石 蕊，石廣田*，崔彥良

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

懸掛系統(tǒng)在車(chē)輛中扮演著越來(lái)越重要的角色,為提高車(chē)輛懸掛系統(tǒng)在乘坐舒適性和懸掛撓度約束等方面的性能,已做了大量研究.由于車(chē)輛主懸掛系統(tǒng)[1-6]簧上質(zhì)量和簧下質(zhì)量在載荷條件下會(huì)變化[7-8],若控制設(shè)計(jì)過(guò)程中未考慮車(chē)輛質(zhì)量變化,則會(huì)影響系統(tǒng)性能.已提出改善懸掛系統(tǒng)約束性能的方法較多,如線性優(yōu)化控制[9-10],T-S模糊模型[11-14]和采樣控制[15-16]等.因車(chē)輛運(yùn)行過(guò)程中乘客數(shù)量變化,組件損壞和通信延遲會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成干擾,不確定性和時(shí)滯等問(wèn)題,進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定甚至性能惡化.同時(shí),在車(chē)輛懸掛系統(tǒng)模型引入了非線性項(xiàng).為了便于后續(xù)計(jì)算，首先必須線性化，但目前線性化的方法有微分幾何理論和Taylor展開(kāi)等方法，都存在一定缺陷，如微分幾何理論要求被控對(duì)象模型完全精確已知,Taylor展開(kāi)法僅在工作點(diǎn)附近才能取得較好效果.因此采用T-S模型[17-18]進(jìn)行線性化,通過(guò)提出新的采樣數(shù)據(jù)控制方案,將隨機(jī)T-S主懸掛系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為連續(xù)時(shí)滯系統(tǒng),基于李亞普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)采樣狀態(tài)反饋控制器便于研究隨機(jī)T-S懸掛系統(tǒng)，確保改善懸掛性能并滿足約束,使系統(tǒng)隨機(jī)均方穩(wěn)定.

1 系統(tǒng)描述

將靜力平衡位置zc作為車(chē)身質(zhì)心位移和角位移的原點(diǎn),基于牛頓第二定律建立圖1所示的半車(chē)輛懸掛模型的運(yùn)動(dòng)方程,其動(dòng)力方程可描述為[19]:

(1)

(2)

(3)

(4)

懸掛撓度和輪胎載荷的硬約束可以定義為二次

控制輸出,即

圖1 半車(chē)輛模型Fig.1 Semi-vehicle suspension model

綜上所述,用以下方程描述半車(chē)輛懸掛開(kāi)環(huán)系統(tǒng):

(5)

其中,定義增廣狀態(tài)向量x(t)=[x1(t)x2(t)x3(t)

M1(ξ1(t))+M2(ξ1(t))=1,

N1(ξ2(t))+N2(ξ2(t))=1,

O1(ξ3(t))+O2(ξ3(t))=1.

計(jì)算得到以下隸屬度函數(shù):

因此，可以將系統(tǒng) (5) 通過(guò)T-S模糊模型表示為如下系統(tǒng)[20]:

模型規(guī)則1:如果ξ1(t)是重的，ξ2(t)是重的,并且ξ3(t)是重的,則:

(6)

模型規(guī)則2:如果ξ1(t)是輕的,ξ2(t)是輕的,并且ξ3(t)是輕的,則:

(7)

模型規(guī)則3:如果ξ1(t)是輕的,ξ2(t)是重的,并且ξ3(t)是重的,則:

(8)

模型規(guī)則4:如果ξ1(t)是重的,ξ2(t)是輕的,并且ξ3(t)是輕的,則:

(9)

總之,通過(guò)模糊混合,以上系統(tǒng)可以表示為如下形式:

(10)

其中:

h1(ξ(t))=M1(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),

h2(ξ(t))=M2(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O2(ξ3(t)),

h3(ξ(t))=M2(ξ1(t))×N1(ξ2(t))×O1(ξ3(t)),

h4(ξ(t))=M1(ξ1(t))×N2(ξ2(t))×O2(ξ3(t)).

顯而易見(jiàn),模糊隸屬度函數(shù)應(yīng)滿足以下條件:

考慮到在復(fù)雜運(yùn)行環(huán)境和長(zhǎng)時(shí)間工作中的懸掛系統(tǒng)會(huì)有一些故障存在,為了處理它在整個(gè)過(guò)程中存在的問(wèn)題,故障模型可以表示為:

j=1,2,3,4.0≤τ1(τ)

在實(shí)際應(yīng)用中,懸掛系統(tǒng)中通常會(huì)存在狀態(tài)時(shí)滯,這將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)控制性能的惡化,另一方面,由于復(fù)雜的工作環(huán)境和傳輸路線,對(duì)懸掛系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生數(shù)據(jù)包丟失的現(xiàn)象是不可避免的.因此,將引入兩個(gè)獨(dú)立的伯努利隨機(jī)分布過(guò)程來(lái)描述以上問(wèn)題:

(t-τ2(t)),

注釋：在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中考慮到數(shù)據(jù)傳輸通道帶寬限制下兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)現(xiàn)象是不可避免的,即隨機(jī)狀態(tài)時(shí)滯和數(shù)據(jù)丟失.

1) 如果α(t)=1,則傳輸信號(hào)只受制于時(shí)滯τ1(t);其中當(dāng)τ1(t)=0時(shí),傳輸信號(hào)是正常的;當(dāng)0≤τ1(t)

2) 如果α(t)=0,β(t)=1時(shí),則傳輸信號(hào)只受制于τ2(t),其中c1≤τ2(t)

3) 如果α(t)=0,β(t)=0時(shí),則傳輸信號(hào)完全丟失.

模糊狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)如下:

其中:tk=t-dk(t).

綜合以上，可推導(dǎo)出隨機(jī)T-S模糊懸掛系統(tǒng)的模型如下:

(11)

(12)

(13)

存在以下表達(dá)式:

2 車(chē)輛懸掛系統(tǒng)的控制目標(biāo)

在車(chē)輛懸掛控制系統(tǒng)中,乘坐舒適性和操作安全性是必須處理的兩個(gè)重要目標(biāo),因此,應(yīng)滿足以下條件[21-22]:

E{‖z1(t)‖2}≤γ‖ω(t)‖2.

1) 乘坐舒適性:乘坐舒適性可以量化為車(chē)體加速度.

2) 懸掛擾度約束:為了避免損壞車(chē)輛部件和有更多乘客的不適,主動(dòng)懸掛控制器必須能夠防止懸掛系統(tǒng)達(dá)到其運(yùn)行極限.因此,必須確保以下懸掛撓度:

|zsf(t)-zuf(t)|≤zfmax,|zsr(t)-zur(t)|≤zrmax.

3) 輪胎與地面的附著力:為了確保輪胎與地面之間不間斷接觸,對(duì)前后輪胎來(lái)說(shuō),動(dòng)態(tài)輪胎負(fù)荷不應(yīng)超過(guò)靜態(tài)輪胎負(fù)荷,即

|ksf(zuf(t)-zrf(t))|≤Ff,|ksr(zur(t)-zrr(t))|≤Fr.

3 主要結(jié)果

3.1 引理

對(duì)任意正定矩陣R,標(biāo)量γ>0,定義向量函數(shù)f∶[0γ]→Rn的積分,即存在以下不等式[20]:

3.2 定理

Ω=

(14)

(15)

證明:

dsdθ,

對(duì)以上所構(gòu)造的李亞普諾夫函數(shù)沿系統(tǒng) (11) 的軌跡進(jìn)行求導(dǎo)可得:

利用引理1得到以下不等式:

定義任意合適矩陣S,W,U,V,利用牛頓萊布尼茨公式[23]可得:

由于Ω<0,因此

(16)

其中:

D1iKjFx(t),

綜合以上過(guò)程,可得以下矩陣Ω1:

可得矩陣Ω<0,以確保系統(tǒng)(11)隨機(jī)均方穩(wěn)定.

ω(t)dt<0,然后整理該式可得到:E{‖z1(t)‖2}≤γ‖ω(t)‖2,因此,可以確保懸掛系統(tǒng)在乘坐舒適性和操作安全性方面的約束.

另一方面,

考慮控制輸出z2(t):

4 數(shù)值仿真

利用數(shù)值仿真實(shí)例驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性和可用性,半車(chē)輛模型參數(shù)在表1和表2中列出.

表1 半車(chē)輛模型參數(shù)

表2 控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中常數(shù)選擇的值

假設(shè)簧上質(zhì)量的范圍為ms∈[621 kg,759 kg],前后簧下質(zhì)量的范圍分別為mur∈[44.55 kg,45.45 kg],muf∈[39.6 kg,40.4 kg]并且故障矩陣:

F=diag{0.1,0.9,0.8,0.5,0.2,0.4,0.3,0.6}.

在定理中,為了解決標(biāo)準(zhǔn)(14)(15),通過(guò)利用MATLAB線性矩陣工具箱可得到控制器增益如下:

圖2和圖3分別繪制了在控制律下閉環(huán)系統(tǒng)與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的前后車(chē)體懸掛擾度約束,前后車(chē)輪動(dòng)態(tài)行程約束的響應(yīng)圖.由圖2可知所提出的方法可確保懸掛擾度約束小于0.08 m,同時(shí),從圖3可以看出,滿足前后車(chē)輪動(dòng)態(tài)行程約束.因此,從圖2和圖3可以看出通過(guò)所設(shè)計(jì)的控制器確保了系統(tǒng)隨機(jī)均方穩(wěn)定性,同時(shí)提高了系統(tǒng)性能,進(jìn)而改善了乘坐舒適度.

圖2 前后車(chē)體懸掛擾度約束的響應(yīng)Fig.2 Response of front and rear body suspension deflection constraint

圖3 前輪和后輪動(dòng)態(tài)行程約束的響應(yīng)Fig.3 Response of front and rear tire dynamic route constraint

5 結(jié)論

本文研究表明，基于T-S模糊模型的振動(dòng)控制策略可有效處理不確定性和信號(hào)測(cè)量丟失的半車(chē)輛懸掛系統(tǒng)的隨機(jī)均方穩(wěn)定和約束性能問(wèn)題，并具有一定有效性和可行性.