趙建華, 顧文胤, 姚文娟*

(1.江西省高速公路投資集團有限責任公司上饒管理中心， 上饒 330025； 2.上海大學力學與工程科學學院， 上海 200444)

大量研究表明[1-2]，許多材料都具有拉壓不同模量性質。工程上廣泛應用的材料，如土木工程中的混凝土，航空及機械工程中的金屬、石墨、塑料等，都具有明顯的拉壓不同模量特性。21世紀初，人們發(fā)現(xiàn)強度最大的石墨烯材料是一種拉壓不同模量的材料[1]。隨著科學技術的發(fā)展，對準確描述材料的各種性能提出了更高的要求，研究材料的不同模量力學特性正在成為一種新的研究趨向。石墨廣泛應用于各種工業(yè)領域中，比如電弧煉鋼用電極、機械密封石墨環(huán)等。同時由于石墨材料具有良好的高溫力學性能，再加上它本身的耐輻照性能，其在國防核工業(yè)中得到廣泛的應用[2-4]。

21世紀以來，中外許多學者對不同模量材料制備的結構及力學特性進行研究[5-8]，Insausti[9]通過虛擬試驗研究了纖維增強復合材料的拉壓不同模量。Yao等[10]利用理論推導并結合數(shù)值模擬方法，研究了雙模量溫克勒基礎梁在溫度沿梁高非線性分布下的力學特性。Li[11]推導了雙模量功能梯度彎曲梁的解析解，確定了最大彎曲應力發(fā)生的位置。喬赫廷等[12]推導了有限元求解模型中切線剛度矩陣的列式，建立了基于拉壓不同模量問題的數(shù)值求解算法。楊洋等[13]推導了拉壓不同模量材料的剪切彈性模量表達式, 建立了不同模量鐵木辛柯梁及歐拉-伯努利梁的振動微分方程,計算了不同模量鐵木辛柯簡支梁的自由振動頻率。潘勤學等[14]建立了拉壓不同模量的瀝青路面結構數(shù)值計算方法。

以往的報道對石墨不同模量性能的研究缺乏，鑒于此，現(xiàn)通過單軸拉壓試驗，得到石墨的拉壓模量比。并通過純彎梁試驗，得到石墨梁隨荷載增加中性軸的偏移規(guī)律以及外荷載-應變關系。同時，采用不同模量理論對簡支梁進行彈塑性全過程分析，將不同模量理論的彈塑性分析方法與石墨材料簡支梁彎曲試驗的實驗值進行比較，以證明此方法的正確性。

1 單軸拉壓試驗

試驗選取MSL82型號的石墨材料，分別制成4組截面直徑Φ=10 mm，長L=50 mm的圓柱形試件和4組截面直徑Φ=10 mm，長L=200 mm圓柱形試件。分別采用CMT5306電子萬能試驗機和WDW-E100電子萬能試驗機對其進行單軸抗拉試驗和單軸抗壓試驗，測試內容包括：極限抗拉強度、極限抗壓強度、拉伸彈性模量、壓縮彈性模量以及計算拉壓彈性模量比E+/E-。試驗結果數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 MSL82型號石墨材料力學性能試驗結果Table 1 Test results of mechanical properties of MSL82 graphite

通過對石墨材料的單軸拉壓試驗可知：石墨材料具有明顯的不同模量特性，其拉壓模量比E+/E-為0.63。

2 受彎梁試驗及其結果

2.1 受彎梁試驗

MSL82型號的石墨材料壓桿穩(wěn)定試驗采用的是上海大學力學實驗室的WDW-E100電子萬能試驗機(如圖1所示)，加載示意圖如圖2所示。

圖1 試驗裝置與加載模式Fig.1 Test device and loading mode

F為外載荷

兩個試件尺寸相同，均為矩形截面，桿件尺寸為長×寬×高=300 mm×45 mm×22 mm，如圖3所示。每一試件中截面布置8片應變片如圖4、圖5所示。

圖3 試件尺寸Fig.3 Specimen size

圖4 MSL82型號石墨桿件Fig.4 MSL82 type graphite rod

圖5 應變片布置Fig.5 Strain gauge arrangement

2.2 試驗結果

2.2.1 中性軸隨荷載的變化

分別將測點2和測點8、測點3和測點7、測點4和測點6取平均值，然后利用測點1、測點5和上述三平均值擬合直線，通過幾何關系(如圖6所示)，可求出隨荷載增加時中性軸相對位置偏移量δ=Δ/h(如圖7所示)。

ε1為試件中截面上邊緣處的應變量；ε5為試件中截面下邊緣處的應變量；h1和h2分別為中性軸距上邊緣和下邊緣的距離；h為試件截面高度；Δ為中性軸變化后距截面中心的距離

圖7 中性軸相對位置偏移量Fig.7 Relative position deviation of neutral axis

由圖7可知，梁的中性軸隨外荷載變化的規(guī)律。在剛加載階段，由于試驗誤差，中性軸的位置有點波動；當外荷載增加到了某一值時，中性軸的位置幾乎維持在某一個水平；等到進入塑性階段后，中性軸位置才會隨著外荷載的增加而繼續(xù)上升。

2.2.2 外載荷應變關系

將測點2與測點8取平均值作為新的測點2，將測點4與測點6取平均值作為新的測點4，然后分別繪出測點1～5的應力-應變(F-ε)關系曲線如圖8所示。

圖8 應力應變關系曲線Fig.8 Stress-strain relationship curve

3 不同模量簡支梁彈塑性過程分析

3.1 結構模型

b梁為截面寬度；h為高度；2L為梁總長度；P=F/2為距梁端L1=L/2處作用的外荷載

3.2 應力應變公式推導

不同模量簡支梁的彈塑性發(fā)展主要分為四個階段：完全彈性階段、彈塑性第一階段、彈塑性第二階段、完全塑性階段。每一個階段的應力應變的計算方法各不相同。

3.2.1 完全彈性階段

對于完全彈性的矩形簡支梁，前人已經做過研究，也有了相應應力應變解析式以及中性軸計算公式[8]。圖10為彈性階段截面的應力分布圖。

圖10 截面應力分布圖Fig.10 Section stress distribution diagram

引入拉壓模量比a=E+/E-，應力應變公式變?yōu)?/p>

式中：M為截面處產生的彎矩；y為縱坐標值。

3.2.2 彈塑性第一階段

記梁中性層曲面的曲率為ρ，彈塑性第一階段的截面應力分布圖如圖11所示。

h1為梁的受壓區(qū)高度；h2為受拉區(qū)高度；為受壓側彈性區(qū)的最大正應力；為受拉側塑性區(qū)的最大正應力；d為受拉側塑性區(qū)的截面高度

可以列出方程為

h1+h2=h(5)

根據(jù)平衡條件，可以得到水平方向力的平衡方程和彎矩平衡方程為

根據(jù)式(3)～式(7)，可以整理得到式(8)、式(9)。

(1-a)h22-2hh2+h2+ad2=0 (8)

將式(9)代入式(8)，得到關于d的一元四次方程式(10)為

h2+ad2=0 (10)

式(10)反映了外荷載F與塑性區(qū)高度d的非線性函數(shù)關系，左邊可以用函數(shù)f(F,d)來表示。編制C程序，對于某個確定的外荷載F，以d值為自變量，d值的初始值為0.001 mm，步長為0.001 mm，終值為45.000 mm，對于每一個d值，驗證是否滿足關系f(F,d)-0.1<0，逐漸增大d值，直到滿足關系式f(F,d)-0.1<0，跳出循環(huán)，從而求得對應于該外荷載F的d值。再根據(jù)式(9)求得受拉區(qū)高度h2，從而解得對應于該外荷載F的應力與應變。

受壓區(qū)應力公式為

式(11)中：Mi為循環(huán)i次外荷載作用產生的彎矩值；di為第i次循環(huán)的d值。

受拉區(qū)應力公式為

式(12)中：h2i為第i次循環(huán)的受拉區(qū)高度。

應變值為

當i取值足夠大時，應力和應變值都能連成光滑曲線，并用函數(shù)來擬合。

3.2.3 彈塑性第二階段

當外荷載F增大到F2時，截面上部受壓區(qū)邊緣也發(fā)生屈服。圖12為彈塑性第二階段截面應力分布圖。

為受壓側塑性區(qū)的最大正應力；d1為塑性區(qū)高度；為受拉側塑性區(qū)的最大正應力；d2為塑性區(qū)高度

根據(jù)圖12，可以列出方程

根據(jù)平衡條件，可以得到水平方向力的平衡方程和彎矩平衡方程為

拉壓模量比為a，拉壓屈服極限比為c，根據(jù)式(5)、式(14)～式(16)，可得

將式(18)、式(19)代入式(17)中，并聯(lián)立式(5)，得到關于h2的一元二次方程為

Ah22-Bhh2+λF-Ch2=0 (20)

式(20)中：A,B,C,λ均為常數(shù)，其表達式為

A=1+5c+(4+6a)c2+(6a+4a2)c3+

5a2c4+a2c5(21)

B=2c+8c2+12ac3+8a2c4+2a2c5(22)

C=3c-4c2-6ac3-a2c5(23)

式(20)的解為

根據(jù)式(25)，以及式(18)、式(19)可以得到h1、d1、d2的解，進一步得到應力應變公式。

受壓區(qū)應力公式為

受拉區(qū)應力公式為

應變公式為

3.2.4 完全彈性階段

假設材料為理想塑性的材料，那么，當荷載增加到某一值時，塑性可以達到飽滿，從而形成塑性鉸。塑性飽滿時，d1=h1,d2=h2。圖13為完全塑性階段截面應力分布圖。

圖13 完全塑性階段應力分布圖Fig.13 Stress distribution in complete plastic stage

此時的應力即為屈服應力

4 實例分析

4.1 彈性階段加載-應變關系的驗證

不同模量彎曲梁的應變計算公式如式(2)所示，根據(jù)式(2)計算出各測點處應變的解析解，并與試驗解進行對比，對比結果如圖14所示。

從圖14可以看出，不同模量彎曲梁的解析解計算結果與石墨受彎梁試驗數(shù)據(jù)吻合，驗證本文模型的正確性。

圖14 彈性階段的荷載-應變關系Fig.14 Load-strain relationship in elastic stage

4.2 彈塑性階段加載-應變關系的驗證

將試驗中受彎梁的尺寸大小及受力特性等代入上述彈塑性分析方法的式(13)及式(28)式計算應變，理論計算結果與實驗數(shù)據(jù)的對比如圖15所示。

圖15 彈塑性階段的荷載-應變關系Fig.15 Load-strain relationship in elastoplastic stage

通過與石墨彎曲梁試驗結果對比，可知所提出的彈塑性過程分析能夠準確的描述不同模量簡支梁受力進入彈塑性的全過程。由此，驗證了本文模型的正確性。

5 結論

(1)石墨材料具有明顯的不同模量特性，其拉壓模量比E+/E-為0.63。

(2)通過與石墨純彎梁試驗結果對比，驗證了建立的不同模量橫力彎曲梁彈性解析解是準確有效的。

(3)從石墨材料受彎梁各測點的載荷-應變關系圖可知，梁受拉側應變明顯大于受壓側，說明中性軸向受壓(下)側偏移。

(4)不同模量簡支梁存在如下塑性力學特性規(guī)律。

①在彈性階段，隨外荷載增加，中性軸的位置保持不變；進入塑性階段后，隨著外荷載的增加，中性層的位置上升；中性軸最終的位置是由拉壓屈服極限的比值決定的。

②在拉壓屈服應力不變的情況下，隨著拉壓模量比的增大，彈塑性第一階段的區(qū)間隨之增大，而彈性階段區(qū)間和彈塑性第二階段區(qū)間都在減小。

③在彈性階段，拉壓模量比的大小對截面的應力分布有很大影響，減小拉壓模量比，可以減小最大拉應力；而增大拉壓模量比，則可以減小最大壓應力；進入彈塑性階段后，隨著截面的塑性發(fā)展，拉壓模量比對截面應力分布的影響越來越小。

④隨著截面的塑性發(fā)展，拉壓模量比對截面應變分布的影響比較大，因此，可通過改變拉壓模量比來控制截面的最大拉壓應變。當拉壓模量比大于0.5時，進入彈塑性階段后，拉壓模量比越大，最大拉壓應變均越大。