廣東省廣州市天河區(qū)教師發(fā)展中心(510650) 王西榮

1 問題提出

在深化課堂教學(xué)改革中, 高考命題突出立德樹人導(dǎo)向,重點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力. 在該理念下,數(shù)學(xué)教學(xué)更凸顯以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為基本導(dǎo)向[1].

解析近幾年全國高考課標(biāo)卷中對數(shù)列板塊的考查,大多題目是明確數(shù)列類型,如等差、等比數(shù)列,通過將題設(shè)條件轉(zhuǎn)換為數(shù)列基本量之間的方程或方程組,求解后確定首項(xiàng)與公差或公比這些基本量,進(jìn)而確定所求的等差數(shù)列或等比數(shù)列,屬于常規(guī)題型. 而近兩年的全國新高考Ⅰ卷中,對數(shù)列考查的題型發(fā)生改變,例如通過兩個不同的等差數(shù)列找公共項(xiàng)構(gòu)造一個新的等差數(shù)列進(jìn)行求和;或根據(jù)新定義分類求和;或遞推數(shù)列與等差數(shù)列結(jié)合,考查數(shù)列的通項(xiàng)及求和,其中涉及到分奇偶項(xiàng)討論. 可見,高考對數(shù)列知識板塊的考查注重數(shù)列概念的本質(zhì)及研究數(shù)列的策略、方法. 強(qiáng)調(diào)對必備知識、關(guān)鍵能力的考查,特別是對數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)、情境創(chuàng)設(shè)等環(huán)節(jié)的考查,并在考查中積極滲透和貫徹核心價值.

基于上述理解, 筆者帶領(lǐng)高三數(shù)學(xué)教師進(jìn)行數(shù)列板塊的區(qū)域備考時, 在一次區(qū)模擬測試中, 設(shè)計了這樣一道題目: 已知數(shù)列{an}中,an> 0,其前n 項(xiàng)和為Sn,且對任意n ∈N?, 都有(1)求a1、a2、a3, 并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列{(?1)nan}的前n 項(xiàng)和Tn.

閱卷發(fā)現(xiàn),學(xué)生對背景常規(guī),難度不大的數(shù)列求解存在較大問題,區(qū)得分率只有0.55. 錯因分析發(fā)現(xiàn): 大部分學(xué)生能記住公式,但對其通項(xiàng)公式的形式不理解,如只會用待定系數(shù)法求已知等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,對沒有給定數(shù)列類型、需要利用形式多變的遞推公式求通項(xiàng)公式的,束手無策;還有學(xué)生不知道數(shù)列是一個特殊的函數(shù),缺乏用函數(shù)的思想及歸納的思想解決問題的意識; 還有學(xué)生就是計算不過關(guān).難點(diǎn)在分奇偶項(xiàng)討論上. 這也暴露出新授課教學(xué)中,或以教輔材料為藍(lán)本,以題型訓(xùn)練帶新知學(xué)習(xí),只注重題目訓(xùn)練,不重視概念教學(xué);或重視概念,但為趕進(jìn)度,強(qiáng)行“投喂”,輕知識與概念的來龍去脈,不注重學(xué)生對知識的自主建構(gòu).

對此,筆者嘗試通過開設(shè)相關(guān)主題的區(qū)域公開課,研究基于新課標(biāo)及考試評價體系的數(shù)列教學(xué).

2 新課標(biāo)理念下的數(shù)列概念和專題教學(xué)案例解析

對于主題教學(xué),分概念課和小專題兩種課型教學(xué),概念課注重在教學(xué)設(shè)計上從函數(shù)的觀點(diǎn)入手,運(yùn)用觀察、歸納、運(yùn)算等方法研究數(shù)列,進(jìn)而重點(diǎn)研究兩種特殊數(shù)列的規(guī)律;小專題則從數(shù)學(xué)運(yùn)算及數(shù)據(jù)分析中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律入手,通過列舉、歸納和推理證明推導(dǎo)出非特殊數(shù)列的通項(xiàng)公式和求前n項(xiàng)和等相關(guān)問題.

2.1 概念教學(xué)指向必備知識落實(shí)

案例1: 人教版選擇性必修第二冊“4.1 數(shù)列的概念”教學(xué)過程節(jié)選

節(jié)選1: 創(chuàng)設(shè)情境,構(gòu)建概念

情境1:《莊子?天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”. 意思是如果把“一尺之棰”的長度看成單位“1”,則每天取其一半,永遠(yuǎn)都取不完[2].

問題1: 如何用數(shù)字來表示每一天剩余的單位長度?

第i 天 第1 天 第2 天 第3 天 第4 天 … 第n 天 …剩余單位長度(li)1 2 1 4 1 8 1 16… 1 2n …

情境2: 某種細(xì)胞,如果每個細(xì)胞每小時分裂為2 個,那么每過1 小時,1 個細(xì)胞分裂的個數(shù)依次為: 2,4,8,16,32,….

情境3: 王芳從1 歲到17 歲,每年生日那天測量身高. 將這些身高數(shù)據(jù)(單位: cm)依次排成一列數(shù): 75, 87, 96, 103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168.

情境4: 在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版(編號K90、約產(chǎn)生于公元前7 世紀(jì))上、有一列依次表示一個月中從第1 天到第15 天每天月亮可見部分的數(shù): 5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.

情境6: 無窮個1 排列成一列數(shù): 1,1,1,1,….

【設(shè)計思路】創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)興趣. 利用多媒體呈現(xiàn)教材中和補(bǔ)充的、涉及數(shù)學(xué)文化、學(xué)科間知識融合、生活實(shí)際及數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)等6 個情境. 這些情境蘊(yùn)涵了不同類型的數(shù)列,為學(xué)生了解數(shù)列概念、數(shù)列分類、數(shù)列是一種特殊的函數(shù)及為后續(xù)學(xué)習(xí)等差數(shù)列與等比數(shù)列提供素材,做好情感體驗(yàn)與認(rèn)知鋪墊. 首先以情境1 為例,通過列表格引出本節(jié)課要研究的主題—數(shù)列;其次采用師生互動的形式,學(xué)生在教師的演示下,模仿情境1 的分析過程,撇開實(shí)際背景,口頭說出每個情境中蘊(yùn)含的“具有確定順序的一列數(shù)”,并用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)列,教師板書,使學(xué)生對數(shù)列的概念有一個初步的整體體驗(yàn);然后,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、歸納所給出的這6 個情境的共同特征,進(jìn)而給出數(shù)列的定義及其表達(dá)形式.

節(jié)選2: 類比探究,理解概念

【復(fù)習(xí)舊知】復(fù)習(xí)函數(shù)概念,以表格形式呈現(xiàn). (略)

【合作探究】

問題1: 對于具體的數(shù)列而言,如情境2 反映的數(shù)列2,4,8,16,32,…,僅用記號{an}表示,并不能反映該數(shù)列的實(shí)際內(nèi)涵,請嘗試用多種方法表示這個數(shù)列(引導(dǎo)學(xué)生用列表法、圖像法、解析式法表示該數(shù)列).

問題2:“問題1”用多種方法表示了同一個數(shù)列,這些表示法的共同特征是什么? 都涉及哪些量?

問題3:“問題1”采用的多種方法都反映了序號與項(xiàng)之間的對應(yīng)關(guān)系,這種對應(yīng)關(guān)系有什么特征? 你以前見過類似的情況嗎[3]?

問題4: 數(shù)列是函數(shù)嗎? 為什么? 數(shù)列的要素是什么?

問題5: 結(jié)合前面6 個情境,類比函數(shù)的單調(diào)性,思考數(shù)列的單調(diào)性.

【設(shè)計思路】設(shè)置問題鏈,引導(dǎo)學(xué)生通過小組合作、探究發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),自主構(gòu)建起數(shù)列與函數(shù)之間的聯(lián)系an= f(n)(n ∈N?);并通過“問題1”中數(shù)列的三種表示方法,進(jìn)一步體會函數(shù)與數(shù)列的關(guān)系,逐步揭示數(shù)列是函數(shù)的實(shí)質(zhì),從而將數(shù)列概念成功納入到函數(shù)的概念體系中去,加深對數(shù)列概念的理解[4];通過“問題4、5”,類比函數(shù),給出數(shù)列通項(xiàng)公式的概念,并對數(shù)列進(jìn)行分類.

節(jié)選3: 典例分析,深化概念

例1根據(jù)下列數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,寫出數(shù)列的前5項(xiàng),并畫出它們的圖象:

變式: 判斷66 是不是數(shù)列(1)的項(xiàng)? 若是,是第幾項(xiàng)?

思考: 結(jié)合本題中2 個具體的數(shù)列圖象,想想它們與以往學(xué)過的函數(shù)圖象有何區(qū)別?

例2根據(jù)下列數(shù)列的前5 項(xiàng),寫出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:

例3傳說古希臘畢達(dá)格拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù),他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類. 如下圖中的1,5,12,22 稱為五邊形數(shù),則五邊形數(shù)所構(gòu)成的數(shù)列的第6 項(xiàng)為____,請寫出它的一個通項(xiàng)公式____.

【設(shè)計思路】 設(shè)置三道例題, 例1 的意圖: 一是通過寫前5 項(xiàng), 熟悉通項(xiàng)公式的定義, 體會對于任何一個自變量n, 都有唯一的f(n) 與其對應(yīng); 二是通過畫圖、觀察圖象, 發(fā)現(xiàn)數(shù)列的圖象是由一群孤立的點(diǎn)組成, 讓學(xué)生直觀感知數(shù)列是離散型函數(shù), 其離散型的根源是自然數(shù)的離散性. 并通過反思, 進(jìn)一步認(rèn)識到數(shù)列的本質(zhì)是一種特殊的函數(shù),進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的思維[4]; 例2 的意圖在于引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、運(yùn)算, 發(fā)現(xiàn)所給數(shù)列的取值規(guī)律, 進(jìn)而抽象出數(shù)列的一個通項(xiàng)公式; 同時通過第(2) 題的通項(xiàng)公式可以寫成an= 1+(?1)n+1, 也可以寫成an=(注:其實(shí)也可以寫成an=1+ cos(n+1)π),讓學(xué)生體會以數(shù)列的具體項(xiàng)歸納出的通項(xiàng)公式可能不唯一;例3 以數(shù)學(xué)史的問題為情境,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的同時,體會通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律的思想在研究數(shù)列問題中的重要作用,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

本教學(xué)案例體現(xiàn)用函數(shù)的觀點(diǎn)研究數(shù)列, 通過情境創(chuàng)設(shè)、問題鏈設(shè)計,引導(dǎo)學(xué)生以自主探究、合作交流等方式展開學(xué)習(xí),經(jīng)歷了“情境分析—共性歸納—抽象概念—概念理解—概念應(yīng)用”的數(shù)列概念生成過程,是用“數(shù)學(xué)的眼光”看事物,用“數(shù)學(xué)的思維”探究規(guī)律的示范,滲透了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng),體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的育人價值.

2.2 專題教學(xué)指向關(guān)鍵能力提升

案例2: 2022 屆區(qū)一模備考研討課——數(shù)列小專題:“數(shù)列中分奇偶項(xiàng)求和問題”設(shè)計略案

【題組設(shè)計】

題組一: 列舉歸納,提煉方法.

熱身訓(xùn)練: 分別寫出以下所給數(shù)列的前八項(xiàng):

(1)已知數(shù)列{an}滿足a1= 1, a2= 4,an= an?2+2(n ≥3);

(2)已知數(shù)列{an}中,an> 0,其前n 項(xiàng)和為Sn,且對任意n ∈N?,都有

(3)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=

觀察思考:

(1)討論“熱身訓(xùn)練”的這三個數(shù)列有什么共同點(diǎn)?

(2)可歸納總結(jié)出以上數(shù)列的遞推公式嗎? 怎樣求和?

(3)分析這類問題的數(shù)學(xué)思想方法.

題組二: 典例分析,形成能力

已知數(shù)列{an}中a1=1,a2=4,an=an?2+2(n ≥3),其前n 項(xiàng)的和為Sn,求Sn.

變式: 已知數(shù)列{an} 滿足a1= 2, an+ an+1=3n+2(n ≥1),其前n 項(xiàng)的和為Sn,求Sn.

題組三: 高考體驗(yàn),提升思維

(2021年全國新高考Ⅰ卷第17 題) 已知數(shù)列{an} 中,a1=1,an+1=n為奇數(shù),n為偶數(shù),

(1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)求{an}的前20 項(xiàng)和S20.

拓展: 已知數(shù)列{an} 中, a1= 1, anan+1=N?).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)bn= a2n?1·求數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)和Sn.

【操作實(shí)施】

題組一采取的是限時訓(xùn)練. 練習(xí)、點(diǎn)評及總結(jié)后,教師適時引導(dǎo)學(xué)生“觀察思考”,以此使學(xué)生感知解決該類型數(shù)列的通項(xiàng)與求和的方法,為后面的例題分析做好方法引導(dǎo).

題組二采取的方法是: 在熱身訓(xùn)練題的基礎(chǔ)方法鋪墊下,教師通過例題引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列,在求和過程中引導(dǎo)學(xué)生對n 按奇數(shù)和偶數(shù)分別進(jìn)行討論、求和. 接著通過變式題進(jìn)行強(qiáng)化: 先讓學(xué)生自己嘗試解決問題,教師巡視、答疑,及時反饋;接著展示學(xué)生的答題情況進(jìn)行針對性地點(diǎn)評. 在該題的訓(xùn)練過程中,教師引導(dǎo)學(xué)生模仿例1,推出{an}的遞推公式an+1?an?1=3,進(jìn)而求解.

題組三的“高考題”是本節(jié)課學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成度的檢測. 從課堂上學(xué)生反映及知識落實(shí)情況看,這節(jié)課的設(shè)計與實(shí)施是成功的;“拓展”是給學(xué)有余力的學(xué)生做的,體現(xiàn)分層教學(xué).

【教學(xué)啟示】

(1)觀察特征,靈活運(yùn)用解題方法.

本節(jié)課的3 個遞推式: ①a1=1,a2=4,an=an?2+2;②a1= 2,an+an+1= 3n+2(n ≥1); ③a1= 1,an+1=都是同一種類型的數(shù)列,即數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是有相同公差的等差數(shù)列. 若從數(shù)列求和的角度,應(yīng)靈活多變. 不要一味強(qiáng)調(diào)把奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和各自求出再相加. 如“典例分析”的變式題,即②式求Sn,我們可以有兩種處理方式:

一是求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式后求和. 此時可以選擇“奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求和再相加”,如:

當(dāng)n=2k 時,

S2k=(a1+a3+...+a2k?1)+(a2+a4+...+a2k)

=[2+5+...+(3k ?1)]+(3+6+...+3k)

=3k2+2k.

當(dāng)n=2k ?1 時,

S2k?1=S2k?2+a2k?1

=3(k ?1)2+2(k ?1)+(3k ?1)=3k2?k.所以,Sn=也可以選擇“并項(xiàng)相加”,如:

當(dāng)n=2k 時,

S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2k?1+a2k)

=5+11+...+(6k ?1)=3k2+2k.

當(dāng)n=2k ?1 時,

S2k?1=(a1+a2)+(a3+a4)+...+(a2k?3+a2k?2)+a2k?1

=S2k?2+a2k?1=3(k ?1)2+2(k ?1)+(3k ?1)

=3k2?k.

二是不求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,直接對n 進(jìn)行奇、偶數(shù)分類求得:

當(dāng)n 為偶數(shù)時,

當(dāng)n 為奇數(shù)時,

(2)抓住本質(zhì),凸顯數(shù)學(xué)思想引領(lǐng).

對2021 新高考Ⅰ卷第17 題的處理, 上課教師是通 過bn+1?bn= a2n+2?a2n=a2n+1+ 1 ?a2n=a2n+ 2 + 1 ?a2n= 3, 證明出{bn} 為等差數(shù)列. 該方法體現(xiàn)了數(shù)列的函數(shù)思想,推理嚴(yán)謹(jǐn). 但學(xué)生對以分段函數(shù)及遞推公式為背景的數(shù)列問題的解決感到困難.

如果引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題組一的(3)所列舉的前八項(xiàng)a1=1,a2= 2,a3= 4,a4= 5,a5= 7,a6= 8,a7= 10,a8= 11,得出b1= 2,b2= 5,b3= 8,b4= 11,學(xué)生很容易猜出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式. 這也正是新教材的要求—通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律的思想,即歸納的思想,若證明猜想的正確性,還需要借助于數(shù)學(xué)歸納法.

3 結(jié)束語

近幾年數(shù)列高考題型靈活多變,教師要深入研究新教材,強(qiáng)調(diào)數(shù)列是一種特殊的函數(shù),突出函數(shù)特性;要讓學(xué)生經(jīng)歷沿用函數(shù)中“事實(shí)—概念—性質(zhì)—應(yīng)用”的研究途徑,培養(yǎng)學(xué)生觀察與歸納的能力,體會從特殊到一般,再從一般到特殊的思維規(guī)律,以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).