郭 民 秦德生 (東北師范大學，吉林 長春 130024)

數(shù)的概念產生于“數(shù)數(shù)”，最早的“數(shù)數(shù)”方法就是積攢小石子、小木棍，以對應的原則進行.隨著社會的發(fā)展和更廣泛的計數(shù)需要，“數(shù)數(shù)”就很不方便了，人們開始把數(shù)排成簡單方便的基本群,即選定某個數(shù)a作為“基數(shù)”,對于比a大的數(shù)，用1,2,…,b的組合來命名,這就是我們今天所說的進位制.

進位制中最常用的是十進制,這是由于人的手指為它提供了一個對應的最方便的工具，此外，還有二進制、十二進制和六十進制,在我們的日常生活中也常能見到，歷史上還曾有過三、四、五、二十這樣的進位制,但現(xiàn)在似乎已見不到了.20世紀40年代以后，隨著電子計算機的誕生及迅速發(fā)展，與通路和閉路相對應的二進制法使電子計算機產生了神奇的速度和能力，人們在贊嘆計算機巨大威力的同時,不得不對二進制的作用刮目相看.

八卦常用來代表8種不同的事物，如：西、西北、北、東北、東、東南、南、西南八個方向；或水、火、山、澤、天、地、風、雷8種自然物等.由八卦中符號的兩兩可重復排列，還可以得到64種不同的形式，稱為64卦，它們可以代表由上述8種自然物衍生出來的宇宙中更多的事物及其關系.

如果接著用四個爻，五個爻……進行排列，就可以對應得到所有的自然數(shù)，萊布尼茨正是從陽爻和陰爻的排列中產生了二進制數(shù)的思想.如果我們將陽爻和陰爻分別看作正號“+”和負號“-”，那么“四象”就可以表示平面直角坐標系的四個象限中點的坐標符號,“八卦”就可以表示空間直角坐標系的八個卦限中點的坐標符號，由此可見坐標系中象限、卦限是由“四象”“八卦”演繹而來的.八卦作為一種神秘的古代文字，曾出現(xiàn)在許多奇妙的圖形中，它是中國人民智慧的結晶，它的科學思想還在不斷地被后人挖掘出來.

1736年，哥尼斯堡七橋問題被解決.歐拉非凡的思考方法大大開闊了人們的視野.用點來表示研究對象，如果兩研究對象間有關系，就把兩點間連成一條線，研究這些對象在上述表示法中的特性就形成了“圖論”，它可以用來解決許多與對象的離散安排有關的問題.在圖論的發(fā)展中，最初的成果基本上是借助“圖”來解決一些具體問題而產生的各種想法，這些問題往往是容易看懂的難題，研究它們可能不需要掌握很多知識，但一般需要較新穎的想法.因此，它們常常使優(yōu)秀的數(shù)學家百思不得其解.由英國數(shù)學家哈密頓發(fā)明的“環(huán)球旅行”游戲而引起的“哈密頓問題”就是這類問題中的一例.

1859年，哈密頓在給他的朋友的信中提出了環(huán)球旅行問題：我們用一個正十二面體的20個頂點代表20個大城市，要求沿著正十二面體的棱，從一個城市出發(fā)，經過每個城市恰好一次，最后回到出發(fā)地.環(huán)球旅行問題從表面看與七橋問題很類似，但實際上它們之間有著本質的差別.這個具體的問題只要通過逐步地試探，不斷地總結規(guī)律，就會找出是否存在一條路線，從正十二面體的某個頂點出發(fā)，依次經過每個頂點，最后回到出發(fā)點.

環(huán)球旅行問題可用圖論的方法來解答，為敘述方便我們給出圖論中的一個基本概念——圈.在一個圖中，一組不同的邊組成的邊序列為e1,e2,…,en,如果邊e1=(v0,v1),e2=(v1,v2),…,en=(vn-1,vn)(vi為圖中的頂點，i=0,1，…,n),則稱這個邊序列是從v0到vn的鏈，v0與vn被稱為鏈的端點.如果一條鏈的兩個端點重合，稱這條鏈為圈.環(huán)球旅行問題可以轉化為：以正十二面體的頂點和棱分別為頂點和邊作圖，在圖中確定一個圈，使它過各頂點正好一次.通過直接試探，我們可以找出這樣的圈，哈密頓發(fā)明的這種圈展示了一類圖所具有的特性.

環(huán)球旅行問題可以推廣到任意多面體上，這種情況下是否還存在問題中所要求的路線呢？顯然，這個問題可以轉化為判斷與多面體相應的圖是否為哈密頓圖的問題.然而，當圖中頂點和邊數(shù)較多時，尤其是對那些原本就不存在哈密頓圈的圖來說，直接試探的方法一般是行不通的.于是，尋求判斷一個圖是否為哈密頓圖的充分必要條件就成為人們關注的熱點，這就是哈密頓問題的由來.多年來，判斷哈密頓圖的許多必要條件、充分條件陸續(xù)被發(fā)現(xiàn).

與哈密頓圈有關的問題還有許多，這些問題似乎并沒有多大的實際意義，但是對它的研究卻往往會誘導人們進行超常的思考.抓住這樣的問題，以自己獨特的眼光和思維去探索，說不定你也能想出一些新方法，進而得到意想不到的成果呢！

數(shù)學中有許多重要發(fā)現(xiàn)都源于實際的觀察，這種情況在數(shù)論中尤為突出，正如歐拉所說：“今天已知的數(shù)的許多性質，大部分都是經過觀察發(fā)現(xiàn)的，而且在它的真實性被嚴格證明以前很久，就已被發(fā)現(xiàn)了.”雖然有許多數(shù)的性質，我們都非常熟悉，但至今還不能證明，只能靠觀察獲得這些知識.與哥德巴赫猜想和費馬定理一樣，數(shù)論中許多問題的研究大都經歷了觀察、發(fā)現(xiàn)、概括、猜想、論證這樣一個過程.

這里我們再介紹一下數(shù)論中關于完全數(shù)、親和數(shù)以及華林猜想的一些研究情況.

將完全數(shù)的性質進行推廣，畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)正整數(shù)220和284，它們彼此等于對方所有的真因數(shù)之和，他們將這兩個正整數(shù)命名為親和數(shù)，畢達哥拉斯學派只發(fā)現(xiàn)220和284這對親和數(shù).到1636年，費馬找到第二對親和數(shù)：17296和18416.1638年，笛卡兒找到第三對親和數(shù)：9363584和9437056.歐拉系統(tǒng)地尋找親和數(shù)，找到親和數(shù)60對.1886年，16歲的意大利男孩帕格尼尼發(fā)現(xiàn)了一對被人疏漏掉的親和數(shù)：1184和1210.目前已知的親和數(shù)最大的一對均為152位數(shù).關于完全數(shù)和親和數(shù)的研究不僅促進了數(shù)論的發(fā)展，也促進了代數(shù)學的發(fā)展.

華林猜想是勾股定理的推廣，即考慮將任一正整數(shù)表示為若干個正整數(shù)的平方和、三次方和、四次方和的形式等.1770年，華林提出猜想：每個正整數(shù)是不多于4個平方數(shù)之和、不多于9個立方數(shù)之和、不多于19個四次方數(shù)之和.拉格朗日和歐拉都先后證明了平方和的形式，韋伊費列治證明了立方和的形式，關于四次方和的形式，數(shù)學家哈代先證明大于1010的數(shù)都可以表示為小于或等于19個四次方數(shù)之和，但小于1010的數(shù)沒辦法證明，劉維爾證明對于每一個正整數(shù)，53個四次方數(shù)足夠表示其正整數(shù)之和，韋伊費列治證明37個整數(shù)足夠表示其正整數(shù)之和，我國數(shù)學家陳景潤證明27個整數(shù)足夠表示其正整數(shù)之和，1985年，巴拉薩布雷尼安和德雷斯證明對于每個正整數(shù)，不超過19個整數(shù)足夠表示其四次方數(shù)之和.到此為止，華林猜想的研究基本完成.

與其他數(shù)學分支相比，數(shù)論中的發(fā)現(xiàn)與猜想是比較多的，這與數(shù)論中的問題內容易懂表述簡明有很大關系.當然，觀察得到的發(fā)現(xiàn)與猜想并不能直接形成新理論，但它為新理論的創(chuàng)立提供了最基本、最重要的前提，數(shù)論中的許多問題看似簡單的初等數(shù)學內容，然而用初等數(shù)學的方法卻無法解決.它蘊含的深刻理論促使人們創(chuàng)造出深刻的方法，不僅推動著數(shù)論及其他數(shù)學分支的發(fā)展，也為培養(yǎng)人的觀察發(fā)現(xiàn)能力、創(chuàng)造性思維能力提供了一條有效途徑.難怪偉大的數(shù)學家高斯在評價數(shù)論的地位時發(fā)出贊嘆：“數(shù)學是科學的皇后，數(shù)論是數(shù)學中的皇后.”

數(shù)學史上記錄著一位法國青年,他的一生只有短暫的20年,他的遺稿共計不過60頁,而他的工作卻為代數(shù)學的發(fā)展提供了全新的思想，這顆數(shù)學天空中閃電般的流星,就是埃瓦利斯特·伽羅華.

伽羅華于 1811 年出生于巴黎,自幼性情剛直,執(zhí)著追求真理,無論做什么事情,都有一種堅持不懈的精神.少年時代的伽羅華并沒有顯露出超常的天賦,但他對自己的學習非常自信,尤其是對數(shù)學學科,有著濃厚的興趣和驚人的理解能力.到中學后,伽羅華就開始自學柯西、拉格朗日、高斯、勒讓德等當代名師的原著,從中汲取寶貴的思想,培養(yǎng)洞察事物本質的能力.然而伽羅華的才能并沒有被發(fā)現(xiàn).后來,他進入了多科工藝學校的預備學校,在那里繼續(xù)刻苦鉆研數(shù)學.

伽羅華所處的時代,正是方程論的研究取得重大進展的時代，自16世紀誕生了一元三、四次方程求根公式，為尋求一元五次方程的求根公式，人類已經苦苦探索了二百多年.公元1770年，拉格朗日提出五次方程沒有求解公式，拉格朗日的結論雖然沒給出嚴格證明,但卻給人們以很大的啟發(fā).1824年,22歲的數(shù)學家阿貝爾給出了高于一元四次代數(shù)方程不可能有根式解的嚴格證明,為人們尋求五次方程求根公式的漫長歷史畫上了句號.

高于四次的方程沒有根式解，阿貝爾試圖刻畫出全部能用根式求解的方程的特性.然而,1829年,年僅27歲的阿貝爾在貧病交困中過早地離開了人世,未能實現(xiàn)他的愿望.年僅16歲的中學生伽羅華在攻讀了拉格朗日的《關于代數(shù)方程解法的思考》和阿貝爾的有關成果后,倍受啟發(fā)和促動,他接受并改進了拉格朗日的思想,用了方程根的置換即排列概念,認為方程的可解性可在根的置換集合上構建的某些性質中反映出來，伽羅華引入了現(xiàn)在稱之為“群”的概念,成功地給出了判斷一個代數(shù)方程可否有根式解的充要條件.1829年,18歲的伽羅華寫出了“關于代數(shù)方程論的研究報告”并交到了法國科學院.

伽羅華在數(shù)學研究中較早地獲得了突破性的成果,但對這一成果的認定卻充滿了坎坷.他第一次呈交的論文由于法國科學院的不重視而丟失了，第二次重寫的論文因審稿人傅里葉去世而再次丟失.1831年,伽羅華又寫了“關于用根式解方程的可解性條件”，交由院士普阿松審閱，四個月后，論文以“完全不可理解”的結果被退回，不過普阿松建議他再詳細闡述.面對種種挫折,伽羅華雖然很傷心,但決不氣餒.

1832年,伽羅華被牽扯進一場無謂的手槍決斗,并由此而喪生，在決斗前夜,他趕寫出一份關于自己見解的說明,連同原稿一起交給一位好友保存，這份遺稿在伽羅華死后 14 年才被發(fā)表,且直到1870 年后才逐漸被數(shù)學家們所理解,它的應用價值和潛在的理論成為更廣泛的代數(shù)理論的基礎,也是抽象代數(shù)在20世紀興起的重要因素.伽羅華認為，數(shù)學乃至整個科學研究中偶然性所起的作用并非微不足道.實事求是，奮發(fā)進取,是伽羅華展現(xiàn)給世人的一種精神,也是他成才的力量源泉.