劉祖林,張家偉,宋翌,劉芳

(1.廣西大學(xué) 工商管理學(xué)院， 廣西 南寧 530004;2.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)院， 廣西 南寧 530004;3.北部灣大學(xué) 理學(xué)院， 廣西 欽州 535011)

0 引言

隨著社會(huì)和經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，決策的環(huán)境變得更加復(fù)雜化。為了更好地解決復(fù)雜環(huán)境下的決策問(wèn)題，常常需要群體的專家或決策者參與決策，而在群體決策過(guò)程中，決策者受到人類思維習(xí)慣以及自身決策知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)不足的影響。為了降低這些主觀因素的影響，對(duì)方案進(jìn)行兩兩比較時(shí)給出區(qū)間模糊數(shù)去反應(yīng)他們對(duì)方案的偏好關(guān)系[1]。目前，許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)群體決策的理論和方法進(jìn)行了研究,LIU等[2]基于備選方案兩兩比較的過(guò)程，建立了一個(gè)序列模型，然后用它去刻畫不合理性和不確定性的過(guò)程，并用于解決相應(yīng)的群體決策問(wèn)題。LIU等[3]提出了一個(gè)新的幾何一致性指標(biāo)，然后根據(jù)這個(gè)指標(biāo)提出了一個(gè)幾何一致性誘導(dǎo)有序加權(quán)平均算子去聚合群體區(qū)間積型互反判斷矩陣。劉芳等[4]給出了區(qū)間積型互反判斷矩陣一致性的定義，并提出了構(gòu)造一致性區(qū)間積型互反判斷矩陣的方法。韋保磊等[5]基于決策信息具有主觀性和客觀性，提出了隨機(jī)濾波決策方法分離主客觀成分，并結(jié)合大數(shù)定理給出解決群體決策的新方法。群體決策問(wèn)題的關(guān)鍵在于決策者之間達(dá)成一種共識(shí)，然后從備選方案X={x1,x2,…,xn}中選擇最佳方案。

在群體決策中，各決策者要達(dá)成共識(shí)，則需要解決兩個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題：一是對(duì)群體判斷矩陣的集成；二是確定決策方案的綜合權(quán)重。目前，關(guān)于一簇判斷矩陣的集成方法已有許多的研究成果，如文獻(xiàn)[6]構(gòu)造了誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子(induced ordered weighted geometric averaging, IOWGA)。文獻(xiàn)[7]和[8]分別采用了加權(quán)幾何平均算子(weighted geometric averaging, WGA)和有序加權(quán)幾何平均算子(ordered weighted geometric averaging, OWGA)。文獻(xiàn)[9]構(gòu)造了一致性有序加權(quán)幾何平均算子(consistency induced ordered weighted geometric averaging, CI-OWGA)，并對(duì)區(qū)間積型互反判斷矩陣進(jìn)行了聚合。文獻(xiàn)[10]在IOWA基礎(chǔ)上提出了加型一致誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均算子(additive consistency induced ordered weighted geometric averaging, AC-IOWGA)。文獻(xiàn)[11]基于PSO算法,把一簇互反判斷矩陣聚合成區(qū)間積型互反判斷矩陣。文獻(xiàn)[12]基于新的不一致性指標(biāo)，提出了新的誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何集成算子。二是確定決策方案的綜合權(quán)重。如文獻(xiàn)[13]提出了字典式目標(biāo)模型(linear goal program, LGP)確定非一致性區(qū)間積型互反判斷矩陣的權(quán)重。文獻(xiàn)[14]采用了連續(xù)有序加權(quán)幾何運(yùn)算獲得區(qū)間積型互反判斷矩陣的權(quán)重。文獻(xiàn)[15]基于PSO算法，構(gòu)建了兩個(gè)基于互反判斷矩陣的群體決策模型去獲得方案的綜合權(quán)重。對(duì)于上述關(guān)于判斷矩陣的集成方法，首先定義一個(gè)集成算子，然后利用它對(duì)判斷矩陣進(jìn)行集成。然而，在集成的過(guò)程中需要考慮原始判斷矩陣是否具有滿意一致性，如果沒(méi)有，則需要對(duì)初始判斷矩陣進(jìn)行調(diào)整并使其具有滿意一致性，此過(guò)程在一定程度上影響了結(jié)果的可靠性。隨著區(qū)間積型互反判斷矩陣在群體決策中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，對(duì)區(qū)間積型互反判斷矩陣的集成作進(jìn)一步的研究具有一定的理論意義和現(xiàn)實(shí)價(jià)值。本文以PSO算法為基礎(chǔ)，首先構(gòu)建一個(gè)最大-最小值集成模型，并把一簇區(qū)間積型互反判斷矩陣集成得到兩個(gè)新的區(qū)間積型互反判斷矩陣，然后構(gòu)造相應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)去獲得具有滿意一致性的綜合區(qū)間積型互反判斷矩陣，最后應(yīng)用文獻(xiàn)[16]的方法獲得方案的綜合權(quán)重。

1 基本概念

首先給出互反判斷矩陣及其一致性的定義。

定義1[17]若矩陣A=(aij)n×n中的每一個(gè)元素均滿足關(guān)系aij·aji=1,當(dāng)且僅當(dāng)i=j時(shí)，aii=1(aij>0,?i,j=1,2…,n.)，則稱A=(aij)n×n為互反判斷矩陣。

定義2[17]若互反判斷矩陣A=(aij)n×n中滿足aij=aik·akj(?i,j,k=1,2,…,n),則稱矩陣A=(aij)n×n是一致的。

由于決策環(huán)境的復(fù)雜性，在實(shí)際決策過(guò)程中決策者很難給出具有一致性的互反判斷矩陣，為了進(jìn)一步消除維度對(duì)判斷矩陣一致性的影響，文獻(xiàn)[17]提出了一致性比率CR,當(dāng)CR≤0.1時(shí)，表明矩陣A具有滿意近似一致性；當(dāng)CR>0.1,表明矩陣A不具有滿意近似一致性。文獻(xiàn)[18]中從幾何的思想出發(fā)，提出了幾何一致性指標(biāo)GCI如下：

定義3[18]假設(shè)矩陣A=(aij)n×n為互反判斷矩陣，則幾何一致性指標(biāo)為

(1)

文獻(xiàn)[18]給出了GCI滿意近似一致性的閥值。當(dāng)n=3時(shí)，GCI=0.31;當(dāng)n=4時(shí)，GCI=0.35;當(dāng)n≥5時(shí)，GCI=0.37。

為了更合理的度量復(fù)雜環(huán)境下決策的模糊性和不確定性對(duì)群體決策的影響，下面介紹區(qū)間積型互反判斷矩陣的相關(guān)概念。

式中,

以PSO算法為基礎(chǔ)，構(gòu)建最大-最小值集成模型去集成一簇區(qū)間積型互反判斷矩陣，并給出解決基于區(qū)間積型互反判斷矩陣的群體決策的新算法。

2 基于PSO算法的最大-最小值集成模型

假設(shè)某個(gè)群體決策中有m個(gè)決策者E={e1,e2,…,em}和n個(gè)備選方案X={x1,x2,…,xn},決策者對(duì)備選方案進(jìn)行兩兩比較給出了一簇區(qū)間積型互反判斷矩陣{A1,A2,…,Am}。為了獲得一個(gè)最優(yōu)的方案，各個(gè)決策者之間需要進(jìn)行相互的討論和學(xué)習(xí)[19]，最終達(dá)成一個(gè)良好的共識(shí)。目前,許多學(xué)者給出了群體判斷矩陣集成的方法。本文基于區(qū)間積型互反判斷矩陣的端點(diǎn)值，構(gòu)造一個(gè)構(gòu)造最大-最小值集成模型對(duì){A1,A2,…,Am}進(jìn)行集成。

2.1 構(gòu)造集成模型

令：

2.2 適應(yīng)度函數(shù)

在群決策中為了獲得一個(gè)合理的最優(yōu)方案，關(guān)鍵要解決兩個(gè)問(wèn)題，一是集成的綜合判斷矩陣具有滿意近似一致性；二是集成判斷矩陣與各決策者的初始判斷矩陣偏差最小。用函數(shù)描述如下：

Q1=GCI(R)或Q1=GCI(L),

(9)

(10)

類似文獻(xiàn)[20]，把Q1和Q2表示成線性函數(shù)如下：

Q=pQ1+pQ2,

(11)

式中,p,q≥0,通常情況為了同時(shí)考慮兩個(gè)關(guān)鍵因素，限定p>0,q>0。為了獲得合理的最優(yōu)解，則需滿足如下的約束條件：

(12)

(13)

υ(t+1)=ω·υ(t)+c1·r1·[p(t)-x(t)]+c2·r2·[q(t)-x(t)],

(14)

x(t+1)=x(t)+υ(t+1),

(15)

式中,ω表示從0.9→0.4的慣性權(quán)重；υ(t)表示t時(shí)刻粒子的速度；c1,c2分別表示自我認(rèn)知系數(shù)和社會(huì)學(xué)習(xí)系數(shù)；p(t),q(t)分別表示t時(shí)刻粒子局部和全局的最優(yōu)位置；r1,r2∈(0,1) 的任意實(shí)數(shù)。

2.3 群決策算法

群決策算法如下：

Step 5:對(duì)step 4的區(qū)間數(shù)權(quán)重進(jìn)行兩兩比較得到一個(gè)可能度矩陣P=(pij)n×n。

Step 6:對(duì)可能度矩陣P采用消去行-列[22]的方法獲得方案的優(yōu)先級(jí)。

3 數(shù)值結(jié)果分析與討論

假設(shè)群體決策中有3個(gè)決策者E={e1,e2,e3},從4個(gè)備選方案X={x1,x2,x3,x4}中選擇最優(yōu)方案?，F(xiàn)在每個(gè)決策者對(duì)備選方案兩兩比較并分別給出相應(yīng)的區(qū)間積型互反判斷矩陣如下所示：

當(dāng)運(yùn)行PSO算法時(shí)，取粒子數(shù)量為100粒，迭代次數(shù)為100次，分別取p=1,1.5和q=1,1.5,得到適應(yīng)度函數(shù)值與迭代次數(shù)的關(guān)系如圖1所示。

圖1 適應(yīng)度函數(shù)值與迭代次數(shù)的關(guān)系Fig.1 Relationship between the fitness function value and the number of iterations

從圖1可以看出，當(dāng)p,q的值固定時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)值隨著迭代次數(shù)的增加而減小，隨后趨于一個(gè)固定的數(shù)值；當(dāng)固定q值時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)值隨著p值的增大而增加，隨后趨于一個(gè)固定的值；當(dāng)固定p值時(shí)，適應(yīng)度函數(shù)值隨著q值的增大而增加，隨后趨于一個(gè)固定值，并且這個(gè)定值比p=q時(shí)更大。因此，取p=q=1時(shí)，對(duì)公式(9)至公式(15)執(zhí)行PSO算法得到相應(yīng)的互反判斷矩陣R,L如下：

運(yùn)用公式(16)可得：

ω1=[0.292 6, 0.546 6],ω2=[0.194 7, 0.261 6],

ω3=[0.104 0, 0.177 5],ω4=[0.087 8, 0.335 2]。

對(duì)區(qū)間數(shù)權(quán)重ω1,ω2,ω3,ω4進(jìn)行兩兩比較得到一個(gè)可能度矩陣如下：

4 結(jié)語(yǔ)

文中主要針對(duì)群決策中決策者給出的偏好類型為區(qū)間積型互反判斷矩陣的決策問(wèn)題進(jìn)行了研究。以PSO算法為基礎(chǔ)，構(gòu)造了一種新的模型對(duì)區(qū)間積型互反判斷矩陣進(jìn)行集成，最后通過(guò)數(shù)值例子進(jìn)行分析，并與已有的方法進(jìn)行了比較，進(jìn)一步的說(shuō)明了此模型的合理性和可行性。在今后的學(xué)習(xí)中，將該方法進(jìn)一步的推廣到解決關(guān)于區(qū)間加型互反判斷矩陣和三角模糊數(shù)判斷矩陣的群體決策問(wèn)題。