鐘志強 張毅寧

（鞍山師范學院物理科學與技術(shù)學院，遼寧 鞍山 114007）

1 引言

多元回歸是一種簡單的因果關(guān)系分析，其偏回歸系數(shù)（partial regression coefficient）表示在控制其他自變量的條件下，每個自變量單獨對因變量的作用。其中各個自變量處于相同地位，對因變量的作用是并列。如果在兩個變量之間加上中介變量，一個變量既是自變量又是因變量時，存在多個環(huán)節(jié)，這就構(gòu)成路徑。多元回歸就不能兼顧這種因果關(guān)系。

路（通）徑分析(Path Analysis,Sewall Wright,1921)是相關(guān)系數(shù)分解的一種統(tǒng)計方法，不僅揭示自變量xi(i=1,2,…m)與因變量y的直接影響力和間接影響力，而且可以在xi,y間的復雜關(guān)系中，從某個自變量與其他自變量的“協(xié)調(diào)”關(guān)系中得到對y的最佳影響的路徑信息。目標是探索是事物內(nèi)在因果關(guān)系規(guī)律，將因變量與自變量的相互影響的相關(guān)系數(shù)分解為直接效果的路徑系數(shù)和間接效果的路徑系數(shù)。這使對模型中的變量的因果關(guān)系分析研究更為具體和深入。

路徑分析早期在經(jīng)濟學領(lǐng)域，被稱為聯(lián)立方程模型(simultaneous equation modeling)[1]，多用來分析價格等經(jīng)濟相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù)之間的關(guān)系[2,3]。國內(nèi)相關(guān)文獻中，路徑分析研究主要體現(xiàn)在農(nóng)林科學研究中[4,5],其實現(xiàn)技術(shù)有Excel,SPSS,SAS[6-10]。當下，受結(jié)構(gòu)方程模型影響，學者們開始利用R語言（如利用“l(fā)avaan”和“semPlot”包）與Mplus工具通過潛變量和中介關(guān)系進行路徑分析研究[11]。但當其研究顯變量和無獨立中介模型時，卻要退回利用Excel計算，或利用引入截距項的回歸算法和檢驗方式進行路徑分析。如此造成了研究上的不方便與不科學。本文利用Python語言，實現(xiàn)借助矩陣算法計算決定系數(shù)和完成F檢驗，以期進一步說明路徑系數(shù)的意義。

2 路徑回歸系數(shù)計算

2.1 路徑回歸是標準化的偏回歸系數(shù)的推導

y=b0+b1x1+…+bn xn+e

其中bi是自變量xi對因變量y的偏回歸系數(shù)。由于各自變量本身變異程度和量綱的不同，使得偏回歸系數(shù)絕對值并不能準確反映相應自變量對依變量相對貢獻的大小。為此需將各偏回歸系數(shù)標準化，即用相應自變量的標準差與因變量的標準差之比去乘以各偏回歸系數(shù)，因而路徑系數(shù)為標準的偏回歸系數(shù)pyxi，即為自變量對因變量y的直接通徑系數(shù)。其推導如下：

由于

當i=1時，

其度量各自變量對因變量的直接效應，其意義上是其它自變量保持不變時，該自變數(shù)變動一個單位時，因變量y變動的標準單位數(shù)，它不受度量單位和自變量變異程度的影響。

2.2 利用矩陣計算路徑回歸系數(shù)

如有三個自變量時：

其中r xiy，rxixj都可以通過已知數(shù)據(jù)計算得出。令

三個自變量的全體路徑系數(shù)為P矩陣表示方式為：

這里r x1x2px2y是自變量x1通過自變量x2對y的間接效應。間接通徑系數(shù)即自變量xi通過其它相關(guān)變量對因變量y的影響，系直接路徑系數(shù)乘以二者的相關(guān)系數(shù)rij pyj。其總間接通徑效果為：

2.3 計算路徑回歸系數(shù)Python實現(xiàn)

用于分析的數(shù)據(jù)“pathdata.csv”為多個參考文獻利用(小麥豐產(chǎn)3號各性狀與單株籽粒產(chǎn)量或腰果種子發(fā)芽普遍期天數(shù)與氣溫)數(shù)據(jù)[12-14]，在網(wǎng)絡中亦可得到，見附錄1。其有一個因變量（y）四個自變量（x1-4）,四個自變量間互相關(guān)，沒有獨立中介變量。計算路徑回歸Python程序如下（其中變量名與文中公式標識一致，下同）：

附錄1 路徑分析計算數(shù)據(jù)

import numpy asnp

import pandas as pd

from scipy.stats import f

df=pd.read_csv("pathdata.csv")#讀取文檔數(shù)據(jù)

y=df.iloc[:,-1]#得到y(tǒng)值

x=df.iloc[:,:-1]#得到x值

m,n=x.shape#得到x的行列數(shù)，為后期F檢驗做準備

r=df[["x1","x2","x3","x4"]].corr()#得到x1-4的相關(guān)系數(shù)

s=df.corr()["y"][:-1]#得到y(tǒng)對x1-4的相關(guān)系數(shù)

rni=np.linalg.inv(r)#得到相關(guān)系數(shù)R的逆矩陣

p=rni.dot(s)#得到直接相關(guān)系數(shù)

print(p)

a=np.diag(p)

P=r.dot(a)#得到直接、間接系數(shù)矩陣

P["sum"]=P.sum(axis=1)#得到直接、間接與總路徑系數(shù)矩陣（見表1）

表1 直接、間接與總路徑系數(shù)

print("P",P)

del P["sum"]#刪除總路徑系數(shù)，為后期計算決定系數(shù)做準備

3 路徑系數(shù)的顯著性檢驗

3.1 F顯著性檢驗公式

由于路徑系數(shù)就是標準偏回歸系數(shù)，因而可以利用多元回歸分析中偏回歸系數(shù)顯著性檢驗的方法對路徑系數(shù)進行顯著性檢驗。檢驗方法可用t檢驗，也可用F檢驗。F值計算如下[15]：

m為樣本容量，n為自變數(shù)個數(shù)。C是自變量相關(guān)系數(shù)的逆矩陣的主對角元素的倒數(shù)。

3.2 F顯著性檢驗Python實現(xiàn)

c=1/np.diag(rni)

fx=np.power(a,2).dot(c)/((1-r2)/(m-n-1))#計算數(shù)據(jù)F值

for iin fx:

print(i,f.sf(i,m-1,m*(n-1)))#利用第三方scipy.stats包做F檢驗(結(jié)果見表2)

表2 路徑系數(shù)F檢驗表

從表2可以得知，除X4路徑系數(shù)不顯著為0外，不拒絕零假設（H0），其它系數(shù)都達到顯著水平。認為路徑系數(shù)有意義。

4 決定系數(shù)的計算

4.1 決定系數(shù)的推導

決定系數(shù)(Coefficient of determination)R2表示y值的變異在其總變異中所占的比率。

又因為

所以，決定系數(shù)是相關(guān)系數(shù)的平方。

在路徑分析中，根據(jù)因變量y的方差：

進一步推導：

表示自變量xi，對因變量y的相對決定程度，即直接決定系數(shù)；而2rxixj Pxiy Pxjy表示自變量xixj共同對因變量y的相對決定程度，即間接決定系數(shù)?？倹Q定系數(shù)是直接決定系數(shù)與間接決定系數(shù)的和。為不可控因素e對因變量y的相對決定程度，稱為剩余決定系數(shù)。

4.2 利用矩陣計算決定系數(shù)

總決定系數(shù)R2=[1 1 1]*D*[1 1 1]T。則剩余決定系數(shù)pye2=1-R2。

4.3 決定系數(shù)Python實現(xiàn)

def toD(d):#封裝計算成D矩陣函數(shù)

5 路徑分析結(jié)果進一步探討

路徑分析的使用條件：各變量均為等距以上級別變量，各變量之間為線性關(guān)系，各因變量的作用可疊加。因果關(guān)系必須是單向，不得包括反饋環(huán)節(jié)[17]。根據(jù)路徑系數(shù)的計算結(jié)果，可以進行以下分析：按絕對值大小，說明每一路徑對因變量的作用的相對重要性[18]。如果路徑系數(shù)接近相關(guān)系數(shù)，則反映了變量之間的真實關(guān)系[19]。如果相關(guān)系數(shù)大于0，但路徑系數(shù)小于0，說明間接效應是相關(guān)的主要原因，直接作用是無效的，二者一定通過中介發(fā)生作用[20]。一般而言，相關(guān)分析僅蘊含著因果關(guān)系，但由于大多路徑分析，有時間的先后關(guān)系，路徑分析為此進一步驗證了因果關(guān)系[21]。