鄭秋月
【摘要】學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成需要在過(guò)程中實(shí)現(xiàn),學(xué)生只有經(jīng)歷問(wèn)題的解決過(guò)程,才能體會(huì)到數(shù)學(xué)思想的作用,才能理解數(shù)學(xué)思想的精髓,才能進(jìn)行知識(shí)的有效遷移.
【關(guān)鍵詞】等腰三角形;分類(lèi)思想
《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出:數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中,是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括.數(shù)學(xué)思想的形成需要經(jīng)歷從模糊到清晰、從理解到應(yīng)用的長(zhǎng)期發(fā)展過(guò)程,需要在不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容教學(xué)中通過(guò)提煉、總結(jié)、理解、應(yīng)用等循環(huán)往復(fù)的過(guò)程逐漸形成,學(xué)生只有經(jīng)歷這樣的過(guò)程,才能逐步“悟”出數(shù)學(xué)知識(shí)、技能中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.
復(fù)習(xí)課是教學(xué)中不可缺少的一環(huán),而中考復(fù)習(xí)課立足于整個(gè)初中階段,在知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的感悟方面對(duì)學(xué)生提出了更高更深的要求.基于數(shù)學(xué)思想滲透的中考總復(fù)習(xí)如何實(shí)施更是值得思考.下面以等腰三角形的復(fù)習(xí)為例,談?wù)劰P者的思考.
一、引“等腰”悟“分類(lèi)”復(fù)習(xí)設(shè)計(jì)
問(wèn)題1:以線段BC為底邊,用尺規(guī)畫(huà)一個(gè)等腰三角形.請(qǐng)說(shuō)出這個(gè)圖形的作圖過(guò)程及運(yùn)用到的知識(shí).
預(yù)設(shè):學(xué)生通過(guò)作圖回顧等腰三角形的定義.
追問(wèn)1:以線段BC為底邊,用尺規(guī)畫(huà)等腰直角三角形.請(qǐng)結(jié)合所畫(huà)圖形說(shuō)明作圖的過(guò)程,并回顧在剛才的畫(huà)圖過(guò)程中運(yùn)用了等腰三角形的哪些知識(shí).
預(yù)設(shè):學(xué)生作等腰直角三角形主要有兩條思路:一是作兩個(gè)45°的底角構(gòu)造等腰直角三角形;二是以BC為直徑作半圓,再作BC的垂直平分線,將半圓與垂直平分線的交點(diǎn)和B,C兩點(diǎn)相連構(gòu)造等腰直角三角形.第一條思路需要運(yùn)用“等角對(duì)等邊”,第二條思路則綜合運(yùn)用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”和“垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”.
追問(wèn)2:怎么把剛剛畫(huà)的等腰直角三角形分成兩個(gè)全等的三角形?
預(yù)設(shè):學(xué)生思考上面所作的BC的垂直平分線是底邊上的高、底邊上的中線、頂角的平分線.
問(wèn)題2:請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件解答問(wèn)題:在△ABC中,AB=AC=5,,求△ABC的面積.
師:可以添加哪些角的角度?先獨(dú)立思考,再小組討論.
生1:可以添加頂角的度數(shù),60°,90°或120°.
師:還可以添加什么?
生2:也可以添加底角的度數(shù),60°,45°或30°.
師:既可以添加頂角的度數(shù)也可以添加底角的度數(shù),結(jié)果是一致的.除了添加角度,還可以添加什么條件也能求面積?
生3:可以添加邊的長(zhǎng)度,如BC=5,52,53等.
師:你是怎么想到這些長(zhǎng)度的?
生3:受到剛才特殊角的啟發(fā).
師:很好,邊的問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化成角的問(wèn)題,它們可以互相轉(zhuǎn)化.還可以添加什么條件?
生4:還可以添加高,底邊上的高,腰上的高都可以.
師:如果是等腰直角三角形,腰上的高就是另一條腰,其他情況呢?要注意什么?
生5:如果是銳角三角形,高在三角形內(nèi)部;如果是鈍角三角形,腰上的高在三角形外部.
師生歸納:等腰三角形的計(jì)算問(wèn)題要注意邊的分類(lèi)、角的分類(lèi)、三角形的分類(lèi)及邊角的轉(zhuǎn)化.
問(wèn)題3:如圖1所示,矩形ABCD中,AB=4,AD=10,點(diǎn)Q是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在AD邊上運(yùn)動(dòng),當(dāng)△BPQ是等腰三角形時(shí),求AP的長(zhǎng)度.
師:當(dāng)△BPQ是等腰三角形時(shí),你認(rèn)為應(yīng)該怎么分析這個(gè)問(wèn)題?
生6:要滿足△BPQ是等腰三角形,有三種情況:
BP=BQ,PQ=BQ,BP=PQ.
生7:由于BQ=5,當(dāng)BP=BQ=5時(shí),可得AP=3;
當(dāng)PQ=BQ=5時(shí),如圖2所示,則QG=4,可得PG=3,則AP=2.
師:BP=PQ呢?
生8:當(dāng)BP=PQ時(shí),如圖3所示,則有AP=BH=12BQ=52.
師:剛才的情形都是銳角三角形,還有其他情況的等腰三角形嗎?
生9:還有鈍角三角形,即∠BQP是鈍角的情形.
如圖4所示,當(dāng)PQ=BQ=5時(shí),有LP=3,AP=8.
師生共同歸納:等腰三角形分類(lèi)時(shí)不僅要考慮邊的分類(lèi),還要注意角的分類(lèi).
變式:已知,如圖5所示,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(43,0),若點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)A,B,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),
請(qǐng)求出此時(shí)C點(diǎn)的坐標(biāo).
師:你是怎么考慮的?你能利用圓規(guī)在圖上畫(huà)出△ABC嗎?
學(xué)生動(dòng)手作圖,大部分學(xué)生很快找出圖6中的C1,
C2,C3.
師:除了C1,C2,C3,還有其他點(diǎn)滿足條件嗎?
生10:還有以AB為底邊的等腰三角形,如圖7所示,作線段AB的垂直平分線,與x軸交于C4.
拓展:如圖8所示,在Rt△AOB中,AO=6,OB=8,P是線段AB上的點(diǎn).當(dāng)△AOP是等腰三角形時(shí),求BP的長(zhǎng).
學(xué)生提出分成三種情況:AO=AP,AO=OP,AP=OP.
當(dāng)AO=AP時(shí),學(xué)生馬上求出BP=4.
生11:當(dāng)AO=OP時(shí),如圖9所示,可以過(guò)O作OH⊥AB于H,利用
面積法可以求出OH=245,再利用勾股定理求出AH=185,
則有AP=2AH=365,所以BP=145.
生12:也可以先證△AHO∽△AOB,得到AOAB=AHAO,求出AH=185,從而得到BP=145.
生13:還可以利用cos A=35,求出AH,從而得到BP.
師:非常好,這三個(gè)同學(xué)用不同的方法求出AH的長(zhǎng).同學(xué)們,你們認(rèn)為解答這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵在哪里?
學(xué)生紛紛表示關(guān)鍵是作出高OH.
圖10師:等腰三角形的常用輔助線是底邊上的高線.那么當(dāng)AP=OP時(shí),怎么求?
生14:過(guò)P作PM⊥AO,如圖10所示,根據(jù)等腰三角形“三線合一”,
可以得到AM=12AO,所以AP=BP=12AB=5.
二、教學(xué)立意的進(jìn)一步解讀
1.動(dòng)手操作,尺規(guī)作圖回顧知識(shí)
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識(shí),感悟數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力,就需要讓學(xué)生積累豐富而有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過(guò)程和“思考”的過(guò)程中積累.尺規(guī)作圖需要將幾何定理與動(dòng)手實(shí)踐相結(jié)合.演繹推理、合情推理源于動(dòng)手操作,而動(dòng)手操作的前提是幾何猜想.尺規(guī)作圖是手腦并用的活動(dòng),將操作與思考有機(jī)結(jié)合,能夠促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化.尺規(guī)作圖活動(dòng)既有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),又能促進(jìn)學(xué)生形成獨(dú)立思考、自主探索、反思質(zhì)疑的良好思維品質(zhì).在幾何總復(fù)習(xí)階段,采取尺規(guī)作圖這種方式回顧舊知,能夠讓學(xué)生積累更多的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題1的引導(dǎo)下,學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)手“做數(shù)學(xué)”的過(guò)程,立足于整個(gè)初中階段知識(shí)復(fù)習(xí)等腰三角形的定義、性質(zhì)和判定方法,從而對(duì)舊知的理解更為透徹,形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).
2.知識(shí)建構(gòu),初步感悟分類(lèi)思想
復(fù)習(xí)時(shí),僅羅列知識(shí)點(diǎn)而沒(méi)有對(duì)這些知識(shí)“再建構(gòu)”,學(xué)生難以對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行深刻認(rèn)識(shí)和深度把握,更難以保持持久性和可遷移性.數(shù)學(xué)思想是“再建構(gòu)”的靈魂,在“等腰三角形的復(fù)習(xí)”這節(jié)課中,教師通過(guò)適當(dāng)增加條件將等腰三角形變?yōu)榈冗吶切?、等腰直角三角形等,讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊的思想方法.同時(shí),教師為進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)相關(guān)問(wèn)題的通法通解的掌握,實(shí)現(xiàn)技能固化,引導(dǎo)學(xué)生思考添加頂角角度和底角角度的不同之處,討論添加的高在腰上或底邊上、在圖形內(nèi)部或外部這些情況,滲透分類(lèi)討論的思想.
3.知識(shí)生長(zhǎng),進(jìn)一步感悟分類(lèi)思想
數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟內(nèi)化需要經(jīng)歷一個(gè)螺旋上升、長(zhǎng)期發(fā)展的過(guò)程,需要教師在不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容中不斷滲透,學(xué)生只有經(jīng)歷這樣不斷感悟的過(guò)程,才能逐步“領(lǐng)悟”出其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.在中考總復(fù)習(xí)中,教師要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”和“延伸點(diǎn)”,利用一題多變、一題多解、多題歸一等方法讓學(xué)生從不同角度分析,從不同層次理解,不斷深入思考,逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.例題3的設(shè)計(jì)是應(yīng)用等腰三角形邊的分類(lèi)計(jì)算,同時(shí)還需注意頂角的分類(lèi).在解決問(wèn)題的過(guò)程中,教師要培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念,發(fā)展學(xué)生的推理能力,滲透分類(lèi)討論思想.變式的設(shè)計(jì)是例題的延續(xù),同樣邊的分類(lèi)為腰或底,還需注意頂角的分類(lèi).同時(shí)還涉及尺規(guī)作圖,讓學(xué)生在動(dòng)手操作中理解等腰三角形的性質(zhì).以AB為底邊的等腰三角形是本題的難點(diǎn),再次讓學(xué)生感悟等腰三角形的本質(zhì)就是軸對(duì)稱(chēng)圖形,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理能力,滲透分類(lèi)討論思想.學(xué)生即將中考,需要挑戰(zhàn)中考題.在解決問(wèn)題的起點(diǎn),學(xué)生已經(jīng)能很好地考慮等腰三角形分類(lèi)的情況了,教師要放手給學(xué)生一定的空間和時(shí)間解決問(wèn)題.解答后讓學(xué)生思考并點(diǎn)明等腰三角形的輔助線的常用做法.本題解決方法多樣,學(xué)生從不同角度分析,不斷深入思考,逐步“領(lǐng)悟”分類(lèi)討論這一數(shù)學(xué)思想.
三、結(jié) 語(yǔ)
中考幾何復(fù)習(xí)課堂教學(xué)主要以上述兩個(gè)環(huán)節(jié)為主.數(shù)學(xué)思想重在“悟”,在數(shù)學(xué)活動(dòng)中“悟”,在知識(shí)的“再建構(gòu)”中“悟”,在知識(shí)應(yīng)用中“悟”.經(jīng)歷這樣的過(guò)程有助于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),更有助于學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想.
【參考文獻(xiàn)】
[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.
[2]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專(zhuān)家工作委員會(huì).義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012.