朱顯輝， 簡有為， 師楠， 高彬

(1.黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，哈爾濱 150022； 2.黑龍江科技大學(xué) 工程訓(xùn)練與基礎(chǔ)實驗中心，哈爾濱 150022)

0 引 言

從本征薄層異質(zhì)結(jié)(heterojunction with intrinsic thin layer,HIT)光伏電池通過在硅晶片上制備非晶硅薄膜的PN結(jié)以獲得溫度和光照的穩(wěn)定性，在溫度變化和長期光照下依然具有較好的輸出效率，市場化勢頭迅猛[1]。準(zhǔn)確地給出HIT電池輸出特性的I-V曲線，不僅是工況變化時最大功率點跟蹤的重要前提，也是提高HIT電池發(fā)電效率和成本評估的必要基礎(chǔ)。

描述光伏電池輸出特性曲線的超越方程含有5個未知參數(shù)，而光伏電池數(shù)據(jù)手冊只給出了4個已知條件，無法對超越方程直接求解，因而，求解超越方程5個未知參量的問題廣受重視[2]，主要方法有以下幾類。

一類方法利用化簡的手段求解參數(shù)。比如，通過忽略串聯(lián)電阻[3-5]或假定并聯(lián)電阻為無窮大[6-7]，或假定二極管理想因子為常值[8-9]，進(jìn)而給出剩余4個未知參量的值。

另一類方法是構(gòu)造第5個新方程求解參數(shù)，其中比較典型的是假定串聯(lián)電阻或并聯(lián)電阻等于特性曲線在開路電壓點或短路電流點斜率的負(fù)倒數(shù)[10-11]，或者通過推導(dǎo)溫度系數(shù)與某一個未知參量等式關(guān)系[12-13]，尋求光伏電池超越方程未知參量的解。

此外，智能算法在求解光伏超越方程參數(shù)中的應(yīng)用也很多。比如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[14]、遺傳[15]、模式搜索[16]、粒子束[17]、差分進(jìn)化[12]、模擬退火算法[18]等。

上述方法僅能給出超越方程5個未知參數(shù)的解，無法直接給出光伏電池輸出特性曲線，為得到光伏電池的輸出特性曲線，仍需用迭代等方法對已知參數(shù)的超越方程進(jìn)行數(shù)值求解[19]，而迭代算法不僅仿真時間長，且存在對初值敏感不易收斂等不足[20]。

鑒于上述問題，對無需預(yù)先求解參數(shù)，且能直接給出光伏電池輸出特性曲線的方法進(jìn)行研究，成為當(dāng)前的太陽能發(fā)電技術(shù)的熱點。比如，文獻(xiàn)[21]、[22]分別采用殘差神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對光伏電池輸出特性曲線進(jìn)行了預(yù)測，但該類方法無法擺脫神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要大量訓(xùn)練數(shù)據(jù)的弊端。文獻(xiàn)[23-35]則分別以解析法和泰勒展開式給出了光伏電池的特性曲線，但該類方法仍需預(yù)先利用迭代等方法求解超越方程的未知參數(shù)。文獻(xiàn)[26]基于Lambert W函數(shù)實現(xiàn)了特性曲線繪制，但Lambert W函數(shù)不屬于初等函數(shù)，其曲線精確度需以仿真速度為代價。

值得注意的是，Santiago Pindado等在文獻(xiàn)[27]給出了一種僅利用手冊給定參數(shù)，無需求解參數(shù)和構(gòu)造新方程，即可實現(xiàn)光伏電池建模的簡單方法，但該方法的建模精確度有待于進(jìn)一步提高。

本文同樣提出一種直接擬合HIT電池輸出特性曲線的方法，該方法僅利用廠商給定參數(shù)，無需任何實測數(shù)據(jù)和超越方程求解，基于兩條2次貝塞爾函數(shù)實現(xiàn)HIT輸出I-V曲線的擬合，計算過程簡單，并以變端點弦截迭代數(shù)值解為參考，對貝塞爾模型和文獻(xiàn)[27]模型的誤差進(jìn)行對比，證明本文所提方法的具有更好的精確度，對HIT電池的最大功率的準(zhǔn)確跟蹤和光伏電站的設(shè)計與規(guī)劃更為有利。

1 基于貝塞爾函數(shù)的本征薄層異質(zhì)結(jié)電池建模

單二極管模型和雙二極管模型是兩種典型的光伏電池的電路拓?fù)?，都可以用來描述HIT電池的輸出特性。為簡潔起見，本文以單二極管電路為基礎(chǔ)討論HIT電池的輸出特性，其拓?fù)淙鐖D1所示。

圖1 HIT電池單二極管拓?fù)銯ig.1 Mingle diode topology of HIT cell

圖1所示的HIT單二極管模型輸出特性滿足

(1)

式中：Iph表示光生電流；Io表示二極管反向飽和電流；rs表示串聯(lián)電阻；rp表示并聯(lián)電阻；A表示二極管理想因子；T表示HIT的工作溫度；K表示Boltzmann常數(shù)；Ns表示電池串聯(lián)個數(shù)；q表示電子電量。

可見，式(1)為超越方程，無法用代數(shù)方法求解，只能利用迭代等數(shù)值計算方法求解。

1.1 兩條2次貝塞爾函數(shù)的擬合分析

貝塞爾函數(shù)是法國工程師皮埃爾·貝塞爾所提出的一種繪制二維曲線圖形的數(shù)學(xué)工具，通過給定曲線的起點和終點之后，利用控制點位置的調(diào)整可以方便地實現(xiàn)不同凸凹度的平滑曲線繪制，在曲線設(shè)計和微機(jī)繪圖中應(yīng)用廣泛，形式如下[28]：

(2)

式中：n為次數(shù)；Oj為按次序排列的控制點坐標(biāo)Oj=O(xj,yj)；t為相關(guān)參數(shù)，0≤t≤1，j=0,1,…,n。

第一個貝塞爾貝塞爾函數(shù)控制點稱為起點，最后一個貝塞爾貝塞爾函數(shù)控制點稱之為終點，除起點和終點外，n階貝塞爾函數(shù)含有n-1個控制點，控制點數(shù)量增加，貝塞爾函數(shù)的繁瑣性也隨著增大。以n=2時為例，2次貝塞爾函數(shù)的橫、縱坐標(biāo)計算公式分別為：

(3)

(4)

當(dāng)t按照某一步長從0到1之間變化時，利用式(3)可得到2次貝塞爾函數(shù)計算結(jié)果。

并且，在t=0和t=1時，式(3)的值等于O0和O2，分別對應(yīng)著貝塞爾函數(shù)控制點中的起點終點?？芍惾麪柡瘮?shù)通過其起點和終點兩個控制點。

同樣，短路電流點，最大功率點和開路電壓點是光伏電池輸出特性曲線上的三個必經(jīng)點。鑒于貝塞爾函數(shù)計算的復(fù)雜性隨階數(shù)的升高而增大，為在保證擬合精確度的同時兼顧計算過程的簡單性，考慮到HIT電池輸出特性曲線的具體特點。本文擬采用兩條2次貝塞爾函數(shù)對最大功率點左、右兩側(cè)的輸出特性曲線分別擬合，并以短路電流點和最大功率點為第一條貝塞爾函數(shù)的起點和終點，以最大功率點和開路電壓點作為第二條貝塞爾函數(shù)的起點和終點。

1.2 擬合曲線在最大功率點處的平滑連接

以兩條2次貝塞爾函數(shù)擬合HIT電池的輸出特性曲線，最大功率點為左、右兩條曲線的交點，能否保證2條曲線在該點交匯時的平順性，直接關(guān)系到能否對HIT電池最大功率點進(jìn)行準(zhǔn)確跟蹤，并且對老化評估和效率分析也有意義。

為行文簡潔，后續(xù)章節(jié)將式(3)和式(4)描述的函數(shù)關(guān)系稱之為貝塞爾函數(shù)，將式(3)和式(4)所得的曲線軌跡稱之為貝塞爾曲線。

由計算機(jī)圖形學(xué)可知，保證兩條貝塞爾曲線在交點處的G0和G1連續(xù)，即可保證兩條貝塞爾曲線在交點處的平滑連接。

由前述分析可知，最大功率點是第一條貝塞爾曲線的終點，同時也是第二條貝塞爾曲線的起點，滿足兩條曲線端點重合的G0連續(xù)條件。為滿足G1連續(xù)性，本文擬在平行于開路電壓點和短路電流點連線，且經(jīng)過最大功率點的直線上分別構(gòu)造兩條貝塞爾曲線的控制點。由于2次貝塞爾曲線除起點和終點外，僅包含一個控制點，因而，采用上述手段使第一條曲線的控制點與第二條曲線的控制點位于同一條直線上，滿足兩條貝塞爾曲線的G1連續(xù)條件，既保證了兩條貝塞爾曲線的平滑連接，也能有效地簡化后續(xù)線性關(guān)系的研究。

為進(jìn)一步考察控制點對2次貝塞爾曲線的控制作用，給出選取不同控制點的示意圖如圖2所示。

圖2 不同控制點的貝塞爾曲線Fig.2 Bézier curves at different control point

圖2中：Imax為短路電流點；Vmax為開路電壓點；L為連接Imax點和Vmax的線段；Pm為最大功率點；Lp為經(jīng)過Pm且平行于L的直線。

對最大功率點Pm左側(cè)進(jìn)行說明如下：在選取Imax和Pm分別作為2次貝塞爾曲線的起點和終點后，在直線Lp上選取控制點為C1和C2時，對應(yīng)的2次貝塞爾曲線分別為LC1和LC2。最大功率點右側(cè)的貝塞爾曲線和左側(cè)類似，不再贅述。

當(dāng)Lp上的控制點位于不同位置時，即控制點距離Pm長度不同時，會生成不同凸凹度的貝塞爾曲線，產(chǎn)生不同的擬合效果。則可以得到一條重要推論：通過調(diào)整控制點的位置，可以生成的不同的貝塞爾函數(shù)，則必然存在著一個最佳控制點，該控制點所生成的貝塞爾曲線與實際的HIT電池輸出特性曲線具有較好的匹配效果。

2 變端點弦截迭代數(shù)值解的構(gòu)建

將超越方程的迭代數(shù)值解作為光伏電池輸出特性誤差分析基準(zhǔn)的可靠性在文獻(xiàn)[29]已經(jīng)得到充分論證。本文采用變端點弦截迭代法對超越方程進(jìn)行數(shù)值求解，并將所得的數(shù)值解誤差分析的基準(zhǔn)。

迭代算法的應(yīng)用前提是已知式(1)超越方程的5個未知參數(shù)。為此，令Vt=AKT/q，在忽略常數(shù)項后，將短路電流點(0,Isc)和開路電壓(Voc,0)代入式(1)，可得：

(5)

(6)

將(5)代入式(1)得

(7)

將式(5)代入式(6)，由于Iscrs<

(8)

將最大功率點Pm(Vm,Im)代入式(1)得

(9)

將式(5)、式(6)代入式(9)，消去Io和Iph，令rs+rp=R，可得

(10)

由最大功率點處導(dǎo)數(shù)為0，可得

(11)

利用短路電流點(0,Isc)處電壓導(dǎo)數(shù)等于并聯(lián)電阻的負(fù)倒數(shù)，有

rp=

(12)

對式(10)～式(12)所示的隱函數(shù)，可利用變端點弦截算法求解，變端點弦截迭代算法以相鄰兩點的差商代替牛頓迭代中的一階導(dǎo)數(shù)，通用形式為

(13)

式中：f()為目標(biāo)函數(shù)；X為所求變量；w當(dāng)前迭代次數(shù)。

將式(10)～式(12)轉(zhuǎn)化為式(13)的迭代形式，結(jié)合式(5)和式(8)，即可給出HIT電池隱函數(shù)的所有未知參量的數(shù)值解，具體流程如圖3所示。

圖3 迭代流程圖Fig.3 Iterative flow chart

利用圖3步驟，對11種不同型號的HIT電池參數(shù)進(jìn)行計算，結(jié)果如表1所示。

表1 HIT電池參數(shù)

基于表1的HIT電池的參數(shù)計算結(jié)果，需再次利用變端點弦截法求解式(1)的超越方程，就可以給出HIT光伏電池輸出特性曲線，并將該曲線作為后續(xù)章節(jié)的誤差分析基準(zhǔn)。

3 變端點弦截迭代數(shù)值解的構(gòu)建

基于貝塞爾函數(shù)的HIT光伏電池建模思路，分別對表1中的HIT電池進(jìn)行建模，找到誤差最小時控制點位置，并將其作為最佳控制點。11種HIT光伏電池的貝塞爾曲線擬合效果如圖4所示。

圖4 11種HIT電池計算結(jié)果與實測結(jié)果Fig.4 Computed and measured results for 11 types of HIT cells

圖4中用數(shù)字表示不同的HIT光伏電池型號，具體的數(shù)字與型號的對應(yīng)關(guān)系與表2一致。

以變端點弦截迭代計算結(jié)果為基準(zhǔn)，將最佳的貝塞爾函數(shù)擬合結(jié)果的誤差進(jìn)行分析，如表2所示。

表2 貝塞爾函數(shù)擬合誤差

表2中Wmax為HIT電池貝塞爾曲線擬合結(jié)果的最大相對誤差，Wav為對應(yīng)的平均相對誤差。由表2可見，利用貝塞爾函數(shù)對11種不同HIT光伏電池擬合結(jié)果中，最大相對誤差均小于1.94%，最大平均相對誤差小于0.81%，擬合效果較好。

4 貝塞爾曲線最佳控制點分布規(guī)律及驗證

為探索最佳擬合效果時貝塞爾曲線控制點的分布規(guī)律，給出在選取某一控制點時貝塞爾曲線的擬合示意圖，如圖5所示。

圖5 控制點位置的幾何關(guān)系Fig.5 Geometric relationship of control point position

由圖5可以看出，三角形ImaxOVmax和三角形A1O1Pm為相似三角形，利用相似三角形理論可以確定貝塞爾函數(shù)控制點的位置。

HIT電池輸出特性曲線在最大功率點左側(cè)的曲線，是一條從短路電流點Imax平滑變化到最大功率點Pm的曲線，該部分曲線電壓變化范圍為0～Vm，電流變化的范圍為Isc～I(xiàn)m，右側(cè)曲線電壓變化范圍為Voc～Vm，電流變化的范圍為Im～0。

為尋求不同的貝塞爾曲線控制點與輸出特性曲線電壓及電流的變化范圍之間的線性關(guān)系，考察HIT電池的填充因子

(14)

在圖5中，定義控制點A1(Vc,Ic)到最大功率點Pm(Vm,Im)的長度LAP與短路電流點Imax到開路電壓點Vmax長度LIV的比值l(左、右側(cè)分別表示為lf、lr)，作為縱坐標(biāo)，以填充因子FF作為橫坐標(biāo)，尋求貝塞爾曲線控制點位置與FF之間的內(nèi)在聯(lián)系，結(jié)果如圖6所示。

圖6 11種HIT電池控制點擬合規(guī)律Fig.6 Fitting law of control points of 11 HIT cells

5 模型的驗證與對比分析

為進(jìn)一步驗證所提線性關(guān)系在HIT光伏電池建模中的準(zhǔn)確性和有效性，重新選取5種不同型號的HIT電池進(jìn)行貝塞爾函數(shù)建模，并與文獻(xiàn)[27]的建模結(jié)果進(jìn)行對比。

文獻(xiàn)[27]模型的算法為，在最大功率點左側(cè)部分I-V特性曲線滿足

Il=Isc(1-(1-Im/Isc)(Vl/Vm)Im/(Isc-Im))。

(17)

在最大功率點右側(cè)部分I-V特性曲線滿足

Ir=ImVm/Vr(1-((Vr-Vm)/(Voc-Vm))η)。

(18)

5種電池的型號及參數(shù)如表3所示。

表3 新HIT電池參數(shù)

基于表3中廠商給定參數(shù)，利用式(15)、式(16)分別確定2條2次貝塞爾函數(shù)控制點位置，進(jìn)而給出貝塞爾函數(shù)的輸出特性擬合結(jié)果，利用式(17)、式(18)既可以計算文獻(xiàn)[27]模型的HIT電池輸出特性擬合結(jié)果，如圖7、圖8所示。

圖7 3種新HIT電池輸出特性曲線Fig.7 Output characteristic curves of 3 new HIT cells

圖8 2種新HIT電池輸出特性曲線Fig.8 Output characteristic curves of 2 new HIT cells

圖7、圖8中同樣用數(shù)字代表HIT電池的型號，數(shù)字與型號的對應(yīng)關(guān)系詳見表4，表4中給出了圖7、圖8的誤差分析結(jié)果。

表4 新HIT電池計算誤差

由表4結(jié)果可知，貝塞爾函數(shù)對5種HIT電池的輸出特性建模的最大相對誤差分別為1.72%、1.75%、1.34%、1.29%和1.55%。平均相對誤差分別為0.63%、0.27%、0.52%、0.48%和0.35%；文獻(xiàn)[27]模型的最大相對誤差2.42%、4.64%、2.91%、1.57%和1.78%。平均相對誤差分別為1.15%、2.31%、1.19%、0.59%和2.44%。貝塞爾函數(shù)建模的精確度優(yōu)于文獻(xiàn)[27]模型，證明了所提方法的有效性和準(zhǔn)確性。

進(jìn)一步給出貝塞爾函數(shù)左、右兩側(cè)控制點位置與填充因子FF之間的線性擬合關(guān)系式分別為：

lf=-0.553 2FF+0.529 8；

(15)

lr=-0.408 5FF+0.457 9。

(16)

基于式(15)、式(16)給定的線性關(guān)系，可實現(xiàn)無需任何實驗數(shù)據(jù)，僅利用廠商數(shù)據(jù)手冊給定的FF、開路電壓點、短路電流點和最大功率點數(shù)據(jù)，即可實現(xiàn)對不同HIT電池輸出特性曲線的簡單擬合。

6 結(jié) 論

本文主要圍繞著本征異質(zhì)結(jié)這一特定光伏電池結(jié)構(gòu)，在其市場化進(jìn)程的起始階段，重點針對本征異質(zhì)結(jié)光伏電池輸出特性曲線的建模問題進(jìn)行研究，得到如下結(jié)論：

1)提出了2次貝塞爾曲線對HIT光伏電池輸出曲線最大功率點左、右兩側(cè)分別擬合的思路，并給出了在經(jīng)過最大功率點且平行于短路電流和開路電壓連線的直線上取控制點的方式，保證了2次貝塞爾函數(shù)在最大功率點處平順連接。

2)得出了兩條2次貝塞爾曲線最優(yōu)控制點位置與HIT光伏電池填充因子之間的線性關(guān)系，實現(xiàn)了簡單、準(zhǔn)確的，無需繁瑣迭代和實驗測試，僅需廠商給定數(shù)據(jù)的HIT電池輸出特性建模方法。