朱顯輝， 簡(jiǎn)有為， 師楠， 高彬

(1.黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，哈爾濱 150022； 2.黑龍江科技大學(xué) 工程訓(xùn)練與基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)中心，哈爾濱 150022)

0 引 言

從本征薄層異質(zhì)結(jié)(heterojunction with intrinsic thin layer,HIT)光伏電池通過(guò)在硅晶片上制備非晶硅薄膜的PN結(jié)以獲得溫度和光照的穩(wěn)定性，在溫度變化和長(zhǎng)期光照下依然具有較好的輸出效率，市場(chǎng)化勢(shì)頭迅猛[1]。準(zhǔn)確地給出HIT電池輸出特性的I-V曲線，不僅是工況變化時(shí)最大功率點(diǎn)跟蹤的重要前提，也是提高HIT電池發(fā)電效率和成本評(píng)估的必要基礎(chǔ)。

描述光伏電池輸出特性曲線的超越方程含有5個(gè)未知參數(shù)，而光伏電池?cái)?shù)據(jù)手冊(cè)只給出了4個(gè)已知條件，無(wú)法對(duì)超越方程直接求解，因而，求解超越方程5個(gè)未知參量的問(wèn)題廣受重視[2]，主要方法有以下幾類(lèi)。

一類(lèi)方法利用化簡(jiǎn)的手段求解參數(shù)。比如，通過(guò)忽略串聯(lián)電阻[3-5]或假定并聯(lián)電阻為無(wú)窮大[6-7]，或假定二極管理想因子為常值[8-9]，進(jìn)而給出剩余4個(gè)未知參量的值。

另一類(lèi)方法是構(gòu)造第5個(gè)新方程求解參數(shù)，其中比較典型的是假定串聯(lián)電阻或并聯(lián)電阻等于特性曲線在開(kāi)路電壓點(diǎn)或短路電流點(diǎn)斜率的負(fù)倒數(shù)[10-11]，或者通過(guò)推導(dǎo)溫度系數(shù)與某一個(gè)未知參量等式關(guān)系[12-13]，尋求光伏電池超越方程未知參量的解。

此外，智能算法在求解光伏超越方程參數(shù)中的應(yīng)用也很多。比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14]、遺傳[15]、模式搜索[16]、粒子束[17]、差分進(jìn)化[12]、模擬退火算法[18]等。

上述方法僅能給出超越方程5個(gè)未知參數(shù)的解，無(wú)法直接給出光伏電池輸出特性曲線，為得到光伏電池的輸出特性曲線，仍需用迭代等方法對(duì)已知參數(shù)的超越方程進(jìn)行數(shù)值求解[19]，而迭代算法不僅仿真時(shí)間長(zhǎng)，且存在對(duì)初值敏感不易收斂等不足[20]。

鑒于上述問(wèn)題，對(duì)無(wú)需預(yù)先求解參數(shù)，且能直接給出光伏電池輸出特性曲線的方法進(jìn)行研究，成為當(dāng)前的太陽(yáng)能發(fā)電技術(shù)的熱點(diǎn)。比如，文獻(xiàn)[21]、[22]分別采用殘差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)光伏電池輸出特性曲線進(jìn)行了預(yù)測(cè)，但該類(lèi)方法無(wú)法擺脫神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要大量訓(xùn)練數(shù)據(jù)的弊端。文獻(xiàn)[23-35]則分別以解析法和泰勒展開(kāi)式給出了光伏電池的特性曲線，但該類(lèi)方法仍需預(yù)先利用迭代等方法求解超越方程的未知參數(shù)。文獻(xiàn)[26]基于Lambert W函數(shù)實(shí)現(xiàn)了特性曲線繪制，但Lambert W函數(shù)不屬于初等函數(shù)，其曲線精確度需以仿真速度為代價(jià)。

值得注意的是，Santiago Pindado等在文獻(xiàn)[27]給出了一種僅利用手冊(cè)給定參數(shù)，無(wú)需求解參數(shù)和構(gòu)造新方程，即可實(shí)現(xiàn)光伏電池建模的簡(jiǎn)單方法，但該方法的建模精確度有待于進(jìn)一步提高。

本文同樣提出一種直接擬合HIT電池輸出特性曲線的方法，該方法僅利用廠商給定參數(shù)，無(wú)需任何實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和超越方程求解，基于兩條2次貝塞爾函數(shù)實(shí)現(xiàn)HIT輸出I-V曲線的擬合，計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，并以變端點(diǎn)弦截迭代數(shù)值解為參考，對(duì)貝塞爾模型和文獻(xiàn)[27]模型的誤差進(jìn)行對(duì)比，證明本文所提方法的具有更好的精確度，對(duì)HIT電池的最大功率的準(zhǔn)確跟蹤和光伏電站的設(shè)計(jì)與規(guī)劃更為有利。

1 基于貝塞爾函數(shù)的本征薄層異質(zhì)結(jié)電池建模

單二極管模型和雙二極管模型是兩種典型的光伏電池的電路拓?fù)?，都可以用?lái)描述HIT電池的輸出特性。為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，本文以單二極管電路為基礎(chǔ)討論HIT電池的輸出特性，其拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1 HIT電池單二極管拓?fù)銯ig.1 Mingle diode topology of HIT cell

圖1所示的HIT單二極管模型輸出特性滿足

(1)

式中：Iph表示光生電流；Io表示二極管反向飽和電流；rs表示串聯(lián)電阻；rp表示并聯(lián)電阻；A表示二極管理想因子；T表示HIT的工作溫度；K表示Boltzmann常數(shù)；Ns表示電池串聯(lián)個(gè)數(shù)；q表示電子電量。

可見(jiàn)，式(1)為超越方程，無(wú)法用代數(shù)方法求解，只能利用迭代等數(shù)值計(jì)算方法求解。

1.1 兩條2次貝塞爾函數(shù)的擬合分析

貝塞爾函數(shù)是法國(guó)工程師皮埃爾·貝塞爾所提出的一種繪制二維曲線圖形的數(shù)學(xué)工具，通過(guò)給定曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)之后，利用控制點(diǎn)位置的調(diào)整可以方便地實(shí)現(xiàn)不同凸凹度的平滑曲線繪制，在曲線設(shè)計(jì)和微機(jī)繪圖中應(yīng)用廣泛，形式如下[28]：

(2)

式中：n為次數(shù)；Oj為按次序排列的控制點(diǎn)坐標(biāo)Oj=O(xj,yj)；t為相關(guān)參數(shù)，0≤t≤1，j=0,1,…,n。

第一個(gè)貝塞爾貝塞爾函數(shù)控制點(diǎn)稱(chēng)為起點(diǎn)，最后一個(gè)貝塞爾貝塞爾函數(shù)控制點(diǎn)稱(chēng)之為終點(diǎn)，除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，n階貝塞爾函數(shù)含有n-1個(gè)控制點(diǎn)，控制點(diǎn)數(shù)量增加，貝塞爾函數(shù)的繁瑣性也隨著增大。以n=2時(shí)為例，2次貝塞爾函數(shù)的橫、縱坐標(biāo)計(jì)算公式分別為：

(3)

(4)

當(dāng)t按照某一步長(zhǎng)從0到1之間變化時(shí)，利用式(3)可得到2次貝塞爾函數(shù)計(jì)算結(jié)果。

并且，在t=0和t=1時(shí)，式(3)的值等于O0和O2，分別對(duì)應(yīng)著貝塞爾函數(shù)控制點(diǎn)中的起點(diǎn)終點(diǎn)。可知，貝塞爾函數(shù)通過(guò)其起點(diǎn)和終點(diǎn)兩個(gè)控制點(diǎn)。

同樣，短路電流點(diǎn)，最大功率點(diǎn)和開(kāi)路電壓點(diǎn)是光伏電池輸出特性曲線上的三個(gè)必經(jīng)點(diǎn)。鑒于貝塞爾函數(shù)計(jì)算的復(fù)雜性隨階數(shù)的升高而增大，為在保證擬合精確度的同時(shí)兼顧計(jì)算過(guò)程的簡(jiǎn)單性，考慮到HIT電池輸出特性曲線的具體特點(diǎn)。本文擬采用兩條2次貝塞爾函數(shù)對(duì)最大功率點(diǎn)左、右兩側(cè)的輸出特性曲線分別擬合，并以短路電流點(diǎn)和最大功率點(diǎn)為第一條貝塞爾函數(shù)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，以最大功率點(diǎn)和開(kāi)路電壓點(diǎn)作為第二條貝塞爾函數(shù)的起點(diǎn)和終點(diǎn)。

1.2 擬合曲線在最大功率點(diǎn)處的平滑連接

以?xún)蓷l2次貝塞爾函數(shù)擬合HIT電池的輸出特性曲線，最大功率點(diǎn)為左、右兩條曲線的交點(diǎn)，能否保證2條曲線在該點(diǎn)交匯時(shí)的平順性，直接關(guān)系到能否對(duì)HIT電池最大功率點(diǎn)進(jìn)行準(zhǔn)確跟蹤，并且對(duì)老化評(píng)估和效率分析也有意義。

為行文簡(jiǎn)潔，后續(xù)章節(jié)將式(3)和式(4)描述的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)之為貝塞爾函數(shù)，將式(3)和式(4)所得的曲線軌跡稱(chēng)之為貝塞爾曲線。

由計(jì)算機(jī)圖形學(xué)可知，保證兩條貝塞爾曲線在交點(diǎn)處的G0和G1連續(xù)，即可保證兩條貝塞爾曲線在交點(diǎn)處的平滑連接。

由前述分析可知，最大功率點(diǎn)是第一條貝塞爾曲線的終點(diǎn)，同時(shí)也是第二條貝塞爾曲線的起點(diǎn)，滿足兩條曲線端點(diǎn)重合的G0連續(xù)條件。為滿足G1連續(xù)性，本文擬在平行于開(kāi)路電壓點(diǎn)和短路電流點(diǎn)連線，且經(jīng)過(guò)最大功率點(diǎn)的直線上分別構(gòu)造兩條貝塞爾曲線的控制點(diǎn)。由于2次貝塞爾曲線除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，僅包含一個(gè)控制點(diǎn)，因而，采用上述手段使第一條曲線的控制點(diǎn)與第二條曲線的控制點(diǎn)位于同一條直線上，滿足兩條貝塞爾曲線的G1連續(xù)條件，既保證了兩條貝塞爾曲線的平滑連接，也能有效地簡(jiǎn)化后續(xù)線性關(guān)系的研究。

為進(jìn)一步考察控制點(diǎn)對(duì)2次貝塞爾曲線的控制作用，給出選取不同控制點(diǎn)的示意圖如圖2所示。

圖2 不同控制點(diǎn)的貝塞爾曲線Fig.2 Bézier curves at different control point

圖2中：Imax為短路電流點(diǎn)；Vmax為開(kāi)路電壓點(diǎn)；L為連接Imax點(diǎn)和Vmax的線段；Pm為最大功率點(diǎn)；Lp為經(jīng)過(guò)Pm且平行于L的直線。

對(duì)最大功率點(diǎn)Pm左側(cè)進(jìn)行說(shuō)明如下：在選取Imax和Pm分別作為2次貝塞爾曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)后，在直線Lp上選取控制點(diǎn)為C1和C2時(shí)，對(duì)應(yīng)的2次貝塞爾曲線分別為L(zhǎng)C1和LC2。最大功率點(diǎn)右側(cè)的貝塞爾曲線和左側(cè)類(lèi)似，不再贅述。

當(dāng)Lp上的控制點(diǎn)位于不同位置時(shí)，即控制點(diǎn)距離Pm長(zhǎng)度不同時(shí)，會(huì)生成不同凸凹度的貝塞爾曲線，產(chǎn)生不同的擬合效果。則可以得到一條重要推論：通過(guò)調(diào)整控制點(diǎn)的位置，可以生成的不同的貝塞爾函數(shù)，則必然存在著一個(gè)最佳控制點(diǎn)，該控制點(diǎn)所生成的貝塞爾曲線與實(shí)際的HIT電池輸出特性曲線具有較好的匹配效果。

2 變端點(diǎn)弦截迭代數(shù)值解的構(gòu)建

將超越方程的迭代數(shù)值解作為光伏電池輸出特性誤差分析基準(zhǔn)的可靠性在文獻(xiàn)[29]已經(jīng)得到充分論證。本文采用變端點(diǎn)弦截迭代法對(duì)超越方程進(jìn)行數(shù)值求解，并將所得的數(shù)值解誤差分析的基準(zhǔn)。

迭代算法的應(yīng)用前提是已知式(1)超越方程的5個(gè)未知參數(shù)。為此，令Vt=AKT/q，在忽略常數(shù)項(xiàng)后，將短路電流點(diǎn)(0,Isc)和開(kāi)路電壓(Voc,0)代入式(1)，可得：

(5)

(6)

將(5)代入式(1)得

(7)

將式(5)代入式(6)，由于Iscrs<

(8)

將最大功率點(diǎn)Pm(Vm,Im)代入式(1)得

(9)

將式(5)、式(6)代入式(9)，消去Io和Iph，令rs+rp=R，可得

(10)

由最大功率點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，可得

(11)

利用短路電流點(diǎn)(0,Isc)處電壓導(dǎo)數(shù)等于并聯(lián)電阻的負(fù)倒數(shù)，有

rp=

(12)

對(duì)式(10)～式(12)所示的隱函數(shù)，可利用變端點(diǎn)弦截算法求解，變端點(diǎn)弦截迭代算法以相鄰兩點(diǎn)的差商代替牛頓迭代中的一階導(dǎo)數(shù)，通用形式為

(13)

式中：f()為目標(biāo)函數(shù)；X為所求變量；w當(dāng)前迭代次數(shù)。

將式(10)～式(12)轉(zhuǎn)化為式(13)的迭代形式，結(jié)合式(5)和式(8)，即可給出HIT電池隱函數(shù)的所有未知參量的數(shù)值解，具體流程如圖3所示。

圖3 迭代流程圖Fig.3 Iterative flow chart

利用圖3步驟，對(duì)11種不同型號(hào)的HIT電池參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表1所示。

表1 HIT電池參數(shù)

基于表1的HIT電池的參數(shù)計(jì)算結(jié)果，需再次利用變端點(diǎn)弦截法求解式(1)的超越方程，就可以給出HIT光伏電池輸出特性曲線，并將該曲線作為后續(xù)章節(jié)的誤差分析基準(zhǔn)。

3 變端點(diǎn)弦截迭代數(shù)值解的構(gòu)建

基于貝塞爾函數(shù)的HIT光伏電池建模思路，分別對(duì)表1中的HIT電池進(jìn)行建模，找到誤差最小時(shí)控制點(diǎn)位置，并將其作為最佳控制點(diǎn)。11種HIT光伏電池的貝塞爾曲線擬合效果如圖4所示。

圖4 11種HIT電池計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果Fig.4 Computed and measured results for 11 types of HIT cells

圖4中用數(shù)字表示不同的HIT光伏電池型號(hào)，具體的數(shù)字與型號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系與表2一致。

以變端點(diǎn)弦截迭代計(jì)算結(jié)果為基準(zhǔn)，將最佳的貝塞爾函數(shù)擬合結(jié)果的誤差進(jìn)行分析，如表2所示。

表2 貝塞爾函數(shù)擬合誤差

表2中Wmax為HIT電池貝塞爾曲線擬合結(jié)果的最大相對(duì)誤差，Wav為對(duì)應(yīng)的平均相對(duì)誤差。由表2可見(jiàn)，利用貝塞爾函數(shù)對(duì)11種不同HIT光伏電池?cái)M合結(jié)果中，最大相對(duì)誤差均小于1.94%，最大平均相對(duì)誤差小于0.81%，擬合效果較好。

4 貝塞爾曲線最佳控制點(diǎn)分布規(guī)律及驗(yàn)證

為探索最佳擬合效果時(shí)貝塞爾曲線控制點(diǎn)的分布規(guī)律，給出在選取某一控制點(diǎn)時(shí)貝塞爾曲線的擬合示意圖，如圖5所示。

圖5 控制點(diǎn)位置的幾何關(guān)系Fig.5 Geometric relationship of control point position

由圖5可以看出，三角形ImaxOVmax和三角形A1O1Pm為相似三角形，利用相似三角形理論可以確定貝塞爾函數(shù)控制點(diǎn)的位置。

HIT電池輸出特性曲線在最大功率點(diǎn)左側(cè)的曲線，是一條從短路電流點(diǎn)Imax平滑變化到最大功率點(diǎn)Pm的曲線，該部分曲線電壓變化范圍為0～Vm，電流變化的范圍為Isc～I(xiàn)m，右側(cè)曲線電壓變化范圍為Voc～Vm，電流變化的范圍為Im～0。

為尋求不同的貝塞爾曲線控制點(diǎn)與輸出特性曲線電壓及電流的變化范圍之間的線性關(guān)系，考察HIT電池的填充因子

(14)

在圖5中，定義控制點(diǎn)A1(Vc,Ic)到最大功率點(diǎn)Pm(Vm,Im)的長(zhǎng)度LAP與短路電流點(diǎn)Imax到開(kāi)路電壓點(diǎn)Vmax長(zhǎng)度LIV的比值l(左、右側(cè)分別表示為lf、lr)，作為縱坐標(biāo)，以填充因子FF作為橫坐標(biāo)，尋求貝塞爾曲線控制點(diǎn)位置與FF之間的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)果如圖6所示。

圖6 11種HIT電池控制點(diǎn)擬合規(guī)律Fig.6 Fitting law of control points of 11 HIT cells

5 模型的驗(yàn)證與對(duì)比分析

為進(jìn)一步驗(yàn)證所提線性關(guān)系在HIT光伏電池建模中的準(zhǔn)確性和有效性，重新選取5種不同型號(hào)的HIT電池進(jìn)行貝塞爾函數(shù)建模，并與文獻(xiàn)[27]的建模結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

文獻(xiàn)[27]模型的算法為，在最大功率點(diǎn)左側(cè)部分I-V特性曲線滿足

Il=Isc(1-(1-Im/Isc)(Vl/Vm)Im/(Isc-Im))。

(17)

在最大功率點(diǎn)右側(cè)部分I-V特性曲線滿足

Ir=ImVm/Vr(1-((Vr-Vm)/(Voc-Vm))η)。

(18)

5種電池的型號(hào)及參數(shù)如表3所示。

表3 新HIT電池參數(shù)

基于表3中廠商給定參數(shù)，利用式(15)、式(16)分別確定2條2次貝塞爾函數(shù)控制點(diǎn)位置，進(jìn)而給出貝塞爾函數(shù)的輸出特性擬合結(jié)果，利用式(17)、式(18)既可以計(jì)算文獻(xiàn)[27]模型的HIT電池輸出特性擬合結(jié)果，如圖7、圖8所示。

圖7 3種新HIT電池輸出特性曲線Fig.7 Output characteristic curves of 3 new HIT cells

圖8 2種新HIT電池輸出特性曲線Fig.8 Output characteristic curves of 2 new HIT cells

圖7、圖8中同樣用數(shù)字代表HIT電池的型號(hào)，數(shù)字與型號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系詳見(jiàn)表4，表4中給出了圖7、圖8的誤差分析結(jié)果。

表4 新HIT電池計(jì)算誤差

由表4結(jié)果可知，貝塞爾函數(shù)對(duì)5種HIT電池的輸出特性建模的最大相對(duì)誤差分別為1.72%、1.75%、1.34%、1.29%和1.55%。平均相對(duì)誤差分別為0.63%、0.27%、0.52%、0.48%和0.35%；文獻(xiàn)[27]模型的最大相對(duì)誤差2.42%、4.64%、2.91%、1.57%和1.78%。平均相對(duì)誤差分別為1.15%、2.31%、1.19%、0.59%和2.44%。貝塞爾函數(shù)建模的精確度優(yōu)于文獻(xiàn)[27]模型，證明了所提方法的有效性和準(zhǔn)確性。

進(jìn)一步給出貝塞爾函數(shù)左、右兩側(cè)控制點(diǎn)位置與填充因子FF之間的線性擬合關(guān)系式分別為：

lf=-0.553 2FF+0.529 8；

(15)

lr=-0.408 5FF+0.457 9。

(16)

基于式(15)、式(16)給定的線性關(guān)系，可實(shí)現(xiàn)無(wú)需任何實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，僅利用廠商數(shù)據(jù)手冊(cè)給定的FF、開(kāi)路電壓點(diǎn)、短路電流點(diǎn)和最大功率點(diǎn)數(shù)據(jù)，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)不同HIT電池輸出特性曲線的簡(jiǎn)單擬合。

6 結(jié) 論

本文主要圍繞著本征異質(zhì)結(jié)這一特定光伏電池結(jié)構(gòu)，在其市場(chǎng)化進(jìn)程的起始階段，重點(diǎn)針對(duì)本征異質(zhì)結(jié)光伏電池輸出特性曲線的建模問(wèn)題進(jìn)行研究，得到如下結(jié)論：

1)提出了2次貝塞爾曲線對(duì)HIT光伏電池輸出曲線最大功率點(diǎn)左、右兩側(cè)分別擬合的思路，并給出了在經(jīng)過(guò)最大功率點(diǎn)且平行于短路電流和開(kāi)路電壓連線的直線上取控制點(diǎn)的方式，保證了2次貝塞爾函數(shù)在最大功率點(diǎn)處平順連接。

2)得出了兩條2次貝塞爾曲線最優(yōu)控制點(diǎn)位置與HIT光伏電池填充因子之間的線性關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確的，無(wú)需繁瑣迭代和實(shí)驗(yàn)測(cè)試，僅需廠商給定數(shù)據(jù)的HIT電池輸出特性建模方法。