王漢平， 張哲， 張寶振

(北京理工大學 宇航學院，北京 100081)

1 路面不平度的濾波重構(gòu)法

路面不平度常被假設(shè)為一均值為0、不同截面具有相同統(tǒng)計方差的平穩(wěn)隨機過程. 國標GB/T 7031-2005用功率譜密度函數(shù)(PSD)來表達其不平度狀況，PSD表達式為

(1)

式中：n∈(n1,n2)=[0.011,2.83]m-1,為空間頻率;n0為參考空間頻率，通常取0.1m-1;Gq(n0)為參考空間頻率下的路面不平度系數(shù)，路面按好壞等級分為A～H共8級，路面等級不同，其取值也不相同；w為頻率指數(shù)，一般取2.

引入截止空間頻率n1來構(gòu)造穩(wěn)定的動態(tài)濾波系統(tǒng)，以確保在白噪聲激勵下響應(yīng)量的功率譜特性能與標準路面譜逼近[7]，即

(2)

式中：空間圓頻率Ω=2πn;j為虛數(shù). 最終，反演出單輪轍空間域路面不平度的白噪聲濾波方程(路面不平度生成模型)為

(3)

2 基于輪轍功率譜密度陣LU分解的模擬算法

雙輪轍不平度的功率譜矩陣為[10]

(4)

相干函數(shù)coh(n)的定義為

(5)

經(jīng)過大量試驗給出了一種描述不同路面和輪距的路面不平度相干函數(shù)[11-12]

(6)

式中：B為左右輪的輪距;ρ為跟路面有關(guān)的經(jīng)驗值，由此可知coh(n)∈[0,1]. 所以式(4)中的功率譜矩陣可進行LU分解，即分解為一個下三角矩陣與其轉(zhuǎn)置的乘積，形如：G(n)=Η(n)HT(n)，其一個特解為

(7)

于是，可以構(gòu)造兩個相互獨立、譜值為1的白噪聲w1(x)、w2(x)，其對應(yīng)的傅里葉變換為W1(n)、W2(n)，則左右輪轍不平度與兩個白噪聲之間滿足傳遞函數(shù)為[H(n)]的傳遞關(guān)系，即：

(8)

于是，對式(8)中的QL(n)進行空間域白噪聲濾波轉(zhuǎn)化，即為

(9)

(10)

(11)

式(10)和式(11)兩式均能保證其特征方程的根值在左半S平面(見表1)，也就是能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

特征根階次coh(n)展開1-coh2(n)展開1-8.50 +1.74j-4.7432-8.50 -1.74j-1.2273-7.47 +5.25j-0.4144-7.47 -5.25j-0.1645-5.03 +8.99j-0.0586-5.03 -8.99j-0.0137—-0.939+2.84j8—-0.939- 2.84j

圖1 相干函數(shù)coh(n)及其P(6,6)階Pade展開曲線的對比Fig. 1 Coherence function coh(n) vs its P(6,6) Pade expansion

圖2 函數(shù)及其P(8,8)階Chebyshev-Pade展開的對比 vs its P(8,8)Chebyshev-Pade expansion

3 路面生成及結(jié)果檢驗

式(8)(10)及(11)的組合，就是路面不平度的空間域濾波模擬模型，利用Matlab對表達模型的常微分方程組編寫了路面不平度曲面生成程序，對不同等級路面進行了大量的仿真驗證，模擬所得的路面功率譜與標準譜吻合良好，左右輪相干性與參考函數(shù)也具有較好的一致性. 篇幅所限，在此不便一一列出，而僅就ρ=1時的D級路面，即：Gq(n0)=1 024×10-6(m2/m-1)的仿真情況進行展示. 圖3所示路面縱向長度L=2 000 m，輪轍距離B=5.0 m，路面等級為D級，空間頻率范圍從0.011～2.83 m-1，垂向偏移為0的兩方法生成的兩輪轍路面不平度曲線. 從中不難看出路面不平度整體上的波動特性，而且在整體波動的基礎(chǔ)上，還附帶有更高頻的擾動.

圖3 D級路面的模擬隨機路面不平度(B=5.0 m，ρ=1)Fig.3 Simulated road profiles of D-grade road(B=5.0 m，ρ=1)

圖4 D級路面左右輪路面不平度功率譜密度函數(shù)對比Fig.4 Simulated PSD of D-grade road roughness for left and right tracks

圖5 D級路面左右輪路面不平度相干性對比Fig.5 Coherence of D-grade road roughness for left and right tracks

圖6模擬的寬度為5 m,ρ=1的路面的不平度表面，由此可見，模型對于構(gòu)造二維的任意寬度的路面不平度表面均具有較好的適應(yīng)性.

圖6 D級路面不平度路面仿真結(jié)果Fig.6 Simulation road surface of D-grade road

4 結(jié) 論

為保證穩(wěn)定性，采用截止空間頻率重構(gòu)了傳遞函數(shù)，即路面不平度的白噪聲濾波方法；基于雙輪轍功率譜密度陣的LU分解得到了白噪聲濾波傳遞函數(shù)陣的解析表達，對傳遞函數(shù)陣中所涉及的相干函數(shù)直接采用Pade展開，對涉及相干函數(shù)的復(fù)雜超越函數(shù)使用Chebyshev-Pade展開，實現(xiàn)了白噪聲濾波傳遞函數(shù)的高效率、高精度的有理化；路面不平度的仿真結(jié)果表明，各輪轍的自功率譜與標準功率譜吻合較好，輪轍間的相干性也與參考模型也具有較好的一致性，從而驗證了基于功率譜密度陣LU分解所得到的白噪聲濾波傳遞函數(shù)及其超越函數(shù)的Pade展開、Chebyshev-Pade展開近似處理方法具有較高的數(shù)值可信度，能較好地用于二維路面不平度的模擬，并具有較高的計算效率. 空間域路面不平度的模擬表明，不同輪轍的功率譜密度函數(shù)、相干函數(shù)均與標準函數(shù)吻合較好，這驗證了所建模型的可信性及仿真方法的有效性，為車輛路面運輸動力學仿真的空間域路面建模提供了一種高效、可信的方法.