王國濤，姜秋喜，劉方正

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

隨著LPI雷達(dá)信號的廣泛應(yīng)用，戰(zhàn)場電磁環(huán)境愈來愈密集復(fù)雜，給雷達(dá)信號的分選帶來了極大的威脅。傳統(tǒng)的信號分選系統(tǒng)主要利用信號的脈沖重復(fù)間隔(PRI)、到達(dá)時間(TOA)、到達(dá)角(DOA)、載頻(CF)以及脈沖寬度(PW)等輻射源描述字(EDW)來完成信號的分選識別，而LPI雷達(dá)使用具有寬頻帶和大時寬的信號，使空間電磁信號在時域大量交疊，頻域上跨度增大，受噪聲和強(qiáng)信號的影響，弱信號難以被檢測出來，密集復(fù)雜的電磁環(huán)境使得傳統(tǒng)算法難以準(zhǔn)確地完成信號的分選[1-2]。

獨(dú)立成分分析技術(shù)(independent component analysis, ICA)是一種基于統(tǒng)計數(shù)據(jù)中尋找內(nèi)在獨(dú)立因子或成分的方法。該方法能夠在變量和混合系統(tǒng)均未知的情況下，通過對觀測信號的分解得到隱藏在其中統(tǒng)計獨(dú)立的若干變量[3]，F(xiàn)astICA算法是其中運(yùn)行效率較高的一種算法，目前在生物信號處理[4]、語音信號分離[5]、無線通信[6]和數(shù)據(jù)挖掘[7]等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)FastICA算法是基于二階牛頓迭代方法，進(jìn)行合理近似的一種算法。為了提高FastICA算法的穩(wěn)定性，減少迭代次數(shù)，近年來許多學(xué)者提出了改進(jìn)的FastICA算法[8-11]。其中文獻(xiàn)[11]基于3階牛頓迭代法提出了改進(jìn)的FastICA算法，其收斂速度快于傳統(tǒng)算法。為了解決基于輻射源描述字的傳統(tǒng)信號分選方法難以適應(yīng)當(dāng)前復(fù)雜電磁環(huán)境的問題，本文提出將基于3階牛頓迭代的改進(jìn)FastICA算法應(yīng)用于雷達(dá)信號的分離中。首先采用主成分分析(PCA)技術(shù)對信號數(shù)據(jù)進(jìn)行降維預(yù)處理，然后利用改進(jìn)算法進(jìn)行循環(huán)迭代得到分離矩陣，最后根據(jù)分離矩陣提取出獨(dú)立的雷達(dá)信號成分。

1 改進(jìn)的FastICA算法

FastICA算法需要對信號的非高斯性進(jìn)行衡量，以確定最大值。目前主要衡量方法有峭度和負(fù)熵兩大類，由于峭度對野值比較敏感，容易造成大的偏差，所以本文使用負(fù)熵作為衡量工具，隨機(jī)變量x的負(fù)熵表達(dá)式為：

J(x)=H(x)-H(xgauss)

(1)

J(x)∝{E[G(x)]-E[G(xgauss)]}2

(2)

式(2)中，G(x)是x的非線性函數(shù)，常見G函數(shù)有3種，詳細(xì)見文獻(xiàn)[3]。

假設(shè)x=wTv是待估計的源信號(w是分離矩陣W中列向量，v是經(jīng)過預(yù)處理后的觀測矩陣)，那么根據(jù)非線性規(guī)劃中Kuhn-Tucke最優(yōu)化條件，當(dāng)分離矩陣W=[w1,w2,…,wm]中列向量的二范數(shù)為1，即‖wi‖2=1,i=1,2,…,m時，問題就轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)化模型：

(3)

為求解該公式，建立拉格朗日函數(shù)：

L(w,β)=J(w)-β(‖w‖2-1)=
{E[G(wTv)]-E[G(xgauss)]}2+β‖w‖2

(4)

對式(4)求導(dǎo)，得到：

(5)

那么模型(3)的最大值求解問題可以轉(zhuǎn)化為求解下式：

(6)

根據(jù)3階牛頓迭代法[12]：

(7)

xn+1是非線性方程f(x)=0的解，據(jù)此求解方程(3)，再化簡得到改進(jìn)的FastICA算法的迭代式為：

(8)

2 基于改進(jìn)FastICA算法的雷達(dá)信號盲分離

圖1是雷達(dá)信號盲源分離的模型，假設(shè)有m個相同的傳感器任意分布在同一平面上，組成接收陣列。n個獨(dú)立的雷達(dá)源信號s1(t),s2(t)，…，sn(t)，在空間經(jīng)過線性混疊后被接收陣列截獲，收到的信號為x1(t),x2(t)，…，xm(t)。

圖1 雷達(dá)信號盲源分離模型Fig.1 Blind source separation model of radar signal

混合模型可表示為：

(9)

式(9)中，aij是混合系數(shù)，為常數(shù)。該模型用矩陣可以表示為：

X=AS

(10)

式(10)中，S=[s1(t),s2(t)，…，sn(t)]表示源信號矩陣，X=[x1(t),x2(t)，…，xm(t)]表示觀測信號矩陣，A∈Rm×n表示混合矩陣。該模型必須具備以下條件[13]：

1) 所有源信號之間是相互統(tǒng)計獨(dú)立的。

2) 源信號中最多有一個是服從高斯分布的信號。

3) 觀測的混合信號個數(shù)應(yīng)不小于源信號的個數(shù)，即m≥n。

在以上條件約束下，ICA算法要解決的問題就是：通過求取分離矩陣W，使得通過分離算法Y=WX后，輸出的矩陣Y中各分量相互獨(dú)立。

2.1 基于PCA的數(shù)據(jù)預(yù)處理

在使用FastICA算法前，為了提高運(yùn)算效率，需要對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。主成分分析(PCA)是對數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，提取數(shù)據(jù)間的特征，進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮的經(jīng)典方法。使用PCA方法可以從一組多維數(shù)據(jù)中找到冗余度更小的一個子集，對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，從而提高FastICA算法的效率。假設(shè)有一組數(shù)據(jù)X∈Rm×n，PCA變換過程如下：

1) 去均值。將矩陣X中的每一行減去該行的均值，即：

X←X-E(X)

(11)

2) 求數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣：

CX=E[XXT]

(12)

式(12)中，CX是數(shù)據(jù)X的協(xié)方差矩陣。

3) 求協(xié)方差矩陣的特征值和對應(yīng)的特征向量，特征值從大到小記為{d1,d2,…,dn}，對應(yīng)的特征向量為{u1,u2,…,un}。

4) 選取最大的m個特征值所對應(yīng)的特征向量組成矩陣Wh={u1,u2,…,um}。

5) 對矩陣X進(jìn)行變換：

(13)

式(13)中，V∈Rm×n是經(jīng)過PCA處理后的數(shù)據(jù)矩陣。

2.2 算法流程

2.1節(jié)中算法過程只估計了一個獨(dú)立分量，要想分離所有變量則需要多次迭代，而且每次估計出分量后還應(yīng)對分離矩陣進(jìn)行處理，去除已分離變量，具體算法流程如下：

1) 數(shù)據(jù)預(yù)處理：對觀測信號進(jìn)行去PCA處理，得到矩陣V=[v1,v2,…,vn]。

2) 初始化分離矩陣W=[w1,w2,…,wn]，初始值可以為隨機(jī)值，但需滿足‖wi‖=1,i=1,2,…,n。

3) 根據(jù)迭代公式(5)，更新wi，得到分離向量。

4) 每次迭代后對wi進(jìn)行正交和歸一化處理，正交化采用對稱正交化算法。過程公式如下：

(14)

5) 判斷wi是否收斂，若式|wk+1-wk|<ε(本文取ε=10-7，k代表是第k次迭代結(jié)果)成立，則wi收斂；否則返回步驟3)繼續(xù)進(jìn)行迭代。

6) 若i

2.3 算法性能評價指標(biāo)

為了能夠評估改進(jìn)FastICA算法分離信號的性能，這里選取信號的相似系數(shù)來對算法分離效果進(jìn)行評價。相似系數(shù)是描述估計信號與源信號之間相似性的一種參數(shù)，定義為：

(15)

式(15)中，si(t)為源信號中第i個信號序列，yj(t)為分離得到第j個信號序列。當(dāng)兩信號獨(dú)立時，ξij=0；當(dāng)yj(t)=csi(t)，c為常數(shù)時，即兩個信號只是幅度不同時，ξij=1；ξij值越大表示兩個信號的一致性越好，算法的分離效果就越好[14]。

3 仿真實(shí)驗及結(jié)果分析

實(shí)驗仿真分兩組進(jìn)行，實(shí)驗1為連續(xù)波信號的分離；實(shí)驗2為脈沖波信號的分離。分別使用本文中改進(jìn)的算法和文獻(xiàn)[13]中傳統(tǒng)算法對信號進(jìn)行分離實(shí)驗，并從估計的一致性和算法的收斂性兩個方面對實(shí)驗結(jié)果進(jìn)行分析。

3.1 連續(xù)波信號分離實(shí)驗

本組實(shí)驗分析的是連續(xù)波環(huán)境下的信號分離性能，設(shè)置了3組不同調(diào)制的連續(xù)波雷達(dá)信號和1組噪聲信號，分別是：

1) 單載頻信號(NS)：

s1=2cos(2πf0t)

(16)

式(16)中，載頻f0=8×106Hz。

2) 線性調(diào)頻信號(LFM)：

s2=cos(2πf0t+kπt2)

(17)

式(17)中，f0=107Hz,k=1012。

3) 二相編碼信號(BPSK)：選取7位巴克碼，碼元內(nèi)信號為cos(2πf0t+φ)，碼元為1時，φ=π；碼元為0時，φ=0 ；載頻f0=8×106Hz。

4) 高斯白噪聲，噪聲功率為10 dBW，LFM信號對應(yīng)的信噪比為-13 dB。

源信號波形如圖2所示，圖中信號從上至下依次對應(yīng)為上述列舉的信號(1-4)。使用Matlab產(chǎn)生一組隨機(jī)的5×4的混合矩陣，混合后的信號時域波形如圖3所示。

圖2 連續(xù)波源信號的時域波形Fig.2 The continous source signals

圖3 混合信號的時域波形Fig.3 The mixed signals

分別使用兩種算法對信號進(jìn)行分離，圖4、圖5分別是改進(jìn)算法和傳統(tǒng)算法分離得到的波形圖。表1為分離得到信號與源信號之間的相似系數(shù)矩陣，表中源信1-4分別代表源信號中對應(yīng)的信號(1-4)，信號1-5分別對應(yīng)圖4、圖5中從上至下的5個信號。表2是經(jīng)過100次實(shí)驗后總迭代次數(shù)的統(tǒng)計表。

圖4 改進(jìn)算法分離信號的時域波形Fig.4 The signals separated by the improved algorithm

圖5 傳統(tǒng)算法分離信號的時域波形Fig.5 The signals separated by traditional algorithm

表1 分離信號與源信號的相似系數(shù)統(tǒng)計表Tab.1 Statistical table of similarity coefficient between separated signal and source signal

估計的一致性方面：從表1中可以看出雖然輸入為4組信號，輸出為5組信號，但是輸出信號中有一組幅度明顯遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他組，因此可以認(rèn)為該信號不存在；從波形圖和表1可以看出，改進(jìn)FastICA算法分離出的信號與源信號非常相近，只是排列順序與源信號不同，而且某些信號的幅度與對應(yīng)信號的幅度也有所不同，分離出的信號與源信號的相似度均達(dá)到0.999 0以上。通常把分離信號順序和幅度的不確定性稱為盲源分離問題的不確定性，這些對后續(xù)信號的參數(shù)測量或者分類識別并不影響。而且如果把白噪聲看作是強(qiáng)噪聲干擾信號，該算法也能正確分離出噪聲信號，這對于判斷干擾信息也有實(shí)際的意義。

算法的收斂性方面：從表2可以看出，改進(jìn)算法總體上是收斂的，表明算法分離不同調(diào)制信號是可行的。同時改進(jìn)算法雖然偶爾的迭代次數(shù)較多，但總體上要少于傳統(tǒng)算法，因此收斂性更好。

表2 兩種算法總迭代次數(shù)統(tǒng)計表Tab.2 Statistics of total iterations of the two algorithms

3.2 脈沖波信號分離實(shí)驗

本組實(shí)驗分析的是對脈沖信號的分離能力，實(shí)驗中設(shè)置了到達(dá)時間相同、寬脈沖覆蓋窄脈沖、PRI隨機(jī)以及噪聲干擾等特殊情況，以此檢驗算法的性能。實(shí)驗中包含3組脈沖信號和2組連續(xù)信號：3組脈沖信號中第一組脈寬(PW)和脈沖重復(fù)周期(PRI)固定，第二組PW和PRI隨機(jī)變化，第三組PW固定，PRI隨機(jī)；連續(xù)信號中一組為BPSK信號，另一組為模擬強(qiáng)高斯白噪聲干擾信號。信號參數(shù)設(shè)置如下：

1) 單載頻脈沖：載頻f0=8×106Hz；脈沖寬度PW=5 μs，脈沖重復(fù)周期PRI=20 μs。

2) 線性調(diào)頻脈沖：初始頻率f0=107Hz，調(diào)頻斜率k=1 012，PW={6.4,6,4,6,5,8,10,7} μs， PRI={16.4,14.2,12,19,17,20,21.4} μs。

3) 頻率編碼信號：信號中兩個頻率分別為f1=6×106Hz，f2=9×106Hz，PW=6 μs，PRI={21,22,24,27,21} μs。

4) 二相編碼信號(BPSK)：本組信號設(shè)置為連續(xù)信號，選取序列為{1,1,1,0,0,1,0}的7位巴克碼信號，碼元內(nèi)信號載頻f0=107Hz。

5) 高斯白噪聲：噪聲功率為20 dBW，信號2對應(yīng)的信噪比為-27.3 dB。

源信號波形如圖6所示，信號從上至下依次對應(yīng)列舉的信號(1-5)。本實(shí)驗的混合矩陣由Matlab隨機(jī)產(chǎn)生，得到的混合信號波形如圖7所示，從圖中可以看到信號幾乎完全被噪聲淹沒，無法從視頻信號中檢測出脈沖。

圖6 脈沖源信號的時域波形Fig.6 The pulse source signals

圖7 混合信號的時域波形Fig.7 The mixed signals

采用兩種算法對脈沖信號進(jìn)行分離，得到的時域波形分別如圖8、圖9所示。表3為對應(yīng)的相似系數(shù)統(tǒng)計表。表4為本實(shí)驗進(jìn)行100次得到的總迭代次數(shù)的統(tǒng)計表。

表4 兩種算法總迭代次數(shù)統(tǒng)計表Tab.4 Statistics of total iterations of the two algorithms

圖8 改進(jìn)算法分離信號的時域波形Fig.8 The signals separated by the improved algorithm

估計的一致性方面：從分離的波形圖可以看出，改進(jìn)算法分離得到的信號與源信號非常接近，只是信號的排列順序不一致。與實(shí)驗1類似，表3中源信1-5分別代表源信號中對應(yīng)的信號(1-5)，信號1-5分別對應(yīng)圖8、圖9中從上至下的5個信號，表中每行每列中只有一個值為1或者接近于1，其他為0或者接近于0，可見分離得到的信號幾乎完整地保留了源信號的所有信息，說明該算法對同時到達(dá)、寬脈沖覆蓋窄脈沖、PRI隨機(jī)等脈沖雷達(dá)信號具有很好的分離效果，而且當(dāng)把混合信號中的噪聲當(dāng)作是有意干擾信號時，也能單獨(dú)分離出來。對比兩種算法的相似系數(shù)可以看出，改進(jìn)算法分離效果與傳統(tǒng)算法相差不大。

圖9 傳統(tǒng)算法分離信號的時域波形Fig.9 The signals separated by the traditional algorithm

表3 分離信號與源信號的相似系數(shù)統(tǒng)計表Tab.3 Statistical table of similarity coefficient between separated signal and source signal

算法的收斂性方面：改進(jìn)算法在分離信號時收斂，表明了該算法在雷達(dá)系統(tǒng)信號分選中的可行性。與實(shí)驗1類似，實(shí)驗中改進(jìn)算法迭代次數(shù)總體較小，收斂速度優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

3.3 不同信噪比條件下算法的性能

為了進(jìn)一步驗證算法的抗噪性能，在3.2節(jié)的實(shí)驗信號環(huán)境下，信噪比設(shè)置在-20～5 dB范圍內(nèi)進(jìn)行蒙特卡洛實(shí)驗。每隔1 dB進(jìn)行200次蒙特卡洛實(shí)驗，得到的仿真結(jié)果如圖10和圖11所示。

圖10 相似系數(shù)隨信噪比變化曲線Fig.10 Variation curve of similarity coefficient with SNR

實(shí)驗中將源信號對應(yīng)的最大相似系數(shù)進(jìn)行平均，使用平均相似系數(shù)來衡量算法的分離效果。圖10為信號的平均相似系數(shù)隨信噪比變化曲線，圖11為算法總迭代次數(shù)隨信噪比變化曲線。由實(shí)驗結(jié)果可知，即使在較低信噪比條件下，算法仍具有較好分離效果。算法總迭代次數(shù)在不同信噪比條件下浮動范圍很小，改進(jìn)算法收斂速度優(yōu)于改進(jìn)前算法。

圖11 總迭代次數(shù)隨信噪比變化曲線Fig.11 Variation of iterations number with SNR

3.4 實(shí)驗總結(jié)

綜合文中兩組實(shí)驗，總結(jié)如下：

1) 算法可以分離不同調(diào)制的雷達(dá)信號，可以分離出PRI隨機(jī)變化的雷達(dá)信號，較基于輻射源描述字的傳統(tǒng)算法有一定的優(yōu)勢。

2) 算法可以實(shí)現(xiàn)到達(dá)時間相同、寬脈沖覆蓋窄脈沖以及強(qiáng)噪聲干擾等復(fù)雜電磁環(huán)境下的雷達(dá)信號分選，而且分離出信號的信息與源信號基本相同。

3) 改進(jìn)算法較傳統(tǒng)FastICA算法在分離效果相同的情況下，運(yùn)算迭代次數(shù)更少，具有更快的收斂速度。

4 結(jié)論

本文在深入研究FastICA算法原理的基礎(chǔ)上，提出基于改進(jìn)FastICA算法的雷達(dá)信號分離方法。該方法利用了PCA進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理，降低了數(shù)據(jù)的維數(shù)；進(jìn)而采用改進(jìn)的3階迭代公式進(jìn)行循環(huán)迭代，提取出獨(dú)立的源信號，達(dá)到雷達(dá)信號分離的目的。實(shí)驗結(jié)果表明，該方法能夠在復(fù)雜的電磁環(huán)境中有效地分離出源信號，相較于傳統(tǒng)FastICA算法，該方法具有更快的收斂速度。這對于雷達(dá)偵察系統(tǒng)的信號預(yù)分選有一定的參考意義。