻尼元件動(dòng)力學(xué)模型。圖3為阻尼活塞受力分析圖。

圖3 阻尼活塞受力分析

圖3中FRh為阻尼通道內(nèi)黏性損失所產(chǎn)生的摩阻，F(xiàn)Q為阻尼液在阻尼通道內(nèi)流動(dòng)產(chǎn)生的慣性力，F(xiàn)p1,Fp2分別是兩個(gè)腔室的壓力。

阻尼元件可以用直筒模型表述，工作過程中，部分流體從一個(gè)腔室流動(dòng)到另一個(gè)腔室時(shí)，由于體積模量的存在，還有一部分流體被壓縮。流體在兩個(gè)腔室的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用下面的微分方程來描述。

式中：V1、V2分別為兩個(gè)腔室的容積，P1、P2對(duì)應(yīng)兩個(gè)腔室內(nèi)部壓強(qiáng)，β為阻尼液的體積模量，反映了流體的可壓縮性。

對(duì)于液壓減振器的高頻激振，其振幅量級(jí)一般為毫米級(jí)，與阻尼器的尺寸相比，這種振動(dòng)造成的腔室容積變化可以忽略不計(jì)，因而假設(shè)阻尼器活塞往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)兩個(gè)腔室的容積相等，即：

對(duì)式（14）進(jìn)行一次微分得：

考慮黏性損失可以得到下面的式子：

式中：Ag為阻尼通道截面積，Δp·Ag為阻尼通道內(nèi)黏性損失所產(chǎn)生的摩阻（即FRh）ρLg˙為阻尼液在阻尼通道內(nèi)流動(dòng)產(chǎn)生的慣性力（即FQ）。把式（11）、式（13）、式（14）代入式（16）中可得：

式中：

對(duì)式(17)進(jìn)行拉普拉斯變換，化簡得到考慮流體體積模量及阻尼通道內(nèi)流體黏性損失時(shí)的壓差相對(duì)于激勵(lì)速度的傳遞函數(shù)表達(dá)式：

外界激勵(lì)為正弦速度激勵(lì)：

傳遞函數(shù)中極點(diǎn)的形式不同，則時(shí)域響應(yīng)的形式也會(huì)對(duì)應(yīng)不同，因而需要對(duì)極點(diǎn)的形式進(jìn)行討論。令式（18）中的分母等于零，然后取判別式：

當(dāng)判別式的正負(fù)不同時(shí)，壓差在時(shí)域的形式也會(huì)有所不同。可以看出A2,A4,A5與阻尼液密度，阻尼通道長度，流體體積模量，腔體的容積等因素有關(guān)，這些參數(shù)的取值影響了極點(diǎn)的分布。代入液壓減振器各參數(shù)值可知判別式為正，此時(shí)有兩個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)為s1、s2，則傳遞函數(shù)表示為

對(duì)式（21）進(jìn)行Laplace逆變換，得到壓差的時(shí)域解析表達(dá)式：

式中：

液壓減振器的阻尼力與活塞上下腔壓力差的關(guān)系為

利用MATLAB編寫程序，在給定阻尼器各結(jié)構(gòu)參數(shù)和活塞運(yùn)動(dòng)速度等條件下可以得出阻尼器的阻尼力。

3 液壓減振器臺(tái)架試驗(yàn)

為了驗(yàn)證所提出的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)制作了液壓減振器，如圖4所示。同時(shí)搭建了試驗(yàn)臺(tái)架，對(duì)設(shè)計(jì)的液壓減振器進(jìn)行了示功特性測試。

圖4 液壓減振器實(shí)物圖

在圖5所示的試驗(yàn)臺(tái)架上給活塞施加正弦激勵(lì)進(jìn)行測試，激振頻率范圍為0～100 Hz，試驗(yàn)得到液壓減振器的示功特性曲線。

圖5 試驗(yàn)臺(tái)架實(shí)物圖

液壓減振器在相同的位移幅值下，改變激振頻率，得到了如圖6所示的阻尼力隨活塞速度變化的曲線，由圖可知數(shù)學(xué)模型和試驗(yàn)數(shù)據(jù)較為一致，活塞的速度越大，液壓減振器的阻尼力也隨之增大且增速變大。這是由于激振頻率的增加會(huì)導(dǎo)致流體慣性力相對(duì)阻尼力的影響變大，造成液壓減振器高頻不易控制狀態(tài)，所以需要引入考慮流體慣性等因素的數(shù)學(xué)模型來修正由于高頻激振造成的阻尼力變化量。

圖6 阻尼力隨活塞速度的變化關(guān)系

圖7 部分激振頻率下的示功特性曲線

由圖7可以看出：隨著激振頻率的增加，阻尼力的幅值變大且示功圖的面積逐漸增大，這表明了液壓減振器的阻尼的增大和在一個(gè)循環(huán)中耗散的功的增大。同時(shí)，在不同激振頻率下理論示功曲線和試驗(yàn)示功曲線基本吻合，說明理論值與試驗(yàn)值基本一致，誤差較小。理論和試驗(yàn)值間出現(xiàn)的差異可能是由于在理論分析中，將阻尼通道內(nèi)的環(huán)境簡化為了理想環(huán)境并忽略了流體中有氣泡等因素造成的，這也說明本文所采用的分析方法是合理的。

圖8為液壓減振器在不同激振頻率下的示功特性曲線對(duì)比圖，從圖中可以看出，在激振位移幅值一定的情況下，隨著激振頻率的增加，示功圖面積不斷增大，阻尼耗能作用不斷增強(qiáng)；同時(shí)，激振頻率的增加還導(dǎo)致了示功圖的偏轉(zhuǎn)，這是由于頻率增加時(shí)，上下腔室內(nèi)流體的壓縮作用占主導(dǎo)作用，通過阻尼間隙流動(dòng)的流體變少，影響阻尼耗能效果。

圖8 不同激振頻率下的示功特性曲線對(duì)比

4 結(jié)語

利用牛頓流體本構(gòu)模型，基于流體力學(xué)N-S 方程，得到了阻尼通道處的流速分布，考慮流體慣性和流動(dòng)的局部損失等因素，建立了能夠準(zhǔn)確反映高頻動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)解析模型。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了相關(guān)的試驗(yàn)研究，結(jié)果表明液壓減振器的理論值和試驗(yàn)值在不同激振頻率下都能夠較好地吻合，因此本文所提出的數(shù)學(xué)解析模型是合理的，可以用于預(yù)測液壓減振器在不同激振頻率下所產(chǎn)生的阻尼力。