趙 宇，彭珍瑞

(蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070)

鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm,WOA)是近年來提出的基于種群的啟發(fā)式優(yōu)化算法[1].WOA模擬座頭鯨捕食，將其群體狩獵行為轉(zhuǎn)化為隨機(jī)優(yōu)化過程.目前，WOA已成功應(yīng)用于優(yōu)化調(diào)度[2-3]、優(yōu)化設(shè)計[4-5]、盲信號提取[6]、圖像分割[7]等領(lǐng)域.但是WOA依然存在全局和局部搜索難以協(xié)調(diào)、易陷入局部最優(yōu)等問題.

混沌優(yōu)化算法因其利用混沌所具備的初值敏感性、偽隨機(jī)性、遍歷性等非線性動力學(xué)特征而廣泛用于工程全局優(yōu)化設(shè)計中[8].文獻(xiàn)[9]使用分段Logistic映射對WOA的種群初始化，以保持種群多樣性.文獻(xiàn)[10]利用混沌映射調(diào)整WOA中的更新概率.文獻(xiàn)[11]采用Tent映射反向?qū)W習(xí)初始化、最優(yōu)個體混沌搜索等策略優(yōu)化鯨魚算法.

本文提出了一種基于混沌映射調(diào)整慣性權(quán)重的鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm with chaotic maps,CWOA)，分別利用5種混沌映射擾動慣性權(quán)重以協(xié)調(diào)算法全局探索和局部開發(fā)能力，并通過6個測試函數(shù)進(jìn)行仿真實驗，將加入混沌映射的CWOA與基本W(wǎng)OA比較，驗證CWOA的有效性.最后利用Gauss映射的CWOA求解有限元模型修正問題，并將結(jié)果與遺傳算法(genetic algorithm,GA)、粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)進(jìn)行對比.

1 鯨魚優(yōu)化算法

在搜索空間，“搜索代理”即每一頭座頭鯨都可以看作是優(yōu)化問題的候選解.WOA通過獵物包圍、Bubble-net狩獵及獵物搜索等行為更新搜索代理位置捕獲獵物.

1) 獵物包圍

假定當(dāng)前最優(yōu)解位置是目標(biāo)獵物，其他搜索代理通過如下公式更新位置：

X(t+1)=X*(t)-A·D,

(1)

D=|C·X*(t)-X(t)|.

(2)

其中：A=2a·r-a,a=2-2(t/tmax)，r是介于0～1之間的隨機(jī)向量，t、tmax分別表示當(dāng)前迭代次數(shù)、算法最大迭代次數(shù)；C=2·r；D是距離向量；X*(t)、X(t)分別表示目前最優(yōu)解位置向量、當(dāng)前位置向量.

2) Bubble-net狩獵

搜索代理會通過更新概率p在收縮包圍機(jī)制或螺旋模型中做出選擇來更新位置，公式如下：

(3)

其中：D′=|X*(t)-X(t)|表示搜索代理與目標(biāo)獵物之間的距離；b是對數(shù)螺旋線形狀常數(shù)；l是介于-1～1之間的隨機(jī)數(shù)；p是介于0～1之間的隨機(jī)數(shù).

3) 獵物搜索

搜索代理可通過隨機(jī)游走更新位置來增強(qiáng)算法全局探索能力，公式如下：

X(t+1)=Xr(t)-A·D,

(4)

D=|C·Xr(t)-X(t)|.

(5)

其中，Xr(t)是從種群中隨機(jī)選擇的搜索代理位置向量.

2 混沌鯨魚優(yōu)化算法

2.1 混沌映射

混沌映射產(chǎn)生的混沌序列使搜索代理位置遍歷整個搜索空間，保證種群多樣性，可用于提升基本W(wǎng)OA算法的全局搜索能力，避免其早熟收斂.本文采用Circle、Gauss、Logistic、Sinusoidal及Tent這5種混沌映射產(chǎn)生混沌序列，混沌映射見表1.考慮到混沌初值敏感性，為了便于比較，除Tent映射的初值為0.6外，其余映射初值均為0.7，映射的范圍為(0,1)，映射迭代100次.5種混沌映射如圖1所示.

表1 混沌映射

2.2 混沌鯨魚優(yōu)化算法

為更好地協(xié)調(diào)算法的全局和局部的探索開發(fā)能力，引入帶混沌擾動的慣性權(quán)重位置更新策略.慣性權(quán)重公式為

(6)

其中：ωi、ωf分別是慣性權(quán)重ω的初值、終值；chaos(t)是混沌序列.則當(dāng)前位置和螺旋機(jī)制位置更新公式可表示為：

X(t+1)=ω·X*(t)-A·D,p<0.5;

(7)

X(t+1)=D′·ebl·cos(2πl(wèi))+ω·X*(t),p≥0.5.

(8)

CWOA在更新代理模型位置時，通過參數(shù)p和A，根據(jù)式(7)、(8)和式(4)選擇不同的位置更新方式，具體CWOA的算法步驟如下：

圖1 混沌映射圖Fig.1 Graphs of chaotic maps

初始化鯨魚種群N，計算得出搜索代理的適應(yīng)度值，記錄當(dāng)前最優(yōu)個體X*；

while(t

fori=1∶N

更新參數(shù)a,A,C,l,p;

if(p<0.5)

if(|A|<1)

根據(jù)式(7)更新搜索代理位置；

elseif(|A|≥1)

隨機(jī)選擇搜索代理位置Xr；

根據(jù)式(4)更新搜索代理位置；

endif

elseif(p≥0.5)

根據(jù)式(8)更新搜索代理位置；

endif

endfor

計算得出搜索代理的適應(yīng)度值；

更新當(dāng)前最優(yōu)位置X*；

t=t+1

endwhile

返回X*.

3 仿真與分析

3.1 基準(zhǔn)測試函數(shù)

本文選用6個典型的基準(zhǔn)測試函數(shù)將表1中的幾種混沌映射分別代入式(6)中調(diào)整慣性權(quán)重，更新搜索代理位置，以評價算法的整體性能.測試函數(shù)見表2，f1～f3為單峰函數(shù)，其余為多峰函數(shù).

3.2 結(jié)果對比分析

對基本W(wǎng)OA算法分別加入Circle、Gauss、Logistic、Sinusoidal及Tent映射，記為CWOA1～CWOA5.算法的基本參數(shù)設(shè)置：種群大小均設(shè)為30；算法最大迭代次數(shù)均設(shè)為500；測試函數(shù)的維度為30；慣性權(quán)重初值ωi、終值ωf分別取0.9、0.2.每種混沌算法獨立運行30次，求出運行結(jié)果的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及所需的迭代次數(shù).表3給出了CWOA1～CWOA5和基本W(wǎng)OA對不同測試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果.尋優(yōu)收斂曲線如圖2所示，為了便于觀察，收斂曲線縱軸取以10為底的指數(shù)形式.

表2 基準(zhǔn)測試函數(shù)

表3 WOA和CWOA的尋優(yōu)結(jié)果比較

分析表3中結(jié)果可知：與WOA相比，除了函數(shù)f3，CWOA在其他的測試函數(shù)上均能獲得較好的尋優(yōu)效果；在函數(shù)f1、f4、f5和f6中CWOA4(Sinusoidal映射)在幾種算法中所需的平均迭代次數(shù)最多；對于函數(shù)f3，只有CWOA1(Circle映射)和CWOA5(Tent映射)較WOA表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)性能.總體上而言，加入混沌映射慣性權(quán)重后提高了算法的尋優(yōu)速度和精度.

圖2 尋優(yōu)收斂曲線比較Fig.2 Comparisons of optimization convergence curves

從圖2中可以看出，相較于基本W(wǎng)OA，雖然圖2(c)中加入混沌策略的算法在函數(shù)f3的尋優(yōu)過程中并未表現(xiàn)出優(yōu)越的尋優(yōu)性能，但是，CWOA算法在其他5個測試函數(shù)上均展現(xiàn)出了較優(yōu)的收斂速度和尋優(yōu)精度，尤其是CWOA2(Gauss映射)算法.圖2(d)和(f)中，CWOA2分別在迭代55次和40次后就到達(dá)了理論最小值0.因此，將加入Gauss映射的CWOA用于有限元模型修正問題中.

4 有限元模型修正問題

有限元模型修正是通過調(diào)整模型中的設(shè)計參數(shù)使得模型的計算響應(yīng)與結(jié)構(gòu)實測響應(yīng)差異最小，最終使得修正后的有限元模型能夠更準(zhǔn)確、可靠地反映實際結(jié)構(gòu)特性，還可以為結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測狀況評估提供依據(jù)，這是典型的優(yōu)化問題[12-14].一般以固有頻率、模態(tài)振型或頻響函數(shù)等振動信息為目標(biāo)，構(gòu)造模型修正目標(biāo)函數(shù)[15].由于頻響函數(shù)含有較多的頻率點信息，可以避免因模態(tài)識別帶來的不必要的誤差.本文使用加速度頻響函數(shù)進(jìn)行模型修正.

4.1 目標(biāo)函數(shù)

對于多自由度阻尼系統(tǒng)，其加速度頻響函數(shù)為

(9)

式中：M、C、K分別為n×n維結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣；ω為激勵頻率.

此時，可將有限元模型修正問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)最小化問題進(jìn)行求解：

(10)

其中：xi是第i個待修正參數(shù)；lb和ub分別是修正參數(shù)

的上限、下限；m是待修正參數(shù)個數(shù)；k是頻率點個數(shù)；Ht(ωj)、Ha(ωj)分別是在第j個頻率點ωj上的試驗實測加速度頻響函數(shù)值、有限元模型所得頻響函數(shù)值.

4.2 基于CWOA的有限元模型修正

為驗證CWOA針對有限元模型修正問題的有效性，分別采用GA、PSO和加入Gauss映射的CWOA解決一二維桁架的有限元模型修正問題.桁架如圖3所示，該桁架結(jié)構(gòu)包含25個桿單元、14個節(jié)點.除節(jié)點1和節(jié)點13，其他節(jié)點有x、y兩個方向的自由度，共25個自由度.桿單元的彈性模量為E=210 GPa，密度為ρ=7 850 kg·m-3.

圖3 二維桁架Fig.3 Two-dimensional truss model

選取x=[E,ρ]即彈性模量和密度為待修正參數(shù).假設(shè)上述模型彈性模量和密度為真實值，所對應(yīng)加速度頻響函數(shù)為試驗實測值.并對彈性模量增加10%、密度減少10%得到有限元值.選取節(jié)點11的y方向為試驗測試激勵點，節(jié)點3的y方向為測試點.對于加速度頻響函數(shù)，頻率范圍0～150 Hz.對實測頻響加入5%的噪聲，以模擬試驗過程中噪聲的影響.分別利用GA、PSO和CWOA求解式(10).求解時，所有算法種群大小和算法最大迭代次數(shù)取值相同，分別為50、100.其他參數(shù)設(shè)置見表4.求解過程的迭代收斂曲線如圖4所示.修正結(jié)果對比見表5.

從圖4可以明顯看到，迭代求解過程中，與GA、PSO比較，CWOA算法顯示出更好的計算結(jié)果，收斂速度快，計算精度高.由表5可以得出，加入Gauss映射的CWOA算法其修正后的誤差更小，修正結(jié)果更接近試驗值.CWOA對有限元模型修正問題有較好的求解精度.

圖5給出了修正前后加速度頻響函數(shù)對比曲線.由圖5可以看到，修正后的頻響函數(shù)與試驗頻響函數(shù)曲線有很好的重合，進(jìn)一步驗證了所提出的CWOA算法的修正效果.

表4 算法參數(shù)設(shè)置

圖4 迭代收斂曲線對比Fig.4 Comparison of iterative convergence curves

表5 參數(shù)修正結(jié)果對比

圖5 修正前后頻響函數(shù)曲線Fig.5 Curves of frequency response function before and after model updating

5 結(jié)論

對于基本W(wǎng)OA算法仍然存在的收斂精度不高、全局和局部搜索難平衡、易陷入局部最優(yōu)解的問題，將帶混沌擾動的慣性權(quán)重更新策略用于鯨魚位置更新中，基于混沌策略提出了改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法CWOA.通過5種混沌映射在基準(zhǔn)測試函數(shù)中的對比，得出Gauss映射能更好的提高WOA的性能.并將加入Gauss映射的CWOA用于有限元模型修正問題求解中，驗證了CWOA解決這一工程問題的有效性.