朱樂(lè)樂(lè)，王雨時(shí)，聞 泉

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

目前，定距引信的定距方式主要有計(jì)時(shí)和計(jì)轉(zhuǎn)數(shù)兩種。計(jì)轉(zhuǎn)數(shù)定距引信的理論基礎(chǔ)是旋轉(zhuǎn)炮彈出炮口后每自轉(zhuǎn)一周，沿速度方向前進(jìn)的距離基本不變，且這一距離與彈丸速度近似無(wú)關(guān)。根據(jù)這一原理可將彈目距離換算成炮彈所轉(zhuǎn)圈數(shù)，對(duì)引信進(jìn)行裝定，在彈丸轉(zhuǎn)數(shù)達(dá)到裝定圈數(shù)時(shí)引爆彈丸，達(dá)到計(jì)轉(zhuǎn)數(shù)定距的目的。實(shí)際上，由于極阻尼力矩的存在，彈丸飛行過(guò)程中轉(zhuǎn)速是不斷衰減的。彈丸所轉(zhuǎn)圈數(shù)與其自轉(zhuǎn)角速度(轉(zhuǎn)速)有對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，因此，研究彈丸外彈道階段的轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律對(duì)計(jì)轉(zhuǎn)數(shù)定距引信的應(yīng)用意義重大。就目前的技術(shù)而言，直接測(cè)量一發(fā)彈丸的實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律比較困難而且成本較高，因此，通過(guò)理論或仿真的方法建立旋轉(zhuǎn)彈丸的外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律一直是研究重點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]將常規(guī)彈丸外形看作由圓臺(tái)形部、尖拱形部、圓柱形部和彈帶部組成，基于空氣動(dòng)力學(xué)理論得到了彈丸每部分的極阻尼力矩和常規(guī)彈丸的外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律。文獻(xiàn)[2]基于文獻(xiàn)[1]的理論建立了頭部為球形彈丸的外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律數(shù)學(xué)模型，并將該模型與彈丸質(zhì)心外彈道方程聯(lián)立，得到了球頭形旋轉(zhuǎn)彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律。文獻(xiàn)[3]基于空氣動(dòng)力學(xué)理論得到了頭部輪廓為準(zhǔn)拋物線(xiàn)彈丸的外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律，并將其與用經(jīng)驗(yàn)公式得到的結(jié)果對(duì)比，又通過(guò)Fluent軟件仿真彈丸的極阻尼力矩，驗(yàn)證了理論計(jì)算的準(zhǔn)確性。外彈道學(xué)中有一些描述彈丸轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律的經(jīng)驗(yàn)公式，這些經(jīng)驗(yàn)公式有一定的參考意義，如柔格里公式、指數(shù)函數(shù)公式[4]、冪函數(shù)公式[4]等；但這些公式形式簡(jiǎn)單，考慮因素較少，精度往往難以滿(mǎn)足引信與彈丸的研究和設(shè)計(jì)要求。隨著理論和計(jì)算手段的發(fā)展，通過(guò)理論推導(dǎo)和計(jì)算機(jī)仿真的方法得到較為準(zhǔn)確的彈丸轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律已成為現(xiàn)實(shí)[5-6]。本文所研究的彈丸頭部為橢球形，目前尚未有文獻(xiàn)研究過(guò)類(lèi)似外形彈丸的外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律。本文將分別基于空氣動(dòng)力學(xué)理論和Fluent軟件仿真彈丸極阻尼力矩系數(shù)兩種方法建立橢球形頭部旋轉(zhuǎn)彈丸的外彈道轉(zhuǎn)速衰減數(shù)學(xué)模型，并將兩方法得到的模型與彈丸質(zhì)心外彈道方程聯(lián)立，借助Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值解算，得到橢球形頭部彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律。最后與經(jīng)驗(yàn)公式和靶場(chǎng)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，對(duì)結(jié)果的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 橢球形頭部彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律數(shù)學(xué)模型

1.1 彈丸外形分析

本文研究對(duì)象為中口徑亞音速旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸，其外形如圖1所示。為了減小阻力，彈丸頭部設(shè)計(jì)為橢球形。由圖1可知該彈丸輪廓是由六段曲線(xiàn)構(gòu)成——第一段為橢球形、第二段為圓柱、第三段為彈帶、第四段為圓柱、第五段的回轉(zhuǎn)母線(xiàn)為圓弧、第六段為圓柱。

圖1 橢球形頭部彈丸(含引信)外形圖Fig.1 The figure of the ellipsoidal head projectile (including fuze)

為方便分析該彈丸的外彈道自轉(zhuǎn)角速度衰減規(guī)律，做如下假設(shè)[1]：

a) 彈丸的外形關(guān)于彈軸對(duì)稱(chēng)分布、質(zhì)量均勻；

b) 將沿彈丸表面的空氣流動(dòng)視為一個(gè)面積與彈丸外表面展開(kāi)面積相同的平板表面流動(dòng)，其附面層流動(dòng)為紊流流動(dòng)(該彈丸飛行過(guò)程中周?chē)鷼饬骼字Z數(shù)數(shù)量級(jí)為106)；

c) 彈丸所在環(huán)境符合國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)大氣；

d) 彈帶上的膛線(xiàn)切槽表面光滑、形狀規(guī)則、分布均勻；

e) 除彈帶外，不考慮彈丸外表面凹凸不平(如扳手槽、膛線(xiàn)印痕等)產(chǎn)生的極阻尼力矩。忽略彈尾圓平面和圓角產(chǎn)生的極阻尼力矩。

1.2 彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律數(shù)學(xué)模型

根據(jù)空氣動(dòng)力學(xué)理論，紊流附面層下，空氣對(duì)平面薄板的摩擦應(yīng)力τ為[1]：

(1)

式(1)中,ρ為空氣密度，kg/m3；ν為運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)，ν=μ/ρ,μ為粘性系數(shù)；z為平薄板上的坐標(biāo)(與氣流方向一致)，無(wú)量綱；V為氣流速度，m/s。

(2)

對(duì)于大多數(shù)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸，彈丸速度V遠(yuǎn)大于ωR，則式(2)可簡(jiǎn)化為：

(3)

根據(jù)上述理論，可先分別計(jì)算出每段彈丸表面因空氣阻力產(chǎn)生的極阻尼力矩，再累加得到彈丸總的極阻尼力矩M。建立如圖1所示的XOY坐標(biāo)系，下面分段計(jì)算彈丸表面的極阻尼力矩。

1) 第一段橢球段的極阻尼力矩

(4)

(5)

對(duì)式(5)從x0到x1積分，采用τ⊥的簡(jiǎn)化形式代入后，得到橢球段極阻尼力矩M1的表達(dá)式：

(6)

由圖1可知，式(6)中x0=0，x1=0.042 m。

2) 第二段圓柱段的極阻尼力矩[1]

該圓柱部分長(zhǎng)為H1，底面半徑為R1。第一段橢圓弧弧長(zhǎng)為S1，則圓柱面微元面積ds=2πR1dy。在該微元上產(chǎn)生的極阻尼力矩微元為：

(7)

對(duì)式(7)從y=S1到y(tǒng)=S1+H1積分得到該段圓柱的極阻尼力矩M2為：

3) 彈帶部的極阻尼力矩[1]

彈丸發(fā)射時(shí)，在炮膛內(nèi)由于膛線(xiàn)的擠壓會(huì)在彈帶處留下切槽。在彈丸飛行過(guò)程中，彈帶切槽會(huì)受到空氣阻力的作用，產(chǎn)生極阻尼力矩。由彈帶切槽引起的極阻尼力矩可由下式計(jì)算：

(8)

式(8)中，N為炮管膛線(xiàn)數(shù)；Sdi為第i條彈帶沿平行彈軸方向截面面積；m為彈帶數(shù)；α1為沖角，α1=ε-α，α為身管纏角；ε為與彈丸速度V、直徑d和轉(zhuǎn)速ω有關(guān)的中間變量，ε=arctan(ωd/2V)；CN為彈帶突起部分的法向空氣動(dòng)力系數(shù)。

4) 第四段圓柱段的極阻尼力矩[1]

該圓柱部分長(zhǎng)為H2，底面半徑為R2，彈帶寬度為W，該段圓柱面微元面積為ds=2πR2dy。在該微元上產(chǎn)生的極阻尼力矩微元為：

(9)

對(duì)式(9)從y=S1+H1+W到y(tǒng)=S1+H1+W+H2積分得到該段圓柱的極阻尼力矩M4為：

5) 第五段半球形段的極阻尼力矩[2]

(10)

將式(10)從αE到αF積分即可得到該段的極阻尼力矩M5：

6) 第六段圓柱段的極阻尼力矩[1]

該段圓柱長(zhǎng)為H3，半徑為R3，第三段圓弧長(zhǎng)S2=r(αF-αE)。該圓柱段的微元面積ds=2πR3dy，則空氣阻力在該微元上產(chǎn)生的極阻尼力矩微元dM為：

(11)

將式(11)從S1+H1+W+H2+S2到S1+H1+W+H2+S2+H3積分可得該圓柱段的極阻尼力矩M6：

彈丸在外彈道階段的自轉(zhuǎn)角速度衰減規(guī)律可描述為[7]：

(12)

式(12)中，I為彈丸的極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω為彈丸自轉(zhuǎn)角速度，M為彈丸極阻尼力矩。由式(12)可知，在外彈道階段，彈丸的角速度衰減規(guī)律完全由彈丸極阻尼力矩決定。前面已分段求出了該彈丸的極阻尼力矩，則該外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律數(shù)學(xué)模型為：

(13)

將榴彈各段極阻尼力矩表達(dá)式中有關(guān)彈丸結(jié)構(gòu)的變量定義為彈丸綜合結(jié)構(gòu)參數(shù)：

將ρ0=1.225 kg/m3，μ0=1.789 4×10-5kg/m/s代入，得該彈丸各段極阻尼力矩為：

(14)

將式(14)代入式(13)得：

(15)

式(15)即為該彈丸外彈道自轉(zhuǎn)角速度衰減規(guī)律數(shù)學(xué)模型。該式為非線(xiàn)性微分方程，無(wú)解析解，只能與彈丸外彈道質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)立求得數(shù)值解。求解初始條件為：t0=0，ω0=ωg。

1.3 彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律數(shù)值解算結(jié)果分析

將該彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律數(shù)學(xué)模型與外彈道質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)立后可用Matlab軟件編寫(xiě)程序，使用ode45法求解該微分方程組的數(shù)值解。求解所需的原始數(shù)據(jù)如表1所列。計(jì)算時(shí)間為30 s，經(jīng)驗(yàn)算時(shí)間步長(zhǎng)取10-4s時(shí)計(jì)算結(jié)果收斂，因此，計(jì)算時(shí)間步長(zhǎng)取10-4s。經(jīng)過(guò)求解得到了15°射角下彈丸外彈道自轉(zhuǎn)角速度衰減曲線(xiàn)，如圖2。圖中將理論模型的轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律分別和柔格里公式、冪函數(shù)公式和指數(shù)函數(shù)公式三種轉(zhuǎn)速衰減經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行了對(duì)比。從圖2中可以看出：該榴彈的轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律和三種經(jīng)驗(yàn)公式趨勢(shì)相同，且與冪函數(shù)公式的衰減規(guī)律最為接近。

圖2 彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減曲線(xiàn)(15°射角)Fig.2 The attenuation curve of the projectile external ballistic spinning speed (15° firing angle)

表1 彈丸轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律計(jì)算原始數(shù)據(jù)Tab.1 The original calculating data of the attenuation law of projectile speed

15°射角彈丸外彈道解算結(jié)果如表2所列(表中只選取了射程為0～1 000 m范圍內(nèi)的數(shù)據(jù))。從表中可以看出在射程為1 000 m時(shí)，理論模型與冪函數(shù)公式計(jì)算出的彈丸轉(zhuǎn)數(shù)相差約5圈。

2 橢球形頭部彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律仿真研究

外彈道學(xué)中認(rèn)為彈丸自轉(zhuǎn)角速度的衰減是極阻尼力矩造成的，彈丸極阻尼力矩的表達(dá)式為[7]：

(16)

式(16)中，Mxz為彈丸極阻尼力矩，mxz為彈丸極阻尼力矩系數(shù)，l為彈長(zhǎng)，I為彈丸極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ω為彈丸自轉(zhuǎn)角速度。

由式(16)可知：對(duì)于某一確定彈丸，其極阻尼力矩與極阻尼力矩系數(shù)有確定的函數(shù)關(guān)系，而彈丸極阻尼力矩系數(shù)與彈丸飛行過(guò)程中的速度和轉(zhuǎn)速有關(guān)[7]。隨著計(jì)算流體力學(xué)的發(fā)展，彈丸的極阻尼力矩系數(shù)可通過(guò)Fluent軟件仿真得到。因此，也可以通過(guò)仿真的手段直接得到彈丸極阻尼力矩，再通過(guò)非線(xiàn)性擬合的方法得到極阻尼力矩系數(shù)與彈丸速度和轉(zhuǎn)速的關(guān)系代入式(16)，結(jié)合彈丸質(zhì)心外彈道運(yùn)動(dòng)方程，得到彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律。

通過(guò)Fluent軟件仿真彈丸攻角為0°情況下，彈丸速度為1、0.8、0.6、0.4Ma，轉(zhuǎn)速分別為500、450、400、350 rad/s時(shí)彈丸的極阻尼力矩系數(shù)。仿真結(jié)果如表3所列。為了更直觀地看出彈丸極阻尼力矩系數(shù)隨彈丸速度和轉(zhuǎn)速的變化規(guī)律，將表3中的數(shù)據(jù)通過(guò)Matlab擬合彈丸極阻尼力矩系數(shù)隨彈丸速度和轉(zhuǎn)速的變化曲線(xiàn)，如圖3所示。從圖3可以看出攻角為0°時(shí)，在仿真的速度范圍內(nèi)，轉(zhuǎn)速一定時(shí)，彈丸極阻尼力矩系數(shù)隨著彈丸速度的減小而增大，該結(jié)論與文獻(xiàn)[8]一致；彈丸速度一定時(shí)，彈丸極阻尼力矩系數(shù)隨著彈丸轉(zhuǎn)速的增大而增大。

圖3 攻角為0°時(shí)彈丸極阻尼力矩系數(shù)隨速度和轉(zhuǎn)速的變化曲線(xiàn)Fig.3 The change curve of the extreme damping torque coefficient of the projectile with speed and rotation speed when the angle of attack is 0°

以表3中的彈丸速度和轉(zhuǎn)速為自變量，極阻尼力矩系數(shù)為因變量，通過(guò)1stOpt軟件對(duì)彈丸極阻尼力矩系數(shù)mxz與彈丸速度v和轉(zhuǎn)速ω關(guān)系進(jìn)行非線(xiàn)性擬合。得到三者的數(shù)值關(guān)系式如下：

(17)

式(17)中，系數(shù)p1=-47.588 5，p2=110.355 1 s/m，p3=-69.775 3 s2/m2，p4=0.008 8 s，p5=1.020 5×10-4s2，p6=-39.858 7 s/m，p7=79.660 6 s2/m2，p8=-37.050 6 s3/m3，p9=0.017 8 s，p10=-1.256 4×10-5s2。擬合度為0.999 98，擬合殘差平方和為0.030 8，擬合效果良好。

將式(17)代入彈丸質(zhì)心外彈道運(yùn)動(dòng)方程即可得到通過(guò)擬合彈丸極阻尼力矩系數(shù)與彈丸速度和轉(zhuǎn)速的關(guān)系得到的彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律，稱(chēng)這一規(guī)律為擬合公式模型。通過(guò)Matlab編程，使用ode45算法求解該微分方程組。求解所需的初始數(shù)據(jù)如表1所列。射角為15°時(shí)，計(jì)算得到的彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減曲線(xiàn)如圖4所示。從圖中可以看出，擬合公式模型得到的轉(zhuǎn)速衰減曲線(xiàn)與指數(shù)函數(shù)公式最為接近，與另外幾種模型得到的曲線(xiàn)相差也不大，說(shuō)明了利用極阻尼力矩系數(shù)擬合公式得到彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減曲線(xiàn)的方法是可行的。計(jì)算得到的橢球形頭部彈丸外彈道諸元如表4所列，表中將擬合公式模型和理論模型轉(zhuǎn)速進(jìn)行對(duì)比。結(jié)合圖4可以看出，擬合公式模型轉(zhuǎn)速衰減得比理論模型快，同一距離裝定的圈數(shù)也比理論模型少。在1 000 m處，兩者計(jì)算得到的裝定圈數(shù)相差約14圈。

圖4 不同模型求得的彈丸轉(zhuǎn)速衰減曲線(xiàn)(15°射角)Fig.4 Speed attenuation curve of projectile obtained by different models (15° firing angle)

表4 利用Fluent軟件仿真彈丸極阻尼力矩系數(shù)得到的彈丸外彈道諸元(15°射角)Tab.4 The external ballistic elements of the projectile obtained by asing Fluent softwave to simulate the extreme damping moment coefficient of the projectile (15° firing angle)

3 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證上述兩種方法得到的彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律的正確性，進(jìn)行了彈丸外彈道定距空炸試驗(yàn)：在距離炮口350、400、450 m處設(shè)置立靶，利用高速攝像機(jī)觀察彈丸在靶板附近的空炸位置。試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖5所示，雷達(dá)用來(lái)測(cè)量彈丸炮口速度。試驗(yàn)數(shù)據(jù)和試驗(yàn)結(jié)果如表5所列。

圖5 定距空炸試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖Fig.5 Field diagram of fixed-distance aerial bombing test

前面分別用空氣動(dòng)力學(xué)理論計(jì)算得出極阻尼力矩理論公式(簡(jiǎn)稱(chēng)方法A)和擬合Fluent仿真得到的極阻尼力矩系數(shù)公式(簡(jiǎn)稱(chēng)方法B)的方法得到了橢球形頭部彈丸的外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律。下面將定距空炸試驗(yàn)結(jié)果與兩種方法得到的理論結(jié)果進(jìn)行對(duì)比來(lái)驗(yàn)證這兩種方法的準(zhǔn)確性。試驗(yàn)時(shí)射角約為2.397°，根據(jù)表5中的數(shù)據(jù)，分別用上述兩種方法計(jì)算彈丸在試驗(yàn)裝定轉(zhuǎn)數(shù)下的理論作用距離，結(jié)果也列入了表5。可以看出，在一定圈數(shù)下，通過(guò)方法A計(jì)算得到的作用距離與實(shí)際作用距離非常接近，在398 m處最大誤差為1.98 m；通過(guò)方法B計(jì)算得到的作用距離不如方法A精確，且系統(tǒng)性地偏大，在450 m處最大誤差為7.1 m，且通過(guò)方法B得到的結(jié)果較試驗(yàn)值系統(tǒng)性地偏大。

表5 彈丸定距空炸試驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論計(jì)算結(jié)果Tab.5 Test data and theoretical calculation results of fixed-range air bombing of projectiles

也可以通過(guò)比較一定距離下的轉(zhuǎn)圈數(shù)來(lái)驗(yàn)證兩種方法的準(zhǔn)確性。如分別計(jì)算炮彈在400 m和450 m空炸所需裝定的圈數(shù)。計(jì)算結(jié)果如表6所列。從表中可以看出，方法A的計(jì)算結(jié)果比方法B更接近于實(shí)際。兩種方法得到的裝定圈數(shù)與實(shí)際裝定的圈數(shù)相差都不大：在450 m內(nèi)，方法A得到的結(jié)果與實(shí)際相差不大于1圈，方法B得到的結(jié)果與實(shí)際相差不大于3圈。

表6 彈丸定距空炸試驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論計(jì)算結(jié)果Tab.6 Test data and theoretical calculation results of fixed-range air bombing of projectiles

4 結(jié)論

本文主要用理論計(jì)算和仿真的方法研究了中口徑橢球形頭部旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律，并通過(guò)靶場(chǎng)試驗(yàn)驗(yàn)證了理論計(jì)算和仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性?；诳諝鈩?dòng)力學(xué)理論得到的彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減曲線(xiàn)與冪函數(shù)公式最為接近。經(jīng)過(guò)靶場(chǎng)試驗(yàn)驗(yàn)證，該方法得到的結(jié)果精度較高，可以滿(mǎn)足彈丸研發(fā)階段對(duì)外彈道環(huán)境的需求。除了通過(guò)理論公式推導(dǎo)得到彈丸的轉(zhuǎn)速衰減模型外，還可以使用Fluent軟件仿真出一定速度和轉(zhuǎn)速下彈丸的極阻尼力矩系數(shù)，再通過(guò)非線(xiàn)性擬合得到極阻尼力矩系數(shù)與彈丸速度和轉(zhuǎn)速的關(guān)系式，進(jìn)而得到彈丸的轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律。通過(guò)Fluent仿真彈丸極阻尼力矩系數(shù)得到的彈丸外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律與指數(shù)函數(shù)公式最為接近，說(shuō)明通過(guò)該方法得到彈丸轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律也是可行的。經(jīng)過(guò)靶場(chǎng)試驗(yàn)驗(yàn)證，該方法得到的結(jié)果沒(méi)有基于空氣動(dòng)力學(xué)理論得到的結(jié)果精度高。但是也為得到一些特殊彈形的外彈道轉(zhuǎn)速衰減規(guī)律提供了一種思路和方法。若要得到更為準(zhǔn)確的模型需進(jìn)行更貼合實(shí)際的空氣動(dòng)力學(xué)仿真(如提高有限單元法劃分網(wǎng)格的質(zhì)量、添加更符合實(shí)際環(huán)境的空氣參數(shù)等)。