錢(qián)淑華

【摘要】基本不等式是解決多元函數(shù)最值問(wèn)題的有力工具.因?yàn)閷W(xué)生對(duì)此還存在模糊認(rèn)識(shí)，所以筆者在復(fù)習(xí)課中設(shè)置典型例題，并加入變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，引導(dǎo)學(xué)生歸納配湊定值的技巧，使學(xué)生更好地掌握使用基本不等式求多元函數(shù)最值的方法.

【關(guān)鍵詞】多元函數(shù)的最值;配湊定值

一、基本情況

1.學(xué)情分析

授課的班級(jí)為四星級(jí)重點(diǎn)高中高一理科實(shí)驗(yàn)班，學(xué)生整體水平較高，大部分學(xué)生思維活躍而且嚴(yán)密，能很好地參與教學(xué)互動(dòng).

2.教學(xué)內(nèi)容分析

（1）地位及作用

本節(jié)課是“基本不等式ab≤a+b2（a>0，b>0）”的第三課時(shí).在前兩個(gè)課時(shí)中，學(xué)生已經(jīng)探索并了解了基本不等式的證明過(guò)程，并能初步運(yùn)用基本不等式求最值.本節(jié)課的目標(biāo)定位是提升學(xué)生運(yùn)用基本不等式解決多元函數(shù)最值問(wèn)題的能力，加深對(duì)“一正”“二定”“三相等”的理解.

（2）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：運(yùn)用基本不等式求最值.

難點(diǎn)：配湊定值.

（3）設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課從學(xué)生已有的基礎(chǔ)知識(shí)和解題經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)典型例題的講解引導(dǎo)學(xué)生歸納配湊定值的技巧，并在變式訓(xùn)練中讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征.

二、教學(xué)過(guò)程

1.復(fù)習(xí)回顧，溫故知新

師：在前兩節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了基本不等式，它反映了兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的確定的不等關(guān)系.我們運(yùn)用它求了哪兩類(lèi)最值問(wèn)題呢？

生：基本不等式的內(nèi)容是：設(shè)a>0，b>0，則a+b≥2ab，ab≤a+b22，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.所以，當(dāng)ab為定值時(shí)，a+b有最小值，即積定和最小;當(dāng)a+b為定值時(shí)，ab有最大值，即和定積最大.

師：非常好.今天我們運(yùn)用基本不等式來(lái)解決一些初步的多元函數(shù)最值問(wèn)題.

【設(shè)計(jì)意圖】回顧前兩課時(shí)的知識(shí)，指出運(yùn)用基本不等式解決的兩類(lèi)最值問(wèn)題，為接下來(lái)的例題教學(xué)指明方向.

2.典例精析，構(gòu)建方法

例1 若x，y是正數(shù)，求x+12y2+y+12x2的最小值.

學(xué)生給出了以下幾種解法：

法一：因?yàn)閤，y是正數(shù)，所以x+12y2+y+12x2=x2+14x2+y2+14y2+xy+yx≥2x2·14x2+2y2·14y2+2xy·yx=4（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=22時(shí)等號(hào)成立）.

法二：因?yàn)閤，y是正數(shù)，所以x+12y2+y+12x2≥2x+12yy+12x

=2（xy+14xy+1）≥2（2xy·14xy+1）=4（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=22時(shí)等號(hào)成立）.

法三：因?yàn)閤，y是正數(shù)，所以x+12y2+y+12x2≥2x·12y2+2y·12x2=2xy+2yx≥22xy·2yx=4（當(dāng)且僅當(dāng)x=y=22時(shí)等號(hào)成立）.

【設(shè)計(jì)意圖】此題的切入面較寬，目的是讓學(xué)生多角度地思考問(wèn)題.從解題的過(guò)程來(lái)看，學(xué)生抓住了x+12y2+y+12x2的特點(diǎn)，用多種方式構(gòu)造乘積為定值，可謂百花齊放.法一將各項(xiàng)重組，配湊了三對(duì)乘積為定值的式子，即x2與14x2，y2與14y2，xy與yx.法二和法三都是先用一次基本不等式將目標(biāo)函數(shù)縮小為乘積形式，然后再配湊定值.這些解法也讓學(xué)生明確：在多次運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，只要保證每一次等號(hào)都能同時(shí)取到，那么就能取到最終的最值.

例2 已知a>0，b>0，a+b=1，求a+1ab+1b的最小值.

兩位學(xué)生給出了不同的解法，結(jié)果也不一樣.

生1：因?yàn)閍>0，b>0，所以a+1ab+1b≥2a·1a·2b·1b=4.

生2：因?yàn)閍>0，b>0，所以a+1ab+1b=ab+1ab+ba+ab≥ab+1ab+2，又因?yàn)?=a+b≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)等號(hào)成立），所以ab≤14，又函數(shù)y=x+1x在0，14上單調(diào)遞減，所以當(dāng)ab=14時(shí)，ab+1ab+2取得最小值，為254，所以當(dāng)a=b=12時(shí)，a+1ab+1b取到的最小值為254.

師：這兩種解法的結(jié)果不一樣，大家怎么看呢？

生3：我認(rèn)為生2的解法是對(duì)的，因?yàn)樵谒慕忸}過(guò)程中每一次等號(hào)都能同時(shí)取到，而生1的解法中，等號(hào)成立的條件是a=1a且b=1b，即a=b=1，這與條件a+b=1矛盾，所以a+1ab+1b取不到4.

師：思考得非常嚴(yán)謹(jǐn)！這道題提醒我們，在求多元函數(shù)最值時(shí)要時(shí)刻關(guān)注等號(hào)成立的條件.

【設(shè)計(jì)意圖】這道例題既讓學(xué)生明確配湊定值的方向性，又讓學(xué)生在多種解法的辨別中認(rèn)識(shí)到等號(hào)成立的重要性.從教學(xué)效果來(lái)看，學(xué)生普遍意識(shí)到在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)要規(guī)范地書(shū)寫(xiě)解題過(guò)程.

例3 若x>0，y>0，z>0，求xy+yzx2+y2+z2的最大值.

學(xué)生的解法：因?yàn)閤>0，y>0，z>0，

所以xy+yzx2+y2+z2=xy+yzx2+y22+y22+z2≤xy+yz2x2·y22+2y22·z2=xy+yz2xy+2yz=22（當(dāng)且僅當(dāng)x=y2=z時(shí)等號(hào)成立）.

教師給出如下變式：若x>0，y>0，z>0，求2xy+yzx2+2y2+z2的最大值.

學(xué)生的解法：因?yàn)閤>0，y>0，z>0，所以設(shè)2xy+yzx2+2y2+z2=2xy+yz（x2+λy2）+[（2-λ）y2+z2]≤2xy+yz2λxy+22-λyz，