王靚玥，郭延寧，馬廣富，劉魏林

(哈爾濱工業(yè)大學控制科學與工程系，哈爾濱 150001)

0 引 言

隨著空間技術的不斷發(fā)展，航天任務變得愈加復雜化、多樣化，從早期任務單一的技術實驗驗證衛(wèi)星到目前任務多樣明確的各種空間應用衛(wèi)星，如導航衛(wèi)星、遙感衛(wèi)星、氣象衛(wèi)星等。同時，隨著任務需求的提高，空間大型撓性附件、在軌服務機械臂、復雜多樣的有效載荷等裝置的逐漸部署使得航天器的結構日趨復雜，給航天器平臺的設計帶來了諸多約束與挑戰(zhàn)。

航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)作為航天器平臺的一個重要分系統(tǒng)，是航天器能否完成設計任務的關鍵一環(huán)。為高效準確地成功完成任務，對航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的設計提出更高的要求。1) 高可靠性：航天器研發(fā)成本巨大，設計壽命長，因此首要保證姿態(tài)控制系統(tǒng)的高可靠性性能，要求其具有故障診斷和重構的能力。2) 高精度：航天器姿態(tài)的指向精度是評價其姿態(tài)控制律的重要指標，新型定向衛(wèi)星的指向精度要求已高達角秒級。3) 高敏捷性：對于進行大范圍掃描的觀測衛(wèi)星，姿態(tài)機動的敏捷性決定了其觀測范圍和使用效率。4) 強魯棒性：難以測量的干擾力矩、內(nèi)外部參數(shù)不確定性以及敏感器和執(zhí)行器的安裝誤差等因素的影響要求航天器姿態(tài)系統(tǒng)具有強魯棒性。5) 高穩(wěn)定度：對于光學遙感衛(wèi)星，其運動部件的轉動和撓性結構的振動會降低成像的質量，因此要求衛(wèi)星具有高穩(wěn)定性。

航天器姿態(tài)系統(tǒng)的設計是一個經(jīng)典但又十分復雜的問題，涉及系統(tǒng)敏感器、執(zhí)行機構等硬件的選型配置，以及姿態(tài)確定算法、姿態(tài)控制算法的設計優(yōu)化。僅針對姿態(tài)控制算法而言，又包括了控制輸入飽和[1]、系統(tǒng)狀態(tài)受限[2]、系統(tǒng)狀態(tài)不可測[3]、參數(shù)不確定性[4]、干擾抑制[5]、通信時延[6]、快速穩(wěn)定[7]、容錯控制[8]等一系列問題。特別地，在實際任務中，由于作為航天器執(zhí)行機構的控制力矩陀螺、反作用飛輪以及反作用推力器的物理限制，航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)中不可避免地存在輸入飽和問題。如果在控制律設計過程中未考慮輸入飽和情況，則對于未觸發(fā)飽和約束的姿態(tài)調(diào)節(jié)控制而言，其性能并無差異，但是對于需要較大控制力矩的姿態(tài)機動、快速捕獲、姿態(tài)跟蹤以及軌控期間的姿態(tài)保持等任務，則可能導致實際施加到航天器的控制力矩不能在給定時間內(nèi)完成既定姿態(tài)控制任務，甚至造成系統(tǒng)失穩(wěn)的嚴重情況。

針對控制輸入飽和問題，國內(nèi)外學者已經(jīng)展開了大量研究，并取得了豐富的研究成果。本文對目前公開發(fā)表的航天器姿態(tài)控制領域輸入飽和問題的文獻進行分類整理，將輸入飽和的解決技術途徑總結為以下三類，如表1所示：1) 控制律整體考慮飽和：該方法是指首先在不考慮輸入飽和的情況下進行姿態(tài)控制律的設計，接著通過某種方法對所得控制量進行飽和約束，使其滿足輸入飽和的要求。常見的方法有：飽和函數(shù)法[1-2,9-13]、限幅函數(shù)法[14-23]、切換函數(shù)法[24-25]、抗飽和控制[4,26-31]等。2) 控制律各項分別考慮飽和：姿態(tài)控制律是由若干項疊加而成，若控制律中的每一項均滿足某幅值約束，則通過對各項系數(shù)的選取，即可使得控制律整體滿足給定輸入飽和的要求。常見的設計方法有：類PD控制[3,5,32-39]、反步法[40]等。3) 考慮飽和約束的優(yōu)化[41-45]：最優(yōu)化方法中的時間/能量等最優(yōu)控制在初末條件等約束下，得到某種性能指標最優(yōu)解。本文將分別對三類技術途徑中的各種方法進行詳細闡述，總結分析其設計思想、工作原理、特點、效果效用及適用范圍等內(nèi)容。

表1 常見解決輸入飽和問題方法總結Table 1 Summary of usual methods solving input saturation

1 航天器姿態(tài)控制輸入飽和問題

根據(jù)剛體復合運動關系，建立剛體航天器姿態(tài)運動學方程[46]。利用3-1-2轉序歐拉角描述航天器的姿態(tài)運動學方程為

(1)

式中:θ=[θ1,θ2,θ3]T表示航天器本體系相對于參考系(可以為慣性系、軌道系等)姿態(tài)角，ω=[ω1,ω2,ω3]T為航天器參考姿態(tài)角速度，Rbo為本體系相對于參考系的3-1-2轉序的方向余弦矩陣，ωd為參考系中的期望角速度，視航天器任務而定，矩陣A為

利用四元數(shù)描述的航天器運動學方程為

(2)

根據(jù)剛體的動量矩定理定理，有剛體航天器的姿態(tài)動力學方程如下所示[46]：

(3)

式中:J為航天器轉動慣量矩陣，u=[u1,u2,u3]T表示航天器的控制力矩，d表示環(huán)境干擾和模型不確定性等所有的干擾力矩。

在實際的航天器系統(tǒng)中，執(zhí)行機構的物理限制導致航天器控制律存在輸入飽和問題。總的來說，根據(jù)執(zhí)行機構特性不同，控制輸入飽和分為三種：

1) 三軸控制力矩矢量幅值飽和：如采用具有近似球形力矩包絡的五棱錐構型控制力矩陀螺群情況，其對應數(shù)學描述為

(4)

式中:umax為最大力矩幅值。

2) 三軸控制單軸幅值飽和：如在每個軸安裝對應的反作用力矩推力器或反作用飛輪等情況，其對應數(shù)學表達式為

|ui|≤uimax(i=1,2,3)

(5)

3) 復雜控制力矩包絡：由于執(zhí)行機構安裝構型、環(huán)境約束等導致的不屬于以上兩種情況的力矩約束，比如金字塔構型控制力矩陀螺群、并非沿坐標軸安裝的斜裝飛輪或者反作用推力器、由于磁場約束帶來的磁控力矩約束為圓盤面等。

其中無論執(zhí)行機構安裝構型如何，出于簡單考慮，工程應用一般考慮第二種情況以實現(xiàn)單軸解耦控制，對應的研究成果也最多。第一種約束條件也可以通過控制律設計實現(xiàn)，但相對成果較少。此外，即使對于第二種簡單飽和約束情況，已有文獻證實時間最優(yōu)控制還需要通過數(shù)值優(yōu)化求解得到的若干次控制切換完成[44]。因此，無論以上任何約束情況，如果要充分發(fā)揮執(zhí)行機構最大能力，都需要最優(yōu)化方法。

由于在軌計算機計算能力有限，而姿態(tài)控制任務一般要求較高的實時性和可靠性，因此已有研究主要針對的是第二種輸入飽和問題，即單軸幅值分別受限問題的解決技術途徑進行研究。為了更加直觀地對比已有的處理輸入飽和約束方法的基本原理和工作特性，本文假設各個單軸的幅值限制相同，不考慮干擾力矩情況下，有簡化的單軸解耦的航天器姿態(tài)運動學、動力學方程如式(6)所示：

(6)

式中:θ為單軸的航天器姿態(tài)角，ω為單軸姿態(tài)角速度，u為單軸的控制力矩。亦可將單軸的姿態(tài)運動學寫成四元數(shù)形式。

有關針對第一類和第三類約束的更多詳情，請參考相關最優(yōu)化方法的研究進展。

2 控制律整體考慮飽和

該類解決技術途徑是指采用合適的控制方法設計未考慮輸入飽和的控制指令，然后借助某種限幅方法對該控制指令進行限幅處理，確保最終的控制指令滿足飽和約束。

2.1 飽和函數(shù)法

飽和函數(shù)法是指將執(zhí)行機構最大力矩幅值作為飽和函數(shù)的幅值約束條件，通過飽和函數(shù)后的控制律輸出滿足飽和約束。具體分為直接法和間接法兩種方式。

2.1.1直接法

直接法是指直接在設計的姿態(tài)控制律外引入sat飽和函數(shù)以滿足控制輸入飽和約束[1,9]。該方式采用最簡單直接的方式“暴力”地解決了輸入飽和問題。并且，能夠在對未觸發(fā)飽和約束的控制不產(chǎn)生影響的前提下最大程度的利用執(zhí)行機構的控制能力。然而，該方式在穩(wěn)定性證明時通常只能保證控制律未考慮飽和約束前的系統(tǒng)穩(wěn)定性。在不考慮控制與干擾力矩的情況下，由于航天器本身為保守系統(tǒng)，因此對于多數(shù)的姿態(tài)調(diào)節(jié)任務而言，并不會導致航天器失穩(wěn)等惡劣后果。

2.1.2間接法

間接法[2,10-13]在控制律設計時已考慮了限幅后控制律的穩(wěn)定性。該方式同樣能夠充分發(fā)揮執(zhí)行機構的控制能力，并且能夠通過理論證明保證系統(tǒng)全工況下的穩(wěn)定性(當然，一般僅針對有初始誤差的姿態(tài)調(diào)節(jié)或靜止到靜止的姿態(tài)機動任務)，但設計及證明過程較為復雜。典型設計步驟為首先設計未考慮輸入飽和的控制律，并設計某一李雅普諾夫函數(shù)，將限幅后的控制律代入。為保證滿足李亞普諾夫穩(wěn)定性，在限幅前控制律中增加自適應參數(shù)項，并進一步對李雅普諾夫函數(shù)進行增廣，通過設計合適的自適應律以及選擇合適的控制參數(shù)，在假設系統(tǒng)未考慮飽和約束前控制律不會無限大等合理條件的前提下證明了限幅后控制律的穩(wěn)定性。

2.2 限幅函數(shù)法

由于描述執(zhí)行機構實際物理限制的飽和函數(shù)為不連續(xù)可微、非光滑函數(shù)，飽和約束處的導數(shù)不存在。因此，人們提出了多種分段可微或全局可微的光滑限幅函數(shù)作為替代，與飽和函數(shù)相比，本方法不僅能滿足實際飽和約束，還為控制律設計與分析帶來極大便利。為了對常見的限幅函數(shù)有一個較為清晰直觀的認識，圖1將其綜合繪制在同一坐標軸內(nèi)。由圖1中可以看出，改進飽和函數(shù)限幅的曲線與飽和函數(shù)最為接近，是對航天器執(zhí)行機構輸入飽和最貼近的描述。

圖1 常見限幅函數(shù)曲線圖Fig.1 Curve of usual limiting functions

2.2.1改進飽和函數(shù)

改進的飽和函數(shù)[14]利用tanh函數(shù)在幅值約束的極小領域附近與sat函數(shù)的接近性，使得改進飽和函數(shù)足夠近似實際飽和約束。其具體形式如下式(7)所示

u=

(7)

式中:參數(shù)a為一極小正數(shù)，用于保證改進飽和函數(shù)的分段可微性。uc為限幅前設計的控制律。umax為最大力矩幅值。

該限幅函數(shù)為一個分段可微函數(shù)，其限幅具體程度可跟隨參數(shù)a調(diào)節(jié)，十分接近實際限幅。同時，其不影響飽和約束前的控制大小。

2.2.2雙曲正切函數(shù)

利用雙曲正切函數(shù)[15]進行飽和約束的具體形式如下所示：

(8)

雙曲正切函數(shù)利用了函數(shù)值域本身進行限幅，全局可微，限幅函數(shù)為固定形式且削弱了飽和約束前的控制。到達飽和約束后的輸出值略小于實際飽和幅值，且隨著輸入的增加，輸出能夠較快地無限接近于實際幅值，能夠較為充分的利用執(zhí)行機構的輸出能力，屬于過限幅類型。

2.2.3負冪函數(shù)

負冪函數(shù)[18]進行約束的數(shù)學表達式如下所示：

u=sgn(uc)umax(1-exp(-sgn(uc)uc/umax))

(9)

負冪函數(shù)同樣利用函數(shù)值域進行限幅，全局可微，限幅函數(shù)為固定形式且削弱了飽和約束前的控制。但飽和后的輸出明顯小于實際飽和幅值，過于保守，執(zhí)行機構利用率較低，屬于強限幅類型。

2.2.4高斯誤差函數(shù)

高斯誤差函數(shù)[19]進行幅值約束的形式如下式所示：

(10)

高斯誤差函數(shù)同樣利用函數(shù)值域進行限幅，其工作特點以及限幅作用基本同雙曲正切函數(shù)相同，同屬于過限幅類型。

2.2.5導數(shù)限幅函數(shù)

導數(shù)限幅函數(shù)[20]利用導數(shù)為負則函數(shù)值遞減，導數(shù)為正則函數(shù)值遞增的性質完成飽和約束。具體形式如下：

(11)

導數(shù)限幅函數(shù)可以通過參數(shù)調(diào)節(jié)進行變化，全局可微。到達飽和約束前經(jīng)過導數(shù)限幅函數(shù)的控制先增強后削弱，且屬于強限幅類型。

2.2.6死區(qū)模型函數(shù)

死區(qū)模型函數(shù)[21]利用死區(qū)性質進行限幅，數(shù)學表達式如下：

(12)

死區(qū)模型函數(shù)是一個全局可微，參數(shù)可調(diào)的限幅函數(shù)，其使得飽和約束前的控制增強，到達飽和約束后的控制與實際限幅接近。

2.3 切換函數(shù)

切換函數(shù)[24]解決輸入飽和問題的設計思想為令限幅后的控制律僅在飽和力矩幅值之間切換。在不考慮飽和約束情況下，通過系統(tǒng)狀態(tài)量及其組合設計控制律得到控制指令uc，然后引入同uc符號一致的飽和控制力矩指令作用到航天器。其數(shù)學表達式為：

u=umaxsgn(uc)

(13)

對于航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)來說，該方法通常與滑模變結構控制相結合，比如未考慮飽和約束設計的控制指令可以是由航天器姿態(tài)和姿態(tài)角速度構成的滑模面。當然，多數(shù)情況下，線性滑模面的構造一般等同于PD控制。

切換函數(shù)法的優(yōu)點是能夠最大程度利用執(zhí)行機構的力矩輸出能力，對于需要快速姿態(tài)機動或跟蹤的系統(tǒng)而言，其控制速度非?？?。然而，無論系統(tǒng)狀態(tài)如何，控制力矩幅值均相同，因此不能對于不同的系統(tǒng)狀態(tài)進行針對性設計。此外，當系統(tǒng)抵達所設計的滑模面(或uc接近0)時，過大的控制力矩導致了系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面或平衡點附近高頻抖動，即抖振現(xiàn)象。高頻的切換指令在實際任務不僅難以實現(xiàn)，還可能激勵太陽帆板振動或液體燃料晃動，使得此類控制律不能直接應用。

針對上述抖振問題，可以引入邊界層的概念對式(10)進行改進[25]，改進后的控制律如下所示。

u=umaxsat′(uc)

(14)

式中

式中:Δ即稱為邊界層，其幅值的大小影響著系統(tǒng)的抖振強弱和控制性能。邊界層越大，切換次數(shù)越少，抖振的抑制能力越強，但系統(tǒng)的響應速度越慢。繪制改進前后切換函數(shù)描述如圖2所示。

圖2 改進前后切換函數(shù)曲線圖Fig.2 Curve of switching function and improving switching function

2.4 抗飽和控制

考慮輸入飽和后作用到航天器實際控制力矩和按照性能指標要求設計的控制力矩不相同，從而使得航天器系統(tǒng)的性能不能按照預定的規(guī)律變化，影響系統(tǒng)的控制效果。為削弱輸入受限對控制性能的影響，在飽和函數(shù)、限幅函數(shù)等解決輸入受限方法的基礎上引入抗飽和控制，以獲得更佳的控制效果。

抗飽和控制的工作機理為將限幅前后的控制力矩作為輸入，通過抗飽和模塊進行處理，將其輸出反饋到控制器，即在控制器中增加抵消輸入飽和影響的控制項，原理圖如圖3所示。當然，如果原有控制器輸出的控制指令并未觸碰限幅函數(shù)邊界，則抗飽和模塊的輸出也為零。

圖3 抗飽和控制原理圖Fig.3 Theory of anti-saturation control

常見的抗飽和模塊設計方案有：

1) 神經(jīng)網(wǎng)絡[26]：利用神經(jīng)網(wǎng)絡對非線性的逼近特性，設計合適的網(wǎng)絡作為抗飽和模塊，通過對網(wǎng)絡的訓練，使得神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出可以削弱輸入飽和對控制系統(tǒng)的影響。

2) 干擾觀測器[28]：將輸入飽和對控制力矩的影響視為系統(tǒng)的一種干擾，通過設計干擾觀測器，對前后差值進行估計后并將估計值反饋到控制器中。

3) 抗積分飽和][29]：飽和現(xiàn)象往往是由于控制器中所含的積分環(huán)節(jié)引起，故抗積分飽和的工作原理是對限幅函數(shù)前后控制力矩之差的積分作為反饋信號構成負反饋之路進行抗飽和處理。

4) 輔助系統(tǒng)[30]：即定義輔助變量，并在控制律中引入輔助變量，通過設計輔助變量更新律的設計實現(xiàn)抗飽和。

2.5 特點及應用總結

控制律整體考慮飽和能夠充分利用執(zhí)行機構力矩輸出能力，換言之，在控制過程中該技術路徑產(chǎn)生的實際控制指令將會到達并保持在飽和幅值。控制律從形式上能夠顯然地滿足飽和約束，結構簡單，意義明確。然而，飽和約束、有界干擾以及航天器三軸耦合等因素導致在采用該技術途徑設計控制律時需要引入自適應律或限定控制系數(shù)的范圍以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最終設計的控制律形式較為復雜，系數(shù)選取受限，計算量較大。

飽和函數(shù)直接法雖然在多種實際任務中能夠使得系統(tǒng)狀態(tài)趨于穩(wěn)定，但是尚缺乏有效統(tǒng)一的穩(wěn)定性證明，甚至對于部分超出執(zhí)行機構控制能力的快速跟蹤任務而言，根本不能證明。而飽和函數(shù)間接法和限幅函數(shù)法在構造李雅普諾夫函數(shù)時常常引入了除狀態(tài)變量以外的自適應項，所以該李雅普諾夫函數(shù)單調(diào)遞減并不等價于航天器狀態(tài)的漸近收斂，當然這也是為了滿足各種實際問題不得已作出的妥協(xié)。同時，在穩(wěn)定性證明時需要考慮姿態(tài)動力學模型中輸入的控制與直接設計的控制的差值，在假定差值不會無限大的前提下，通常將控制律改寫為類似線性或未考慮飽和約束的控制加限幅補償?shù)男问竭M行后續(xù)證明。

采用該技術途徑設計的控制律能夠較為充分的利用執(zhí)行機構的輸出能力，相應調(diào)節(jié)時間短，但形式復雜，計算量較大，適當調(diào)節(jié)參數(shù)情況下，適合對任務時間有一定要求、計算能力強的航天器姿態(tài)快速機動等任務。同時，對航天器的控制精度和性能有一定標準的任務，可采用該技術途徑與抗飽和控制相結合的控制方法，以補償超出飽和約束的部分，削弱對系統(tǒng)控制系統(tǒng)的影響。

3 控制律各項分別考慮飽和

這類方法的設計思想是利用系統(tǒng)某些狀態(tài)本身或狀態(tài)函數(shù)有界的特性使得控制律中的每一項均滿足某一幅值限制。并且通過對各項控制系數(shù)的選取，設計的控制律在系統(tǒng)的任何狀態(tài)下都能滿足飽和約束。

3.1 類PD控制

(15)

表2 類PD控制中常見的比例項和微分項形式Table 2 Usual proportional and differential terms in PD like control

|uc|≤Kp+Kd

(16)

因此，可以根據(jù)Kp+Kd≤umax的原則，選擇控制系數(shù)Kp和Kd。

3.2 反步法

反步法[40]是一種遞歸設計方法，通過遞歸地構造閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)設計保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的控制律。對于航天器姿態(tài)控制問題，反步法依次構造姿態(tài)穩(wěn)定Lyapunov函數(shù)、姿態(tài)角速度穩(wěn)定Lyapunov函數(shù)(包含姿態(tài)穩(wěn)定Lyapunov函數(shù))，并利用Lyapunov直接法分別設計虛擬控制律以及姿態(tài)控制律。解決輸入飽和的原理是利用三角不等式|a+b|≤|a|+|b|，使得控制律中的各項分別滿足某一幅值限制，通過控制律中控制系數(shù)的選取，使得控制律滿足飽和約束。

根據(jù)上述思想，利用反步法解決輸入飽和問題的單軸控制律的一般形式如下式(17)所示[40]：

(17)

式中:g>0，ωs為虛擬姿態(tài)控制律，Ω(·)為一類κ∞函數(shù)。即Ω(·)嚴格單調(diào)遞增，且滿足Ω(0)= 0，Ω(∞)= ∞。其通常選取為Ω(x)=ηx,η>0的形式。

虛擬控制律的設計既要保證航天器的姿態(tài)穩(wěn)定性，又要滿足單項幅值受限的約束。當選擇四元數(shù)描述方式時，可以設計為比例控制，即ωs=-sq；當利用其它描述方式時，即可利用反正切函數(shù)等函數(shù)設計如ωs=-αarctan(βθ)等滿足飽和約束的形式，式中，α>0,β>0。

當設計虛擬控制律為ωs=-sq，Ω(·)函數(shù)為Ω(x)=ηx,η>0時控制律如下式(16)所示

(18)

式中:e=ω-ωs

利用三角不等式對控制律進行縮放，并結合|q|≤1的性質，得到式(16)的控制律幅值滿足如下約束(具體推導詳見文獻[40])：

(19)

式中:|e|≤max[|e(t0)|,1/(2g)]。

因此，可根據(jù)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，合理選擇控制參數(shù)g,η,s，使得控制律滿足飽和約束條件。

3.3 特點及應用總結

控制律各項分別考慮飽和約束能夠保證設計的控制律在任何狀態(tài)下均能滿足飽和約束。穩(wěn)定性證明同整體考慮飽和相比較為容易，設計簡單。然而，由于各項函數(shù)限幅和三角不等式縮放等因素，推導過程過于保守，不能有效發(fā)揮執(zhí)行機構力矩輸出能力，其控制力矩在大多數(shù)正常工況下通常遠小于約束幅值，僅在系統(tǒng)狀態(tài)或狀態(tài)函數(shù)等變量達到邊界等極值情況才能飽和。因此，在控制系數(shù)滿足要求的同時需要合理，使其能夠在常見工況下充分利用輸出能力。故控制律各項分別考慮飽和得到的控制律適合于對調(diào)節(jié)時間無明確要求的航天器姿態(tài)控制任務或者低成本小衛(wèi)星簡化任務。

4 考慮飽和的優(yōu)化方法

4.1 方法介紹

考慮飽和約束的優(yōu)化方法[41-45]不是一類專門解決輸入飽和問題方法，其在設計如時間等某項性能指標最優(yōu)控制律的過程中，考慮包括輸入飽和在內(nèi)的多種控制及狀態(tài)約束。因此，通過某種解析或數(shù)值解法求解出的控制指令能夠滿足飽和約束。

該方法不僅僅能夠有效解決航天器三軸單軸幅值的輸入飽和問題，針對三軸矢量幅值[47]以及復雜控制力矩包絡[48]輸入飽和問題同樣能夠合理處理。并且，該方法在解決輸入飽和問題的同時還能夠處理多種復雜的狀態(tài)約束[49]。

以時間最優(yōu)控制為例對這種方法進行說明。時間最優(yōu)控制是一種以獲得最短控制時間為目的的控制律設計方法，而輸入飽和約束作為其中的一項約束。其數(shù)學描述為如下:

考慮約束條件：

(20)

求解控制律u使得如下性能指標到達極小值

(21)

式中:x(t)為航天器系統(tǒng)的狀態(tài)：姿態(tài)和姿態(tài)角速度，t0和tf分別為開始時刻和結束時刻。

時間能量最優(yōu)控制同樣是一種可以滿足輸入飽和約束的最優(yōu)化問題，其性能指標一般為

(22)

利用極小值原理或動態(tài)規(guī)劃等方法對上述問題進行求解，可得滿足輸入飽和約束的最優(yōu)控制指令。

4.2 特點及應用總結

考慮飽和的優(yōu)化方法可在考慮多種狀態(tài)及控制約束的情況下得到時間/燃料最優(yōu)解，并且容易應用于末端角速度非零的航天器姿態(tài)機動任務。由于求得的控制律往往為數(shù)值解，計算量較大，并且依賴精確的航天器數(shù)學模型，因此適用于已知精確模型且對于時間、燃料等參量具有最優(yōu)性能需求的航天任務。如大型航天器的最優(yōu)姿態(tài)機動等。目前，如ISS[50]等大型衛(wèi)星已采用地面離線優(yōu)化及在軌跟蹤算法結合的方式完成航天器姿態(tài)機動任務，在滿足狀態(tài)及控制約束的情況下完成時間最優(yōu)控制。雖然當前的優(yōu)化方法多為地面進行并上傳到在軌航天器，但可以預見的是，隨著航天器自身計算能力的不斷提升，該方法未來將具有巨大的應用前景。

5 結束語

航天器控制輸入飽和問題至今已被較為深入廣泛的研究，本文對現(xiàn)有文獻解決輸入飽和問題的方法進行分類總結，分為控制律整體考慮飽和、控制律各項考慮飽和以及考慮飽和的優(yōu)化方法三類，并分別系統(tǒng)地對這三類方法進行詳細的梳理，闡述其數(shù)學形式，分析設計思想，總結工作特征。得到控制律整體考慮飽和適合對任務時間有一定要求、計算能力強的航天器姿態(tài)快速機動等任務?？刂坡筛黜椃謩e考慮飽和由于過于保守僅適用于對調(diào)節(jié)時間無明確要求的航天器姿態(tài)控制任務或低成本小衛(wèi)星簡化任務。已知精確模型且對于時間、燃料等參量具有最優(yōu)性能需求的航天任務通常選用考慮飽和的最優(yōu)化方法。航天器輸入飽和問題是實際航天器任務中不可避免的問題，因此針對輸入飽和問題的研究需要不斷完善，可以在采用控制律整體考慮飽和時如何在保證穩(wěn)定下的前提下簡化控制律的形式；在采用控制律各項分別考慮飽和時，如何更為有效地利用執(zhí)行機構的輸出能力等方面進行深入研究，以更好地為實際任務提供有效的理論支撐,令設計的算法在工程實際中得到應用。