馬 龍,王 璐,梁貴書

(1.華北電力大學(xué)電力工程系，保定 071003；2.華北電力大學(xué)科技學(xué)院，保定 071051)

近年來，分?jǐn)?shù)階微積分理論的發(fā)展為人們提供了一種解釋復(fù)雜現(xiàn)象和動態(tài)系統(tǒng)的強(qiáng)大工具，其特有的對于“in between”特性以及記憶特性的描述能力，使其在黏彈性、控制、分形、信號分析處理等方面廣泛應(yīng)用[1]。在電氣工程領(lǐng)域，學(xué)者指出實際存在的電容、電感均存在分?jǐn)?shù)階效應(yīng)[2]；導(dǎo)體高頻體現(xiàn)出的集膚效應(yīng)可以用0.5階分?jǐn)?shù)階微積分來描述；硅鋼片等需要用0.5階系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確描述；現(xiàn)有的DC-DC變換器[3]、超級電容器[4]、傳輸線、電纜[5]等器件和設(shè)備使用分?jǐn)?shù)階微積分建模能夠獲得更高的精度[6-7]。目前，電力電子器件的分?jǐn)?shù)階建模正在成為研究熱點。

為了方便地表征分?jǐn)?shù)階微積分，在建模過程中提出了分抗[8](fractance)的概念。該類元件通過在賦定關(guān)系中引入電壓或(和)電流的非整數(shù)階微分和積分，極大地拓展了傳統(tǒng)的電路元件范疇。當(dāng)分抗元件的階次分別取為0、+1和-1時，該元件就退化成已有的整數(shù)階電阻、電感和電容。為了應(yīng)用方便，學(xué)者們又提出了分?jǐn)?shù)階雙口元件[9]、分?jǐn)?shù)階耦合電感以及眾多含分?jǐn)?shù)階元件電路[11-18]，包括分?jǐn)?shù)階次的RLC電路、振蕩器、濾波器和控制器等。此外，學(xué)者們對傳統(tǒng)的電網(wǎng)絡(luò)理論也進(jìn)行了相應(yīng)的拓展，探索研究了分?jǐn)?shù)階網(wǎng)絡(luò)的靈敏度分析方法[19]和分?jǐn)?shù)階網(wǎng)絡(luò)綜合方法[6,20-23]。

作為一類重要的電路元件，整數(shù)階耦合電感在各類測量儀器、通信系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、信號處理、設(shè)備建模、模擬濾波器等方面應(yīng)用廣泛，耦合電感在各領(lǐng)域的應(yīng)用能夠顯著提高設(shè)計的靈活性和系統(tǒng)的性能[24-25]。同時，整數(shù)階耦合電感也是無源電路綜合的重要組成部分。最近，考慮實際電感元件的非理想特性以及射頻領(lǐng)域內(nèi)耦合電感階次明顯小于1的特性，文獻(xiàn)[10]提出了分?jǐn)?shù)階耦合電感(fractional mutual inductors,FMI)的概念及實現(xiàn)方法，并以雙調(diào)濾波器為例對其特性進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[26]研究了FMI的阻抗和相位特性并將其應(yīng)用在無線電能傳輸領(lǐng)域；文獻(xiàn)[27]討論了含F(xiàn)MI網(wǎng)絡(luò)的靈敏度分析方法。文獻(xiàn)[28]提出了一種大功率分?jǐn)?shù)階電感電路的等效模型，并應(yīng)用到并聯(lián)諧振電路中。目前，學(xué)者們正在積極探索分?jǐn)?shù)階元件的產(chǎn)業(yè)化，但分?jǐn)?shù)階元件的互易性及無源性鮮有研究。

在電路分析和綜合理論中，無源性這一術(shù)語用以描述元件或網(wǎng)絡(luò)吸收能量的特性[29]。一方面，無源網(wǎng)絡(luò)具有很多優(yōu)異的特性，已經(jīng)推導(dǎo)證明了無源網(wǎng)絡(luò)的諸多結(jié)論，例如：線性無源網(wǎng)絡(luò)一定是穩(wěn)定的；由無源元件構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)無源等；另一方面，無源性也是無源電路綜合的重要前提。因此開展FMI的無源性證明意義重大。

現(xiàn)從頻域角度入手，首先介紹廣義坐標(biāo)和耗散矩陣的定義，然后借助耗散矩陣的概念，推導(dǎo)獲得FMI的無源性條件，并通過實例對其無源性條件進(jìn)行說明。分?jǐn)?shù)階耦合電感的提出進(jìn)一步豐富和完善了已有的電路元件體系，開展該類分?jǐn)?shù)階元件的無源性研究將促進(jìn)相關(guān)的電路分析和綜合理論的發(fā)展。

1 FMI元件定義

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階積分定義[1]為

(1)

式(1)中：D-α為分?jǐn)?shù)階微分算子；α為任意正數(shù)；Γ(·)為歐拉伽瑪函數(shù)。

Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義[1]為

(2)

式(2)中：n-1<α≤n；Dα為分?jǐn)?shù)階微分算子；函數(shù)f的n階導(dǎo)數(shù)f(n)在區(qū)間[a,t]可積。

1.2 FMI元件

FMI的符號表征如圖1所示，其定義式[8]為

(3)

對應(yīng)的頻域形式為

(4)

圖1 FMI符號表征Fig.1 Notation of FMI

當(dāng)γ1=γ2=β=α?xí)r，式(4)描述了一類特殊的FMI，即

(5)

圖2所示為互易FMI的電路符號。

圖2 互易FMI符號表征Fig.2 Notation of reciprocal FMI

2 FMI的無源判據(jù)

從頻域角度入手，首先介紹廣義坐標(biāo)和耗散矩陣的概念，并以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)獲得FMI的無源條件。

2.1 廣義坐標(biāo)與耗散矩陣

定義1n口元件的廣義坐標(biāo)[25-26]ξ和θ為

(6)

(7)

定義2n口元件的耗散矩陣[25-26]定義為

D(s)=[cΛ(s)+d]H[aΛ(s)+b]

(8)

式(8)中：Λ(s)為元件的賦定矩陣，即滿足

Ξ(s)=Λ(s)Θ(s)

(9)

引理1 線性元件N無源等價于矩陣D(s)+DH(s),對于一切右半開平面內(nèi)的s為半正定矩陣[27-28]。

引理2 將引理1結(jié)論分別應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)的阻抗參數(shù)矩陣Z、導(dǎo)納參數(shù)矩陣Y、混合參數(shù)矩陣H、傳輸參數(shù)矩陣T和散射參數(shù)矩陣S時，可得到相應(yīng)的等效無源判據(jù)[27-28]，即

(1)Z(s)+ZH(s)半正定。

(2)Y(s)+YH(s)半正定。

(3)H(s)+HH(s)半正定。

(4)I-S(s)SH(s)半正定。

需要指出，將引理1和引理2進(jìn)行分?jǐn)?shù)階拓展，上述定理仍然成立。

2.2 FMI的無源性條件

定理1 由式(3)和式(4)定義的FMI無源條件為

α+β=2γ1=2γ2

(10)

L11≥0,L22≥0

(11)

(12)

(13)

證明：對式(4)所述的FMI，可以方便地獲得其阻抗表征為

(14)

(15)

對ZF(s)取共軛轉(zhuǎn)置，得到其厄爾米特陣為

(16)

因此，有

(17)

式(17)中矩陣對右半開平面內(nèi)的一切s為半正定矩陣的條件[27]為

L11Aαcos(kα)≥0

(18)

L22Aβcos(kβ)≥0

(19)

kγ2)≥0

(20)

α+β=2γ1=2γ2

(21)

否則，取ω=0，σ≥0，故θ=0，A=σ，式(20)變?yōu)?/p>

即

(22)

可以得到：

考慮式(21)，對式(20)進(jìn)行簡化可得

L11cos(αθ)≥0

(23)

L22cos(βθ)≥0

(24)

(25)

由式(25)可知，F(xiàn)(θ)是θ的偶函數(shù)，故可僅考慮[0,π/2]區(qū)間內(nèi)的情況。使用積化和差公式，F(xiàn)(θ)可等價表征為

(26)

式(25)在θ=0時成立，可得

(27)

對式(27)求導(dǎo)可得

(28)

由式(28)可知，在滿足式(26)的條件下，函數(shù)F(θ)在區(qū)間[0,π/2]單調(diào)減小。故此時再保證θ值取為π/2時F(θ)≥0成立即可。從而可得到式(10)～式(13)給出的無源條件。

證畢。

(1)對互易FMI，其無源條件變?yōu)?/p>

α+β=2γ，1≥α,β≥0；

L11≥0，L22≥0；

L11L22-M2≥0；

(2)對由式(5)定義的同元次FMI，其無源性條件為

L11≥0,L22≥0，1≥α≥0；

需要指出，傳統(tǒng)整數(shù)階耦合電感對應(yīng)式(14)中的分?jǐn)?shù)階次參數(shù)均為1，此時式(10)給出的條件自然滿足，由式(11)～式(13)推導(dǎo)可得整數(shù)階耦合電感的無源條件為

L11≥0,L22≥0；

即L11≥0，L22≥0，M12=M21=±M，且L11L22-M2≥0，與已有結(jié)論相一致。

3 FMI的無源判據(jù)

例1 討論無源FMI一二次側(cè)線圈串聯(lián)和并聯(lián)所得電路(圖3)的無源性。

圖3 無源FMI同名端電路Fig.3 Circuit of a passive FMI

當(dāng)無源FMI按圖3(a)所示方式進(jìn)行連接時，有I1(s)=I2(s)，U(s)=U1(s)+U2(s)，得到其阻抗表達(dá)形式為

Zs=sαL11+sβL22+sγ1M12+sγ2M21

(29)

當(dāng)無源FMI按圖3(b)所示方式進(jìn)行連接時，有U1(s)=U2(s)，I(s)=I1(s)+I2(s)，可知其導(dǎo)納表達(dá)形式為

(30)

式(30)中：Δ=L11L22-M12M21。

由于該FMI無源，可知其滿足定理1中式(10)～式(13)給出的條件。因此，Zs的實部可以表達(dá)為

Re(Zs)=AαL11cos(αθ)+AβL22cos(βθ)+

(31)

式(31)中：θ∈[-π/2,π/2]。由于Re(Zs)為變量θ的偶函數(shù)，故可僅考慮[0,π/2]內(nèi)Re(Zs)的符號。對式(31)右側(cè)前兩項，使用重要不等式可得

(32)

因此minG(θ)=G(0)=0，故Re(Zs)≥G(θ)≥0,θ∈[-π/2,π/2]。故可知串聯(lián)得到的阻抗無源。

并聯(lián)情況下，可知其導(dǎo)納矩陣的實部為

(33)

對式(33)右端前兩項使用重要不等式可得

(34)

后續(xù)證明過程與阻抗證明過程相同，在此不再贅述。

(35)

為了對本例進(jìn)行直觀說明，圖4和圖5中分別給出α=0.5和α=0.95時式(26)中F(θ)隨θ變化的2D及隨(σ,ω)變化的3D圖。

圖4 α=0.5時F隨參數(shù)變化情況Fig.4 Variations of F when α=0.5

圖5 α=0.95時F隨參數(shù)變化情況Fig.5 Variations of F when α=0.5

由圖4可知，在α=0.5時，F(xiàn)均為正值，其最大和最小值分別為3.437 5和1.687 5，此時元件無源；圖5中，α=0.95時，F(xiàn)不能保證恒為正，其最大和最小值分別為3.437 5和-0.041 0，故這種情況下FMI元件有源。

現(xiàn)通過圖6所示電路對α=0.95時該FMI有源性進(jìn)行說明。

圖6 例2驗證電路Fig.6 Verification circuit for example 2

取i1(t)=sin(t-80°)，i2(t)=sin(t+60°)。正弦穩(wěn)態(tài)下，由式(3)可以求得電壓為：u1(t)=2sin(t+5.5°)+sin(t+145.5°)=1.391 3sin(t+33.015 7°);u2(t)=0.5sin(t+4.5°)+2sin(t+145.5°)=1.648 6sin(t+134.258 3°)。

可知該元件在α=0.95時，不斷向外發(fā)出能量，故可知該元件有源。圖7中給出了兩個端口的電壓、電流及瞬時功率；圖7(c)中總瞬時功率的最大值和最小值分別為：0.733 7和-0.830 4，該FMI在向外電路提供能量。

圖7 驗證電路正弦穩(wěn)態(tài)下的電壓電流及功率(例2)Fig.7 Voltages,currents and powers of circuit depicted under sinusoidal steady state(Case 2)

因為L11=1，L22=4，M12=-1，M21=3，α=0.7，β=0.9，γ=0.8滿足式(10)～式(12)的條件，則可根據(jù)式(13)判定該元件的無源性。圖8給出了F隨θ變化的2D圖及隨(σ,ω)變化的3D圖。由圖8可以看到，F(xiàn)隨θ變化過程中，最大值和最小值分別為：3和-3.429 4，因此該元件有源。

圖8 例3中F隨參數(shù)變化情況Fig.8 Variations of F in example 3

為了驗證所得結(jié)論，現(xiàn)通過圖9所示電路對其進(jìn)行說明。取端口電流為：i1(t)=sin(t-63°)，i2(t)=sin(t+150°)，正弦穩(wěn)態(tài)下由式(3)可以求得端口電壓分別為：u1(t)=sint-sin(t+222°)=1.867 1sin(t+20.996°)；

u2(t)=3sin(t+9°)+4sin(t+231°)=2.616 7sin(t-80.413 0°)。

圖10中給出了端口電壓、電流及瞬時功率；圖10(c)所示總瞬時功率的最大值和最小值分別為：0.561 7和-2.033 9，可以看到該FMI在向外界提供能量，故知該元件有源。

圖9 例3驗證電路Fig.9 Verification circuit for example 3

圖10 驗證電路正弦穩(wěn)態(tài)下的電壓電流及功率(例3)Fig.10 Voltages,currents and powers of circuit depicted under sinusoidal steady state(Case 3)

由例1～例3可知，F(xiàn)MI的無源性除了與參數(shù)矩陣相關(guān)外，分?jǐn)?shù)階次的影響也非常大。FMI的無源性結(jié)論與傳統(tǒng)整數(shù)階耦合電感的無源性結(jié)論存在差異：①無源整數(shù)階耦合電感一定是互易的，而無源FMI可以是非互易的；②電感矩陣相同的同元次FMI的無源性與分?jǐn)?shù)階階次密切相關(guān)；③非同元次FMI的無源性與參數(shù)矩陣和階次均密切相關(guān)。

4 結(jié)論

FMI的提出進(jìn)一步豐富和完善了電路元件體系，研究其無源性對分?jǐn)?shù)階電路的分析與綜合具有重要意義。從頻域入手，基于廣義坐標(biāo)和耗散矩陣的概念，推導(dǎo)獲得了FMI的無源條件。該條件不僅與元件的偽自感和偽互感相關(guān)，而且與階次關(guān)系密切。可以看到，F(xiàn)MI的無源性結(jié)論與傳統(tǒng)耦合電感的無源性結(jié)論存在較大差異，無源FMI可以是互易的，也可以是非互易的。已有的整數(shù)階耦合電感僅為FMI中極為特殊的一類。討論FMI的無源性將為分?jǐn)?shù)階電路的分析與綜合奠定重要理論基礎(chǔ)。未來的研究方向?qū)ǚ謹(jǐn)?shù)階網(wǎng)絡(luò)的無源性判據(jù)及相關(guān)的電路綜合方法研究。