賀擁軍 金志文 周緒紅

摘? ?要：研究了拉索預應力折線型立體桁架拱中的拉索參激振動問題，使用ANSYS軟件建立預應力拱有限元模型，分析了結構中拉索發(fā)生參激振動的可能性，采用非線性時程分析方法研究了結構在簡諧加速度激勵和地震作用下的動力響應，以及桁架拱拉索發(fā)生參激振動的誘發(fā)機制，考察了預拉力、激勵幅值對拉索振動的影響. 研究結果表明：激勵幅值一定，簡諧激勵頻率與拱內側拉索自振頻率成2.05 ∶ 1關系時，將激發(fā)拉索的參激振動，拉索振幅較未發(fā)生參激振動時增加了約63倍，拱節(jié)點位移及桿件內力均有部分增加;地震波頻率集中于拉索發(fā)生參激振動的頻率范圍時拉索有較大響應. 為保證預應力巨型網格結構在地震作用下的安全使用，需考慮拉索參激振動對結構的影響.

關鍵詞：折線型立體桁架拱;拉索;參激振動;地震響應

中圖分類號：TU393.3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標志碼：A

文章編號：1674—2974（2021）01—0117—09

Abstract：The parametric vibration of cables in the pretensioned folded line type 3D-trussed arch was studied and the finite element model of pretensioned arch structure was established to investigate the possibility of parametric vibration of cable by utilizing ANSYS. The nonlinear time-history analysis method was adopted to study the dynamic response? of the structures under different frequency harmonic load and seismic waves and to investigate the mechanism of parametric vibration of cable arch structure. The influence of parameters， such as the prestress and excitation amplitude， were investigated. The results indicated that the cable parametric vibration appeared when the ratio of the excitation frequency to the natural frequency of cable was 2.05 ∶ 1，the amplitude of cable increased by about 63 times and the response of some key nodes and members in the structure increased; the cable had a relatively large response when the frequency of the seismic wave concentrated on the frequency range in which the cable had a parametric vibration. The effect of cable parametric vibration on the structure response was necessary to be considered for ensuring the safety of the structure under earthquakes.

Key words：folded line type 3D-trussed arch;cable;parametric vibration;seismic response

近年來提出的預應力巨型網格結構[1-3]，是在網格結構中布置預應力高強拉索而形成的一種剛柔組合空間結構體系. 預應力的引入有效地改善了結構的靜力性能及穩(wěn)定性，從而進一步提高了結構的跨越能力. 預應力拉索作為結構主要受力構件，具有大柔度、小質量、小阻尼的特點，在地震作用下呈現高度非線性，當結構的振動頻率與拉索頻率滿足一定關系時，激發(fā)拉索的大幅度劇烈振動，拉索可能發(fā)生參激振動，引起拉索及其錨固端的破壞，導致拉索失效喪失承載力，最終影響空間結構的安全性及耐久性.

國內外針對工程中拉索的振動問題進行了系統(tǒng)性的研究. Irvine[4]對索的靜力性能，動態(tài)響應做了深入探討，研究了拉索在外力作用下的微分方程及求解方法;陳水生等[5]考慮拉索垂度及幾何非線性導出了拉索在軸向激勵下的非線性振動方程，指出發(fā)生參激振動時，激勵頻率與索的1階頻率比略大于2，論述了激勵頻率、激勵幅值等因素對拉索參激振動的影響;趙躍宇等[6]研究了索-拱組合結構中斜拉索的非線性參激振動;Wu等[7]分別研究了斜拉橋在正弦激勵、車輛荷載、地震作用下的拉索局部振動;于巖磊等[8]分析了斜拉網殼結構中拉索發(fā)生參激振動的可能性及影響因素;陳丕華等[9]在實驗室觀測到了斜拉索的參激振動. 而作為新型結構體系的拉索預應力巨型網格結構，其拉索參激振動缺乏相應的系統(tǒng)性研究，要使其在實際應用中安全可靠，所做的研究工作還不夠. 因此，對預應力巨型網格結構的非線性耦合參激振動現象及機理的進一步研究具有重要科學意義.

本文以拉索預應力折線型立體桁架拱為例，建立了結構有限元模型，研究了結構在簡諧激勵和地震作用下的基本性能以及拉索發(fā)生參激振動的條件與誘發(fā)機制，以期為預應力巨型網格結構的抗震設計提供理論依據.

1? ?拉索參激振動

參激振動[10]是除自由振動、受迫振動和自激振動以外的一種振動形式，由外界激勵引發(fā)，激勵不是以外荷載形式作用于系統(tǒng)，而是以參數的形式出現在振動運動方程中，并隨時間變化. 當拉索端部橫向激勵頻率與拉索的固有頻率之比為1 ∶ 1時索發(fā)生主共振;拉索端部軸向激勵頻率與拉索固有頻率之比約為2 ∶ 1時索易發(fā)生參激振動. 為研究預應力巨型網格結構的拉索振動機理，將拉索模型簡化為單自由度非線性振動系統(tǒng)，如圖1所示，索端部激勵運動方程為Ux = U0 cos Ωt，其中Ω為外激勵圓頻率.

考慮重力平衡和小垂度建立索的振動微分方程[5]：

式中：H為索的初始徑向拉力;h為索的徑向動拉力;y為自重作用下的位移;v為偏離平衡位置的動力位移;m為索每延米質量. 取索的1階振型函數[11]：

斜拉索面內位移激勵1階參激振動方程[5]可寫為：

式中：ξ為拉索1階振動模態(tài)阻尼比;ω1為考慮拉索垂度和幾何非線性后索的1階自振圓頻率;α1為參激振動項系數，與外激勵有關;α2為由垂度效應導致的平方非線性項系數;α3為大幅振動導致的立方非線性項系數;α4為外激勵項系數，與外激勵幅值和拉索傾角有關.

1.1? ?結構分析方法

1985年墨西哥城8.1級地震動時程曲線如圖2（a）所示，由于軟土地基的放大作用造成地震動強度放大，中低頻成分強度增大，加速度峰值只有0.18 g，而且是周期約為2 s的簡諧振動[12]，其Fourier幅值譜圖2（b）顯示其頻率集中于0.36～0.52 Hz，而在集中頻率的外激勵下，由文獻[5]可知，拉索可能發(fā)生劇烈振動. 而大跨度拉索預應力網格結構在地震作用下，一方面，由于其顯著的幾何非線性效應，地震波起到了縱向激勵的作用，在一定條件下可能引起結構中拉索的參激振動，致使結構豎向振動顯著增大，甚至出現動力失穩(wěn);另一方面，拉索因其大幅度參激振動，反過來引起巨型網殼結構的振動特性和受力性能發(fā)生改變，對整體結構不利. 所以抗震設計中需要考慮參激振動的影響，以確保結構在地震作用下的安全性. 簡諧荷載可以視為各種動力荷載的基本成分，而地震作用可以分解為不同頻率、振幅、相位的簡諧荷載的疊加，因此先對結構在簡諧荷載作用下的動力響應進行分析，進而再研究結構在地震作用下的動力響應.

1.2? ?算例分析

以往對拉索參激振動的研究，多采用解析的方法對參激振動方程進行求解，而本文將探索拉索預應力巨型網格結構在動力荷載下的參激振動現象，作為高次超靜定結構，建立解析模型的可行性較小，因此，本文采用有限元法對結構的參激振動進行數值分析. 對一水平拉索（如圖3（a） 所示），考慮重力作用，分析在右端施加水平向位移激勵時索跨中豎向振動特性. 拉索長l = 50 m、彈性模量E = 180 GPa、泊松比ν = 0.3、阻尼比0.001、預拉力F = 300 kN、截面面積A = 1 256 mm2、密度ρ = 7 850 kg/m3、屈服強度fy = 1 330 MPa. 拉索的模態(tài)分析結果顯示其1階自振頻率f1為1.745 Hz，2階自振頻率f2為3.490 Hz，再在端部施加位移激勵Ux（t） = U0 sin（2πft），取激勵幅值U0 = 0.02 m，激勵頻率f = 3.490 Hz，為拉索1階頻率的2倍，時間步長Δt = 0.01 s，共計40 s. 計算從結構的靜力平衡狀態(tài)開始，振動的初始位置不在原點，將各個節(jié)點初始位移值設為零，同時以索振動出現大幅度“拍”振現象為索發(fā)生參激振動的充分條件. 采用4階龍格-庫塔數值積分法求解微分方程（3），索跨中豎向位移如圖3（b）所示，再采用有限元法通過ANSYS求解，用Link180單元模擬拉索，將索劃分為50個等長單元，約束平面外自由度，拉索跨中豎向位移時程曲線如圖3（c）所示.

圖3（b）（c）顯示拉索發(fā)生參激振動時跨中豎向位移時程均出現5個明顯的“拍”現象，MATLAB解析解與ANSYS數值解振動峰值分別為0.75 m、0.72 m，誤差為4.0%，兩者計算結果基本吻合，說明ANSYS數值解的正確性與可靠性.

2? ?結構基本動力特性分析

2.1? ?結構分析模型

研究[1]表明，主結構在豎向荷載作用下，其失穩(wěn)形態(tài)為主體在平面內發(fā)生豎向位移變形，桁架拱跨中向下凹，兩端向上略凸，平面外未出現失穩(wěn)情況，基于結構失穩(wěn)形態(tài)，在拱跨中內側和外側布置拉索，使拉索與拱相交的位置大致處于拱屈曲反彎點上，在拉索與拱之間布置撐桿，結構形式如圖4（a）所示. 采用ANSYS有限元軟件進行分析，桁架桿、撐桿及預應力拉索均采用Link180單元，各單元之間假定為鉸接，采用初始應變法對拉索施加預拉力，結構阻尼采用瑞利阻尼，阻尼比取0.02. 桁架拱跨度為120 m，桁架梁高度為3 m，撐桿長8 m，矢跨比為1/6，上弦網格數為6. 上下弦桿截面尺寸為Φ245×14，腹桿選用Φ152 × 10，拉索截面為Φ40，撐桿為Φ219×10. 鋼材采用Q235B，屈服強度為235 MPa，彈性模量E =210 GPa，采用雙線性等向強化模型（BISO 模型）. 拱內側拉索、外側拉索預拉力分別為300 kN、200 kN，拉索阻尼比0.001，彈性模量E = 180 GPa，屈服強度1 330 MPa. 上弦所有節(jié)點承受15 kN豎向集中荷載. 桁架拱兩端采用下弦固定鉸支的支撐形式. 為簡化分析，選取預應力巨型網格結構的一榀折線型立體桁架拱（Ⅰ-Ⅰ）進行分析，如圖4（b）所示，約束節(jié)點平面外自由度，分析時考慮幾何非線性.

2.2? ?基本動力特性分析

首先對結構進行模態(tài)分析，再對拉索單獨進行動力特性分析. 表1列出了結構的自振頻率及特征，圖5為結構與拉索頻率的對比. 由于結構的對稱性，只列出了1～5號拉索的前2階自振頻率與整體結構的前10階自振頻率，可以看出整體結構的2階頻率（1.852 Hz）與最長的跨中內側1號拉索的1階頻率（1.840 8 Hz）基本相等，結構的4階頻率（3.348 Hz）與1號索的2階頻率（3.684 Hz）相近. 根據頻率匹配原則，可以判斷跨中內側拉索1發(fā)生參激振動的可能性最大.

3? ?簡諧荷載作用下結構動力響應分析

為研究結構中拉索發(fā)生參激振動的條件與誘發(fā)機制，對結構施加簡諧加速度A sin Ωt，其中A為加速度幅值，Ω為外激勵頻率. 由2.2節(jié)計算得到跨中內側拉索1前2階頻率分別為1.840 8 Hz、3.684 1 Hz. 拉索1階圓頻率ω=2π×1.840 8 rad/s. 采用完全法瞬態(tài)分析，分別取激勵頻率比Ω/ω為0.3～3.0，加速度峰值A取為200 cm/s2，時間步長取0.01 s，計算時間為25 s. 結構關鍵節(jié)點及單元如圖6所示，以索出現大幅度“拍”振現象為索發(fā)生參激振動的充分條件.

3.1? ?豎向激勵下結構動力響應

3.1.1? ?不同頻率比拉索關鍵節(jié)點振動特性

對結構施加豎向簡諧加速度，圖7為拱內側1號拉索跨中15號節(jié)點，拱外側4號拉索跨中12號節(jié)點豎向時程曲線最大值的頻率響應曲線. 可以看出，當激勵頻率比為0.9～1.2時，外激勵頻率接近結構2階頻率（1.85 Hz），12號節(jié)點最大位移達到0.79 m;當外激勵頻率比為1.9～2.09時，跨中內側索振幅急劇增大，拉索發(fā)生參激振動，頻率比為2.05時1號索振幅達到最大值0.57 m，而未發(fā)生參激振動時的最小振幅只有0.009 m，振幅增加約63倍;當激勵頻率比在其他范圍時，由于結構未發(fā)生共振及參激振動，1號拉索的響應均很小. 4號拉索其1階頻率為4.35 Hz，除激勵頻率比為1左右時有較大振幅外，12號節(jié)點未出現較大振幅.

3.1.2? ?拉索發(fā)生參激振動時的響應特性

深入研究激勵頻率比為2.05時1號拉索發(fā)生參激振動時的振動特性. 圖8（a）為拉索15號節(jié)點豎向振動時程曲線，由于拉索阻尼和非線性的影響，在0～6 s內節(jié)點在平衡位置處小幅度振蕩，最大振幅為0.04 m，從7 s開始振幅迅速增加，14 s達到峰值0.57 m，出現一個“拍”的現象，此后峰值略有減小，從19 s開始穩(wěn)態(tài)振動，振幅基本穩(wěn)定維持在0.48 m直至25 s計算結束. 由振動頻譜曲線圖8（b）可知，拉索發(fā)生了相對幅值較大的1階振動. 圖8（c）為1號索拉力時程曲線，拉索大幅度振動時引起張拉力發(fā)生改變導致拉索的頻率偏離其原有頻率，索節(jié)點位移最大值出現在激勵頻率比Ω/ω = 2.05而不是Ω/ω = 2.0. 圖8（d）為索與撐桿交點13號節(jié)點的水平向振動頻譜，頻率集中在3.76 Hz，為索1階頻率的2.04倍，即在豎向外激勵作用下，易激發(fā)拉索發(fā)生參激振動.

索-拱耦合振動作用表現為一個能量傳遞的過程，能量通過桁架拱、撐桿傳遞到拉索上，引起跨中內側拉索發(fā)生參激振動，當拉索阻尼和非線性因素影響越來越大，外激勵輸入能量，拉索振動、恢復力作負功耗散能量平衡時，最終達到穩(wěn)態(tài)振動. 值得注意的是當激勵頻率比為1左右時，結構發(fā)生共振，如圖9所示，桿件迅速進入塑性導致整體結構下沉，而索跨中節(jié)點先劇烈振動，后振動幅度減小，由于桁架拱的下沉導致其豎向位移增大.

3.1.3? ?不同頻率比桿件內力及拱節(jié)點豎向位移

由于過大的振動必然對結構造成危害，故需要對結構桿件內力及拱節(jié)點進行分析. 圖6（b）拱x正向的單元20 ～ 32為正向立體桁架網格交叉部位和各網格中間部位下弦桿件. 單元桿件內力峰值圖如圖10所示. 由圖10可知，由于結構自重的影響，靠近支座端部的軸力較大，而靠近跨中的內力先大幅減小，然后存在一定程度的增加. 當激勵頻率比Ω/ω = 1.0時，結構發(fā)生共振，支座端部桿件進入塑性，除拱頂桿件軸力略小于其他頻率比下的反應以外，其他均為最大;當激勵頻率比Ω/ω = 2.05時，1號拉索發(fā)生參激振動，靠近支座端部桿件進入塑性，拱頂附近桿件軸力達到最大值，說明拉索大幅振動會增大相應位置處桿件內力.

節(jié)點1至11為撐桿桁架連接處，索桁架連接處及拱關鍵位置節(jié)點. 圖11顯示節(jié)點豎向位移峰值從支座端部向跨中逐漸增大，到達拱頂時達到最大，當結構發(fā)生共振時，拱頂6號節(jié)點達到0.63 m時，為便于對比未列出;索發(fā)生參激振動時，索拱連接處與索撐桿連接處豎向位移均大于其他頻率下的響應，但拱頂節(jié)點6未出現大幅振動，其原因是索的劇烈振動主要是影響靠近索端部的桁架拱.

以上現象說明外激勵頻率對結構存在影響，一旦激起結構共振或拉索的參激振動，均會增大相應桿件內力及節(jié)點位移，對結構造成不利影響.

3.2? ?水平向激勵和雙向激勵下結構響應

僅對結構施加水平向簡諧激勵，如圖12（a）所示，當激勵頻率比為Ω/ω = 0.5時，外激勵頻率0.920 4 Hz與結構1階頻率0.83 Hz相近，誘發(fā)結構共振，最終導致失效破壞，其他頻率比下各單元內力相差不大. 從拉索1振幅及各關鍵點位移圖12（b）和圖12（c）可以看出，除結構發(fā)生共振時豎向位移較大以外，其余頻率比下各關鍵點位移均很小，水平向簡諧激勵未能誘發(fā)拉索發(fā)生參激振動.

同時施加水平向和豎向簡諧激勵，激勵頻率比Ω/ω為2.05，索15號節(jié)點振幅如圖12（d）所示，豎向位移略小于僅施加豎向簡諧激勵下的響應，即水平向激勵對索發(fā)生參激振動有抑制作用. 對預應力拱，豎向激勵的影響遠大于水平向的激勵，這是由于結構豎向剛度較弱導致的.

3.3? ?參數分析

3.3.1? ?預拉力的影響

考慮內側拉索預拉力分別為100、200、300、400、500 kN，施加豎向簡諧激勵，激勵頻率為拉索發(fā)生參激振動時的3.77 Hz，其余參數均相同. 不同預拉力下1號拉索15號節(jié)點振幅最大值如表2所示.

預拉力對拉索振動有很大影響，除了預拉力為300 kN時，拉索發(fā)生參激振動豎向位移達到0.509 m以外，其余均是隨著預拉力的增加而減小，其原因是預拉力改變了拉索的固有頻率，而適當提高拉索的預拉力，有利于減小拉索在動荷載下的振動幅度.

3.3.2? ?外激勵幅值的影響

對結構施加豎向簡諧激勵，激勵頻率為3.77 Hz，激勵幅值分別為50、100、150、200、250 cm/s2，1號拉索15號節(jié)點最大振幅值如表3所示.

節(jié)點豎向位移隨激勵幅值的增加而先增加，后稍有降低. 即使外激勵頻率滿足拉索發(fā)生參激振動的頻率條件，也只有激勵幅值達到一定程度時，才會引起結構拉索的參激振動.

4? ?地震作用下結構動力響應分析

第3節(jié)的研究結果顯示，結構的拉索在特定頻率下會發(fā)生參激振動，本節(jié)研究結構在地震作用下發(fā)生參激振動的可能性.

4.1? ?地震波輸入

計算模型同第3節(jié)，選用抗震設防烈度為8度（0.2 g），罕遇地震，Ⅱ類場地，設計地震分組為2組，特征周期值為0.45 s，10條中硬場地天然地震波，以及采用三角級數法，控制頻率范圍及增量，擬合規(guī)范反應譜的頻率較為集中的2條人工波作為地震波輸入，所選的地震波列于表4，反應譜如圖13所示，8度罕遇地震，將加速度峰值調整為400 cm/s2，僅考慮豎向地震波作用.

4.2? ?結構動力響應

1號拉索、桁架拱各節(jié)點位移峰值分別如圖14（a）和14（b）所示. 索各關鍵點豎向位移均從端部向跨中逐漸增大;拱桁架節(jié)點豎向位移從兩端向跨中先逐漸增加，在撐桿桁架交接處之后稍有降低，而后豎向位移繼續(xù)增大，在跨中處達到最大值. 在6號地震波作用下，拱頂節(jié)點6、索跨中節(jié)點15豎向位移均最大，圖14（c）顯示6號地震動傅里葉譜在1.86 Hz左右的頻率分量最為豐富，與結構2階豎向振動頻率基本一致，且與1號拉索1階頻率相近，易與結構產生“類共振”，導致結構響應最為強烈. 圖14（d）為桁架各單元軸力，桿件軸力較為相近，人工波1作用下桁架拱靠近跨中處桿件內力最大.

人工波1、2 Fourier譜如圖15（a）所示，人工波1卓越頻率為3.83 Hz，為1號拉索1階頻率的2.08倍;拉索15號節(jié)點豎向位移時程曲線如圖15（b）所示，由圖15（b）可知，未出現圖8（a）拉索發(fā)生參激振動時的劇烈振動，其原因是地震波頻率較為分散地分布在3.64～3.98 Hz內，且激勵幅值不斷變化;人工波2卓越頻率為5.66 Hz，為1號拉索頻率的3.09倍，遠離索的1、2階頻率，未能激起拉索的參激振動，桁架、索節(jié)點豎向位移均最小. 值得注意的是，激勵頻率靠近參激振動頻率范圍時較遠離其頻率范圍時拉索有相對較大響應，即在特定條件下，拉索具有發(fā)生參激振動的可能性.

5? ?結? ?論

對預應力折線型立體桁架拱在簡諧荷載和地震作用下的動力響應作了詳細分析，得到以下結論：

1）拉索的大幅度非線性振動與折線型立體桁架拱是相關聯的，拉索發(fā)生參激振動的可能性及振動特性有必要從加速度的角度在全結構中進行考慮.

2）無論是水平向還是豎向簡諧激勵，結構均存在明顯共振現象. 豎向外激勵頻率約為結構中某拉索1階頻率的2倍時，易誘發(fā)拉索發(fā)生參激振動，拉索振幅較未發(fā)生參激振動時增加約63倍，桿件內力及桁架拱位移均有部分增加.

3）適當提高預拉力能減小拉索振動，激勵頻率和幅值均滿足一定條件，才能激起拉索的參激振動.

4）地震波激勵幅值和頻率的不斷變化會減小結構中拉索發(fā)生參激振動的可能性，但由于集中頻率地震波的存在性，拉索預應力巨型網格結構抗震設計需要考慮參激振動的影響.

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