劉國勇， 趙鵬鵬， 劉海平

(北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京 100083)

剛度和阻尼是機(jī)械系統(tǒng)或結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域的兩個關(guān)鍵因素. 而常見工程材料的剛度(彈性模量)和阻尼呈相反的變化規(guī)律，即剛度越大，阻尼越小. 然而，在實際工程應(yīng)用中則希望結(jié)構(gòu)同時兼具高剛度和高阻尼的力學(xué)特征. 以海上鉆井平臺為例[1]，海浪沖擊時，高剛度結(jié)構(gòu)可以承受沖擊載荷作用，同時高阻尼結(jié)構(gòu)可以有效耗散振動能量從而降低系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)并延長其使用壽命.

為了解決上述問題，科研人員通過對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)引入高剛度高阻尼隔振器實現(xiàn)動態(tài)響應(yīng)的有效抑制. Dong等[2]通過利用兩端平頭桿的屈曲力學(xué)行為實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)負(fù)剛度和遲滯阻尼特性的放大. Antoniadis等[3-6]通過在線性隔振器中引入負(fù)剛度單元提出一種具有超阻尼輸出特性的隔振系統(tǒng). 從理論方面系統(tǒng)研究了在常規(guī)隔振系統(tǒng)中引入負(fù)剛度單元后，隔振系統(tǒng)高阻尼輸出的工作機(jī)理和影響因素. 以上多種隔振器均可在保證隔振系統(tǒng)剛度不降低的情況下，實現(xiàn)高阻尼輸出. Bian等[7-8]從仿生學(xué)角度提出采用X形機(jī)構(gòu)引入非線性阻尼，研究發(fā)現(xiàn)諧振振幅被極大衰減. Liu等[9]將多層X形機(jī)構(gòu)與杠桿系統(tǒng)組合構(gòu)成準(zhǔn)零剛度隔振器，采用力控制可以有效調(diào)節(jié)系統(tǒng)反共振頻率和低頻范圍的傳遞特性. Jing等[10]創(chuàng)新性的提出采用多層X形機(jī)構(gòu)構(gòu)建反共振隔振裝置. 研究表明，在保證設(shè)備正常負(fù)載條件下，反共振隔振裝置可顯著減小系統(tǒng)動態(tài)載荷的傳遞. Dai等[11]以航天器在軌非合作目標(biāo)抓捕過程中周期或者沖擊載荷作用下產(chǎn)生的微振動為控制目標(biāo)，采用多層X形機(jī)構(gòu)建立機(jī)械臂和末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)之間的隔振裝置. 研究表明，多層X形機(jī)構(gòu)組成的隔振裝置可以有效控制自由懸浮狀態(tài)衛(wèi)星平臺和被捕獲目標(biāo)之間的動態(tài)響應(yīng). Feng等[12]通過觀察人體四肢運動過程中的力學(xué)關(guān)系，建立內(nèi)含X形機(jī)構(gòu)的反共振隔振器模型. 研究表明，此類反共振隔振器具備優(yōu)良的低頻寬頻減隔振性能. Cheng等[13]提出采用受拉伸載荷作用的X形機(jī)構(gòu)建立準(zhǔn)零剛度隔振裝置. 綜上，X形機(jī)構(gòu)的幾何非線性特征對隔振器的剛度和阻尼均具有改善作用，通過合理選擇結(jié)構(gòu)參數(shù)可放大隔振系統(tǒng)的剛度和阻尼性能.

文中提出一種含放大機(jī)構(gòu)的隔振器，其核心是利用X形機(jī)構(gòu)實現(xiàn)對隔振系統(tǒng)阻尼和剛度特性放大. 該隔振系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)簡單、可靠性高、適用性強、使用靈活，易于制造和實施等優(yōu)點.

1 含放大機(jī)構(gòu)隔振器動力學(xué)建模

含放大機(jī)構(gòu)隔振器的力學(xué)模型如圖1所示. 圖中,m為慣性質(zhì)量；kv和kh分別為隔振器沿垂直方向和水平方向的彈簧剛度；l為單根剛性桿的長度；四根剛性桿兩兩鉸接，剛性桿與水平軸y的初始夾角為θi；c為阻尼系數(shù)；受基礎(chǔ)激勵Z作用；剛性鉸接桿與水平軸的夾角變量為φ；t為時間. 假設(shè)，垂向向上為x軸正方向，水平方向向右為y軸正方向.

由圖1所示力學(xué)模型，得到系統(tǒng)沿x軸方向的運動方程為

(1)

圖1 隔振系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model

根據(jù)圖1所示X形機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系，得到

(2)

(3)

y1=-y2

(4)

(5)

假設(shè)基礎(chǔ)所受激勵為Z=Z0cosωt，則式(1)表示為

(6)

為了方便計算，需要對式(6)進(jìn)行化簡，定義函數(shù)：

f1(x)=2kh(lcosθi-

(7)

(8)

由于函數(shù)f1(x)和f2(x)在x=0處連續(xù)，將式(7)和式(8)在零平衡位置采用三階泰勒級數(shù)展開，可得

f1(x)=β0+β1x+β2x2

(9)

f2(x)=β3+β4x+β5x2

(10)

為了方便計算，對式(11)引入量綱一的參數(shù)，

(11)

式中:ωn為隔振系統(tǒng)固有頻率;τ為量綱一時間;γ為隔振器縱橫剛度比;Ω為頻率比;u為量綱一位移，ξ為阻尼比;z0為量綱一的激勵位移幅值.

將式(9)(10)代入式(6)，并進(jìn)行量綱一化后得到：

(12)

采用諧波平衡法對式(12)進(jìn)行求解. 假設(shè)其穩(wěn)態(tài)解的形式為

u=u0cos(Ωτ+φ)

(13)

式中:u0為位移幅值;φ為初始相位. 求解后可得：

(14)

為了方便表示，定義：

(15)

(16)

(17)

由式(14)就可以解得位移激勵條件下隔振統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)

(18)

(19)

式中，Ω上標(biāo)d代表位移激勵，下標(biāo)則表示幅頻響應(yīng)曲線由兩部分組成，兩條曲線的交點即為響應(yīng)幅值的最大值.

2 等效剛度系數(shù)和等效阻尼系數(shù)

2.1 等效剛度系數(shù)分析

與線性隔振系統(tǒng)類比，含放大機(jī)構(gòu)隔振系統(tǒng)的等效彈性恢復(fù)力為

(20)

式(18)對x進(jìn)行求導(dǎo)后即可解得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)為

(21)

式中，Kd即為X形機(jī)構(gòu)隔振器的等效剛度系數(shù). 由式(21)可以看出，等效剛度系數(shù)是以x為變量的線性函數(shù)，因此不再分析x對等效剛度系數(shù)的影響，僅對設(shè)計參數(shù)θi和kh進(jìn)行分析. 暫定θi范圍為[30°,60°]，kh范圍為[-20 N/m,20 N/m]，x的值為0.001 m，kv為2 000 N/m. 由式(21)即可給出等效剛度系數(shù)隨θi、kh的變化規(guī)律. 可以得出，當(dāng)水平剛度小于0時，隨著初始傾角增大，等效剛度系數(shù)呈非線性規(guī)律減??；當(dāng)水平剛度大于0時，隨著初始傾角增大，等效剛度系數(shù)呈非線性規(guī)律增大；且在剛度系數(shù)為-20 N/m、初始傾角為60°時等效剛度系數(shù)達(dá)到最小，剛度系數(shù)為20 N/m、初始傾角為60°時等效剛度系數(shù)達(dá)到最大. 因此，通過調(diào)整水平剛度和初始傾角可對隔振系統(tǒng)的有效隔振頻段進(jìn)行調(diào)節(jié)，可以使含放大機(jī)構(gòu)隔振器可實現(xiàn)剛度放大.

2.2 等效阻尼系數(shù)分析

與線性隔振系統(tǒng)類比，含放大機(jī)構(gòu)隔振系統(tǒng)的等效阻尼恢復(fù)力為

(22)

(23)

式中cd為含放大機(jī)構(gòu)隔振器的等效阻尼系數(shù). 由式(23)可以看出，等效阻尼系數(shù)是以x為變量的二次函數(shù)，因此不再分析x對等效阻尼系數(shù)的影響，僅對設(shè)計參數(shù)θi和c進(jìn)行分析. 暫定，θi范圍為[30°,60°]，阻尼系數(shù)c范圍為[1 N·s/m,9 N·s/m]，由式(23)即可給出隔振系統(tǒng)等效阻尼隨θi、c的變化規(guī)律.

3 隔振效果

3.1 頻域隔振效果評估

為了驗證含放大機(jī)構(gòu)隔振器的隔振效果，與常規(guī)線性隔振器對比. 其中，隔振器的設(shè)計參數(shù)和激勵條件相同，采用絕對位移傳遞率作為指標(biāo). 對于常規(guī)線性隔振器而言，容易得到其絕對位移傳遞率的傳遞率曲線，而對于含放大機(jī)構(gòu)隔振器的慣性質(zhì)量的絕對位移可由諧波疊加的方式求得：

(24)

得到含放大機(jī)構(gòu)隔振器的絕對位移傳遞率為

Td=s/z0

(25)

由式(25)可得到含放大機(jī)構(gòu)隔振器的絕對位移傳遞率曲線Ω-T. 同時，為了驗證含放大機(jī)構(gòu)隔振器解析解的正確性，利用龍格庫塔法給出部分頻點的時域解.

暫定，含放大機(jī)構(gòu)隔振器的初始設(shè)計參數(shù)為ξ=0.05，θi=60°，z0=0.01，γ=0.02. 分別得到常規(guī)線性隔振器和含放大機(jī)構(gòu)隔振器的絕對位移傳遞率曲線如圖2所示.

由圖2可見，含放大機(jī)構(gòu)隔振器的數(shù)值解和解析結(jié)果良好一致,證明其頻域解析結(jié)果有效. 與常規(guī)線性隔振器相比，絕對位移傳遞率曲線峰值得到顯著衰減，且峰值頻率略微向高頻移動，由此說明含放大機(jī)構(gòu)隔振器實現(xiàn)了對剛度和阻尼放大的設(shè)計目標(biāo),在系統(tǒng)剛度放大的同時實現(xiàn)了高阻尼輸出.

圖2 不同隔振器絕對位移傳遞率曲線Fig.2 Absolute displacement transfer rate curve of different vibration isolators

3.2 時域隔振效果評估

為了進(jìn)一步對該隔振器的隔振性能進(jìn)行評估，以下在時域?qū)Ω粽衿鞯母粽裥ЧM(jìn)行分析. 具體計算過程：首先，對隔振系統(tǒng)的運動微分方程引入狀態(tài)變量，將其化簡為一階微分方程組；然后，采用四階龍格-庫塔法進(jìn)行數(shù)值計算即可得到隔振器各部分的時域響應(yīng)位移和速度；最后，根據(jù)隔振系統(tǒng)的動力學(xué)關(guān)系即可推導(dǎo)出慣性質(zhì)量的絕對位移的時域響應(yīng)曲線.

實際中，環(huán)境激勵呈現(xiàn)寬頻特性，為了評估隔振器在寬頻激勵下的隔振效果，在低頻、中頻段和高頻段各取3個頻點，假設(shè)隔振器所受位移激勵為

Z=0.001(sin 0.1ωnt+sin 0.2ωnt+sin 0.3ωnt+

sin 0.8ωnt+sin 1.2ωnt+sin 1.4ωnt+sin 30.8ωnt+

sin 40.4ωnt+sin 50.2ωnt)

ωn為隔振系統(tǒng)固有頻率. 多頻位移激勵下不同隔振器慣性質(zhì)量的絕對位移如圖3所示. 可以看出，含放大機(jī)構(gòu)隔振器慣性質(zhì)量的絕對位移幅值較之常規(guī)線性隔振器得到明顯衰減，說明該隔振器對多頻寬頻激勵的控制效果明顯優(yōu)于常規(guī)線性隔振器.

圖3 多頻穩(wěn)態(tài)激勵傳遞的位移Fig.3 Displacement of multi-frequency steady-state excitation transmission

4 設(shè)計參數(shù)影響分析

根據(jù)第2節(jié)所述內(nèi)容，含放大機(jī)構(gòu)隔振器的主要設(shè)計參數(shù)為γ、θi和ξ，以下重點討論這些設(shè)計參數(shù)對含放大機(jī)構(gòu)隔振器動態(tài)特性的影響. 為了便于討論，以第3節(jié)中定義的設(shè)計參數(shù)為初始值.

4.1 阻尼比ξ 和剛度比γ對隔振性能的影響

絕對位移傳遞率曲線如圖4所示. 由圖可見，阻尼系數(shù)主要對位移傳遞峰值有影響，即：隨著阻尼系數(shù)增大，絕對位移傳遞率峰值被顯著減?。煌瑫r，峰值頻率基本沒有變化，即系統(tǒng)剛度并沒有損失. 含放大機(jī)構(gòu)隔振器剛度比對絕對位移傳遞率曲線的影響如圖5所示.可見，剛度比增大，絕對位移傳遞率峰值逐漸增大；同時，諧振頻率向高頻移動. 隨著頻率增加，在高頻范圍剛度比對隔振系統(tǒng)的傳遞特性影響趨于一致.

圖4 不同阻尼比ξ對應(yīng)的絕對位移傳遞率Fig.4 Absolute displacement transfer rate ξ corresponding to different damping ratios

圖5 不同剛比γ對應(yīng)絕對位移傳遞率Fig.5 Different rigid ratios γ corresponding to absolute displacement transfer rates

4.2 初始傾角值θi 對隔振性能的影響

含放大機(jī)構(gòu)隔振器四端鉸接桿初始傾角θi對絕對位移傳遞率的影響如圖6所示. 由圖6可見，初始傾角分別為30°、50°和70°時，隨著初始傾角增大，絕對位移傳遞率峰值減小，諧振頻率略微向高頻移動. 在高頻范圍，隨著初始傾角減小而傳遞曲線衰減率得到顯著改善.

圖6 不同初始傾角值對應(yīng)的絕對位移傳遞率Fig.6 Absolute displacement transfer rate corresponding to different initial inclination values

5 試驗驗證

為了驗證解析模型的正確性，加工與解析模型等效的試驗件如圖7所示. 其中，慣性質(zhì)量m=2.2 kg；桿長l=0.15 m；初始傾角θi=60°；垂向彈簧剛度kv=6 700 N/m；水平彈簧剛度kh=2 300 N/m. 需要說明的是，隔振系統(tǒng)中阻尼部分主要為各部件之間相對運動產(chǎn)生的摩擦阻尼、結(jié)構(gòu)材料阻尼和空氣阻尼.

圖7 試驗件Fig.7 Test sample

試驗測試系統(tǒng)主要包括：激振器、信號采集儀、信號發(fā)生器、功率放大器、計算機(jī). 試驗狀態(tài)如圖8所示，激振器在試驗件底部施加激勵，模擬解析模型中的位移激勵，圖中的泡沫用于抵消試驗件自身的重力. 在試驗件的上部和底部分別連接一加速度傳感器，分別檢測輸入與輸出的加速度，對所檢測的加速度進(jìn)行二次積分后，即可得到輸入與輸出位移. 設(shè)置數(shù)據(jù)采集儀采樣頻率為56 Hz，設(shè)置信號發(fā)生器的下限頻率為5 Hz、上限頻率為100 Hz，采用線性掃頻，掃頻時間為60 s. 試驗所得傳遞率曲線與解析所得傳遞率曲線對比如圖9所示. 在圖9中，兩條傳遞率曲線諧振頻率約為12 Hz，諧振峰值約為2.5. 可以看出，解析所得結(jié)果與試驗所得結(jié)果總體趨勢基本一致. 但是在共振點附近的頻段內(nèi)，解析曲線與試驗曲線擬合有誤差. 產(chǎn)生誤差的原因有①在進(jìn)行實驗時，為了保證實驗件的自由狀態(tài)，實驗件在泡沫上放置，未做其他的固定措施參見圖8，導(dǎo)致實驗件安裝狀態(tài)不穩(wěn)定；②為了約束實驗件上下兩個板在垂向的運動，在上板安裝一直線軸承. 但在實驗時，上下兩個板由于加工誤差及直線軸承的安裝誤差較大，不能嚴(yán)格按照直線運動，所以會導(dǎo)致直線軸承產(chǎn)生的摩擦力較大.

圖8 試驗狀態(tài)Fig.8 Test status

圖9 試驗與解析傳遞率曲線對比Fig.9 Comparison of test and analytical transfer rate curves

上述兩種情況均會導(dǎo)致在實測結(jié)果出現(xiàn)誤差，導(dǎo)致隔振器位移響應(yīng)不穩(wěn)定，進(jìn)而使實驗所得傳遞率曲線與理論曲線存在誤差. 但是，就整個計算頻段而言，解析曲線和實驗曲線總體變化趨勢一致，所以不影響驗證本文所建理論模型有效性及分析結(jié)果正確性. 在高頻段，試驗所得傳遞率曲線出現(xiàn)波動，該波動是由試驗件高頻局部模態(tài)所致，由于隔振系統(tǒng)解析結(jié)果主要用于表征系統(tǒng)在中低頻段的減隔振效果，不包含高頻模態(tài)的影響，所以文中由高頻局部模態(tài)引起的動態(tài)響應(yīng)不再做討論.

6 結(jié) 論

提出一種含放大機(jī)構(gòu)的隔振器，在所建隔振系統(tǒng)動位移學(xué)方程基礎(chǔ)上，采用諧波平衡法給出其幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)的解析表達(dá)式. 然后，分別給出該隔振系統(tǒng)的等效剛度和等效阻尼表達(dá)式. 分別在時域和頻域?qū)糯髾C(jī)構(gòu)隔振器的隔振效果進(jìn)行了評估. 最后，采用絕對位移傳遞率作為評價指標(biāo)，對其關(guān)鍵設(shè)計參數(shù)進(jìn)行了影響研究. 計算結(jié)果表明：

① 與常規(guī)線性隔振器相比，通過研究含放大機(jī)構(gòu)隔振系統(tǒng)的等效阻尼和等效剛度得到，在隔振系統(tǒng)剛度不損失的條件下，顯著增大了系統(tǒng)的輸出阻尼；

② 在時域采用多頻諧波激勵，計算發(fā)現(xiàn)，相比常規(guī)線性隔振器，含放大機(jī)構(gòu)隔振器可大幅度衰減傳傳遞到慣性質(zhì)量的位移；

③ 隔振器阻尼比ξ增大，絕對位移傳遞率峰值均減小，諧振頻率基本沒有變化；

④ 隔振器剛度比γ增大，絕對位移傳遞率峰值逐漸增大；同時，諧振頻率向高頻移動. 而在高頻范圍剛度比對隔振系統(tǒng)的傳遞特性影響趨于一致；

⑤ 初始傾角θi增大，絕對位移傳遞率峰值減小，諧振頻率略微向高頻移動；

⑥ 通過實驗驗證，證明所建解析模型和表達(dá)式正確有效；

相關(guān)研究成果對含放大機(jī)構(gòu)隔振器的設(shè)計和應(yīng)用均具有一定的理論指導(dǎo)意義和工程參考價值.